Контрольная работа по «Статистике»

Форма взаимосвязи случайных величин получила название уравнения регрессии. Различают простую (парную) и множественную регрессию линейного и криволинейного (квадратичного, экспоненциального, полулогарифмического и т.т.) типа. Вид и параметры уравнения регрессии устанавливаются с помощью метода наименьших квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических выровненных.

Основными задачами при изучении корреляционных зависимостей являются:

1.  нахождение уравнения  регрессии (связи);

2.  измерение тесноты  зависимости с помощью коэффициента  корреляции.

Мы рассмотрим самый простой случай парной прямой регрессии вида ,

где  а1 находится по формуле          , ( - средние квадратические отклонения х и у).

а0  находят из условия, что прямая линия регрессии проходит через точку

тогда, и  .

В уравнении регрессии

 

коэффициент а0- свободный член уравнения регрессии;

коэффициент а1 - коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц, в среднем, изменится результативный признак при изменении факторного признака на единицу его измерения.

В формуле коэффициент r называется коэффициентом линейной корреляции. Он устанавливает тесноту связи между переменными и находится по формуле

 

Чем ближе коэффициент линейной корреляции    r  к  "1",  тем между  x и y теснее прямая линейная зависимость (с ростом x, y также растет );

Чем ближе коэффициент линейной корреляции   r  к "-1",  тем между  x и y теснее обратная  линейная зависимость (с ростом x, y  уменьшается ).

При коэффициенте  линейной корреляции   r = 0  между переменными нет прямой  линейной зависимости  (хотя зависимость другого вида может быть).

При r = 1 между переменными устанавливается прямая функциональная зависимость, т.е. значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака.

Наряду с коэффициентом линейной корреляции   r рассматривается коэффициент детерминации r2. Коэффициент детерминации r2 показывает, на сколько процентов вариация результативного признака у объясняется вариацией независимого признака х.

Качественная оценка связи случайных переменных может быть выявлена  на основе оценки коэффициент детерминации r2 по шкале Чеддока:

 

При  значениях коэффициента детерминации более 0,7 вариации зависимой переменной, в основном,  обусловлены влиянием  факторов; и полученная регрессионная модель признается пригодной для практического применения в целях прогнозирования. 

 

Формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии

- средняя произведения переменных  х, у, fxy - частота появления пары (x,y).

- среднее значение переменной x,  fx - частота появления основного  признака x .

- среднее  значение переменной y,  fy - частота появления факторного признака y.

Средние квадратические отклонения:

  ,

Средние значения квадратов переменных:

.

 

Ранговые коэффициенты корреляции

 Для измерения тесноты зависимости  кроме коэффициента корреляции  и коэффициента детерминации  существуют и другие показатели.

 В частности, широко используются  так называемые ранговые коэффициенты корреляции (или коэффициенты корреляции рангов). В этом случае рассматривается  корреляция не самих значений показателей х и у, а их рангов, т.е. номеров их мест, занимаемых в каждом ряду значений по возрастанию или убыванию (обозначаются ранги буквой N).

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна рассчитывается по формуле

где d = Nx — Ny, т.е. разность рангов каждой пары значений х и у;  п   — число наблюдений.

Коэффициент корреляции рангов Кендэла определяется по формуле

Порядок расчета этого показателя следующий:

1. Значения х и у ранжируются, т.е. определяются Nx и Ny,.

2. Значения Nx записываются строго в порядке возрастания (или, наоборот, убывания): 1, 2, ..., п.

3. Ранги второго показателя (Ny) располагаются в порядке, соответствующем значению х в исходных данных.

4. Для каждого значения подсчитывается число следующих за ним рангов более высокого порядка. Общая сумма таких случаев «правильного следования» последовательно для всех рангов учитывается как баллы со знаком «+» и обозначается буквой Р.

5. Аналогично для каждого значения Ny  последовательно подсчитывается число следующих за ним рангов, меньших по значению. Общая сумма таких случаев учитывается как баллы со знаком «—» и обозначается символом Q.

6. Определяется общая сумма баллов, которая обозначается символом S, т.е. S = Р + Q.

7. Полученная сумма (S) сопоставляется с максимальной суммой, которая в случае, если в обоих рядах ранги следуют строго последовательно от 1 до п.

Ранговые коэффициенты Спирмэна и Кендэла имеют то преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между количественными, так и атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.

 

Задача № 17. Разработайте и заполните статистическую таблицу, характеризующую распределение водителей автогаража вашего хозяйства по стажу работы и квалификации за 2 года. По приведенным данным сделайте краткие выводы.

 

Решение: В администрации Юргинского муниципального района, по штату числится 7 водителей. В статистической таблице номер 1, я распределю всех водителей по стажу и квалификации за 2 года.

 

Распределение водителей по стажу и квалификации в администрации

Фамилия Имя Отчество	Стаж		Квалификация
	2009	2010	2009	2010
Селиверстов Сергей Витальевич Кузнецов Вячеслав Николаевич Поляков Александр Михайлович  Новиков Игорь Владимирович Стариков Алексей Фатеевич Сергеев Михаил Иванович Коновалов Роман Андреевич	10 20 10 8 25 19 5	11 21 11 9 26 20 6	3 1 1 2 1 1 3	2 1 1 1 1 1 2

Источник: Данные бухгалтерии администрации Юргинского района за 2 года.

 

Вывод: Из таблицы видно, что поменялся стаж работы. В марте 2010 года все водители прошли повышение квалификации, трое повысили классность, а остальные подтвердили свое мастерство. 

Составим статистическую итоговую таблицу № 2, по нашему предприятию, в ней мы скомплектуем водителей по квалификации

                                                                                                                    чел.

Квалификация водителей	стаж	2009	2010
Водитель 1 класса	выше 10лет	4	5
Водитель 2 класса	выше 10лет	---	1
	до 10лет	1	1
Водитель 3 класса	выше 10лет	1	---
	до 10лет	1	--
Итого:		7	7

Вывод: В таблице № 2, мы скомплектовали все статистические данные, теперь в таблице видно, какие изменения произошли с водителями в администрации   за 2 года. 

 

Задача № 68 Имеются следующие данные о средней яйценоскости  одной курицы-несушки по месяцам за три года (штук):

Годы	Месяцы												Итого за год
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
1986	9.6	14.8	15.0	16.2	20.2	27.6	28.6	23.9	21.9	14.2	8.7	12.6	223.4
1987	10.8	13.3	14.9	18.9	24.3	28.1	25.4	22.7	21.4	14.5	12.1	13.1	229.5
1988	12.0	16.3	20.2	25.0	28.6	24.1	22.5	21.2	17.3	15.4	9.6	14.5	236.7

 

Определите: 1)Показатели сезонных колебаний средней яйценоскости одной курицы-несушки по данным среднемесячного уровня за три года;

              2)Изобразите графически изменения сезонных колебаний продуктивности кур-несушек. Сделайте краткие выводы.

 

Решение:

Формула простой средней, - средний уровень ряда

, - все уровни последовательных периодов (дат);

n – число уровней ряда, в нашем  случае n=3

 

Вывод: Как видно из графика основной объем продуктивности одной курицы несушки приходится с апреля по сентябрь, что связано с улучшениями климатических условий и повышением солнечной активности. Кроме того, незначительный всплеск происходит в июне месяце, который связан с устойчивой резистентностью организма. В сентябре начинается спад яйценоскости куриц-несушек из-за смены перьевого покрова и подготовка организма к зиме.

 

 

Задача № 109 Определите и проанализируйте коэффициенты корреляции и детерминации по следующим данным:

 

Динамика урожайности зерновых и дозы внесения удобрений по годам,

	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988
Урожайность, ц с 1га	18,3	12,7	19,2	14,6	25,8	12,4	20,1	15,3
Внесено навоза, ц на га	6,0	4,0	9,5	6,5	12,5	3,5	10,0	7,0

 

Решение: Для изучения тесноты связи между такими признаками как урожайность и внесением навоза, используем корреляционный метод анализа.

Данные к корреляционному анализу

 

Года	Урожайность, ц с 1га х	Внесено навоза, ц на га у	ух	х2	у2
1981	18,3	6,0	24,3	334,89	36
1982	12,7	4,0	50,8	161,29	16
1983	19,2	9,5	182,4	368,64	90,25
1984	14,6	6,5	94,9	213,16	42,25
1985	25,8	12,5	322,5	665,64	156,25
1986	12,4	3,5	43,75	153,76	12,25
1987	20,1	10,0	201	404,01	100
1988	15,3	7,0	107,1	234,09	49
ИТОГО	138,4	59	1026,75	2535,48	502