Лабораторная работа по статистике

 

Исследование  точности настройки станка по продольному  упору методом статистического  анализа

Цель  работы: на примере исследования точности установки суппорта по продольному упору познакомится с характером погрешностей, возникающих при механической обработки деталей и приобрести навыки статистического анализа экспериментальных данных.

Ход работы:

Результаты первого эксперимента занесем в Таблицу 1.

Таблица 1 – Результаты эксперимента

Номер наблюдения	Показания индикатора, мм	Номер наблюдения	Показания индикатора, мм
1	2.03	26	2.045
2	2.02	27	2.05
3	2.02	28	2.05
4	2.035	29	2.05
5	2.03	30	2.05
6	2.03	31	2.055
7	2.03	32	2.055
8	2.03	33	2.05
9	2.035	34	2.045
10	2.04	35	2.045
11	2.04	36	2.05
12	2.03	37	2.05
13	2.04	38	2.055
14	2.035	39	2.055
15	2.045	40	2.05
16	2.04	41	2.06
17	2.04	42	2.055
18	2.04	43	2.055
19	2.045	44	2.06
20	2.045	45	2.06
21	2.045	46	2.055
22	2.045	47	2.05
23	2.045	48	2.06
24	2.045	49	2.06
25	2.045	50	2.06

Определим широту распределения (размах варьирования):

 

Задавшись числом интервалов, равным 5, определим величину интервала (цену разряда) С:

 

Таблица 2 – Результаты подсчета частот

Интервалы от…до…	Середина интервала	Подсчет частот	Частота
0.02…0.02571	0.022855		2
0.02571…0.03142	0,028565		6
0.03142…0.03713	0.034275		3
0.03713…0.04284	0.039985		6
0.04284…0.04855	0.045695		11
0,04855…0,05426	0,051405		9
0,05426…0,05997	0,057115		7
0,05997…0,06568	0,062825		6
∑			50

 

Рисунок 1 – Полигон (практическая кривая) и гистограмма

Для вычисления статистических характеристик применяются формулы:

 

где - частота i-го разряда;

- середина i-го интервала.

Однако эти формулы  можно применять только в случае небольшого числа опытов. Для больших  выборок используются другие формулы, которые дают такие же результаты, но значительно облегчают расчеты:

 

В качестве величины а можно принимать любое значение, но рекомендуется принимать такое значение x, которому соответствует максимальная частота. В нашем случае так как этому значению соответствует максимальная частота f = 42. Величина определяется по формуле:

 

Однако практически для  вычисления расчеты производить не нужно, потому что для интервала, соответствующего максимальной частоте, b всегда равно 0, а для последующих интервалов увеличивается на +1 или -1.

Таблица 3 – Статистические характеристики параметра

Интервалы x от…до		f		bf
1	2	3	4	5	6
0.02…0.02571	0.022855	2	-4	-8	32
0.02571…0.03142	0.028565	6	-3	-18	54
0.03142…0.03713	0.034275	3	-2	-6	12
0.03713…0.04284	0.039985	6	-1	-6	6
0.04284…0.04855	0.045695	11	0	0	0
0.04855…0.05426	0.051405	9	1	9	9

Продолжение Таблицы 3

0.05426…0.05997	0.057115	7	2	14	28
0.05997…0.06568	0.062825	6	3	18	54
∑		50		3	195

 

 

В качестве величины а можно принимать любое значение, но рекомендуется принимать такое значение х, которому соответствует максимальная частота.

 

 

Таблица 4 – Расчеты теоретических  частот

Номер интер- вала	Середина интер- вала	Эмпири- ческие частоты			Z(t)
1	0.022855	2	-0.023145	-2.05	0.0488	0,02472	1,24
2	0.028565	6	-0.017435	-1.55	0.012	0.060798	3,04
3	0.034275	3	-0.011725	-1,04	0.2323	0.117695	6
4	0.039985	6	-0.006015	-0.053	0.3467	0.175657	9
5	0.045695	11	-0,00305	-0,03	0.3988	0.202	10,1
6	0,051405	9	0,005405	0,48	0,3555	0,18	9
7	0,057115	7	0,011115	0,99	0,2444	0,123826	6,2
8	0,062825	6	0,016825	1,4929	0,1315	0,0666	3,3
∑							47,88

 

Для проверки гипотезы о  законе распределения пользуются рядом  критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий А.Н. Колмогорова  и критерий К. Пирсона.

Критерий  А.Н. Колмогорова

Для вычисления величины λ  необходимо предварительно определить эмпирическую F(x), и теоретическую функции предлагаемого закона распределения для каждого значения исследуемой случайной величины. Затем по максимальной разности этих функций находим λ:

 

где - накопленные эмпирические и теоретические частоты,

N – число экспериментов (объем выборки).

Последовательность вычислений показана в таблице 5.

Таблица 5 – Последовательность вычисления критерия λ

Номер интервала
1	2	1,24	2	1,24	+0,76
2	6	3,04	8	4,28	+3,72
3	3	6	11	10,28	+0,72
4	6	9	17	19,28	-2,28
5	11	10,1	28	29,38	-1,38
6	9	9	37	38,38	-1,38
7	7	6,2	44	44,58	-0,58
8	6	3,3	50	47,88	+2,12
∑	50	47,88

 

 

Для данного значения λ, находим  вероятность того, что гипотетическая функция выбрана правильно. Для  λ=0,3 , т.е. вероятность согласования очень высокая.

Критерий  К. Пирсона

Критерий  вычисляется по формуле:

 

где m – число разрядов,

- эмпирическая  частота,

- теоретическая  частота.

Таблица 6 – Последовательность вычисления критерия

Номер интервала
1	2	1,24	3,72	13,8	3,2
2	6	3,04
3	3	6	6	36	2,4
4	6	9
5	11	10,1	0,9	0,81	0,08
6	9	9	0	0	0
7	7	6,2	0,8	0,64	0,1
8	6	3,3	2,7	7,29	2,2
∑					7,98

 

Число разрядов m после объединения частот равно 6, число параметров Р равно 2. Следовательно, r = m-P-1 = 6-2-1 = 3.

При отсутствии таблиц значений Р( можно пользоваться способом В.И. Романовского. Для этого определяется величина А:

 

Если , то гипотеза о согласовании бракуется, если , то принимается.

 

Результаты второго эксперимента занесем в Таблицу 7.

Таблица 7 – Результаты эксперимента

Номер наблюдения	Показания индикатора, мм	Номер наблюдения	Показания индикатора, мм
1	2.06	26	2.06
2	2.075	27	2.06
3	2.06	28	2.065
4	2.06	29	2.07
5	2.065	30	2.065
6	2.055	31	2.055
7	2.065	32	2.06
8	2.075	33	2.06
9	2.065	34	2.06
10	2.06	35	2.07
11	2.06	36	2.06
12	2.065	37	2.055
13	2.06	38	2.06
14	2.075	39	2.06
15	2.06	40	2.06
16	2.06	41	2.06
17	2.06	42	2.055
18	2.07	43	2.06
19	2.06	44	2.05
20	2.065	45	2.055
21	2.06	46	2.055
22	2.065	47	2.05
23	2.06	48	2.05
24	2.06	49	2.06
25	2.065	50	2.06