Контрольное задание по учебной дисциплине «Статистика»

 

Предварительные сведения.

Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака статистической совокупности используются абсолютные и относительные показатели. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО)

,

где - наблюдённые значения признака (варианты), п - общее число вариант (объем выборки). Суммирование в этой формуле производится по всем вариантам; - среднее значение признака, - среднее значение квадрата признака

.

Изучая только общую  дисперсию интересующего исследователя  признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количественных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода группировки, когда варианты подразделяются на непересекающиеся группы по признаку-фактору. При этом, кроме общей средней по всей выборке, рассматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дисперсии:

1. общая дисперсия
2. межгрупповая дисперсия ,
3. внутригрупповые дисперсии ,

4. средняя внутригрупповая дисперсия . 
   Кратко охарактеризуем эти дисперсии.

1. Общая дисперсия  учитывает влияние всех факторов, от которых зависит величина изучаемого признака X

,

где - общая средняя по всей выборке.

2. Межгрупповая  дисперсия  (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

здесь - внутригрупповые средние, - число вариант в i -ой группе; к число групп, суммирование производится по различным группам.

3. Внутригрупповая  дисперсия

отражает рассеяние значений признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а другими причинами.

4. Средняя  внутригрупповая дисперсия  , так же как и , характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле

.

Можно доказать, что имеет место  правило сложения дисперсий

Отношение показывает, какую долю общей дисперсии составляет

дисперсия, возникающая  под влиянием группировочного фактора, т.е. позволяет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака X.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации

Его применяют также и для  характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Решение задачи.

1. Найдем  среднюю из внутригрупповых дисперсий

Определим среднюю зарплату по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю)

Находим межгрупповую дисперсию

=12335(руб²).

Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:                                                                                                                                                                                                                            

= 12335+1848 = 14183 (руб²).

2.  Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной 
заработной платы с помощью коэффициента вариации

4,44%. 
Так как V < 33 %, то совокупность считается однородной.

3.  Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена различиями в профессии на

.

Эта же дисперсия обусловлена  влиянием других причин на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 9.

По 14-ти предприятиям городского хозяйства ( -порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц ( млн.руб.) и уровне механизации труда ( ,%). Статистические данные приведены в таблице.

Для выявления наличия корреляционный связи между объемам продукции и уровнем механизации труда требуется:

1) построить аналитическую таблицу  и дать графическое изображение  линии связи.

2) Измерить тесноту связи между  признаками с помощью коэффициента  корреляции рангов; проверить его  достоверность.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	94	63	92	63	98	99	95	69	84	89	99	97	94	98
	88	75	88	89	99	103	97	63	88	89	108	107	87	96

 

Решение

Результативный  признак – объем услуг ( );

Факторный признак – уровень компьютеризации  труда ( ).

Первичная информация проверяется на однородность по признаку-фактору с помощью  коэффициента вариации.

100; .

Для расчета  используем вспомогательную таблицу 1.

Таблица 1.

№ по порядку	Уровень механизации труда     Х ,%	Объем продукции  y, тыс.руб.	хi-	(хi- )2
1	63	75	25,1429	632,1654
2	63	89	25,1429	632,1654
3	69	63	19,1429	366,4506
4	84	88	4,1429	17,16362
5	89	89	-0,8571	0,73462
6	92	88	-3,8571	14,87722
7	94	88	-5,8571	34,30562
8	94	87	-5,8571	34,30562
9	95	97	-6,8571	47,01982
10	97	107	-8,8571	78,44822
11	98	99	-9,8571	97,16242
12	98	96	-9,8571	97,16242
13	99	103	-10,8571	117,8766
14	99	108	-10,8571	117,8766
Итого:	1234			2287,714
Среднее:	88,1429			163,408
Ср.квадр.				3,4164

 

;

; 100 (%);  £ 33%,

 Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному), следовательно, совокупность можно считать однородной.

Для установления факта наличия связи производится группировка по признаку-фактору. Группировка  выполняется при равных интервалах и числе групп  .

Величина  интервала определяется по формуле

.

 Построим  групповую аналитическую таблицу  (таблицу средних).

Зависимость объема продукции от уровня механизации  труда

уровень механизации труда, % ( )	Число предприятий,		Средняя величина объема продукции, тыс.руб. ( )
63-67	2	164	82
67-71	1	63	63
71-75	0	0	0
75-79	0	0	0
79-83	0	0	0
83-87	1	88	88
87-91	1	89	89
91-95	4	360	90
95-99	5	513	102,6

 

Как видно  из данных групповой таблицы с  увеличением уровня механизации  труда увеличивается объем продукции.

С помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена оценивается теснота связи между двумя качественными переменными X и Y. Этот коэффициент применяется и в случае количественных переменных, если заранее не гарантируется нормальность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Выборочный коэффициент  служит точечной оценкой генерального коэффициента ранговой корреляции . Коэффициенты и изменяются от минус единицы до плюс единицы. Чем ближе к 1, тем теснее связь между переменными X и Y.

 

1. Для того чтобы вычислить  коэффициент ранговой корреляции  , нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов.

Расположим наблюдаемые  пары в порядке невозрастания качества по показателю X:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	99	99	98	98	97	95	94	94	92	89	84	69	63	63
	103	108	99	96	107	97	88	87	88	89	88	63	75	89

 

Затем пронумеруем объекты (числа) в каждой из строк в порядке  неубывания. Рангом объекта называется его номер в ранжировке. Получим следующую таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	3	1	4	6	2	5	9	12	10	7	11	14	13	8