Лабораторная работа по статистике

 

Определим широту распределения (размах варьирования):

 

Задавшись числом интервалов, равным 10, определим величину интервала (цену разряда) С:

 

 

Таблица 14 – Результаты подсчета частот

Интервалы от…до…	Середина интервала	Подсчет частот	Частота
0.02…0.0255	0.02275		2
0.0255…0.031	0,02825		6
0.031…0.0365	0.03375		3
0.0365…0.042	0.03925		6
0.0042…0.0475	0.04475		11
0,0475…0,053	0,05025		12
0,053…0,0585	0,05575		13
0,0585…0,064	0,06125		32
0,064…0,0695	0,06675		9
0,0695…0,075	0,07225		3
0,075…0,0805	0,07775		3
			100

 

Рисунок 3 – Полигон (практическая кривая) и гистограмма

Для вычисления статистических характеристик применяются формулы:

 

где - частота i-го разряда;

- середина i-го интервала.

Однако эти формулы  можно применять только в случае небольшого числа опытов. Для больших  выборок используются другие формулы, которые дают такие же результаты, но значительно облегчают расчеты:

 

В качестве величины а можно принимать любое значение, но рекомендуется принимать такое значение x, которому соответствует максимальная частота. В нашем случае так как этому значению соответствует максимальная частота f = 32. Величина определяется по формуле:

 

Однако практически для  вычисления расчеты производить не нужно, потому что для интервала, соответствующего максимальной частоте, b всегда равно 0, а для последующих интервалов увеличивается на +1 или -1.

Таблица 15 – Статистические характеристики параметра

Интервалы x от…до		f			bf
1	2	3		4	5	6
0.02…0.0255	0.02275	2		-7	-14	98
0.0255…0.031	0,02825	6		-6	-36	216
0.031…0.0365	0.03375	3		-5	-15	75
0.0365…0.042	0.03925	6		-4	-24	96
0.0042…0.0475	0.04475	11		-3	-33	99
0,0475…0,053	0,05025	12		-2	-24	48
0,053…0,0585	0,05575		13	-1	-13	13
0,0585…0,064	0,06125		32	0	0	0

 

Продолжение Таблицы 15

0,064…0,0695	0,06675	9	1	9	9
0,0695…0,075	0,07225	3	2	6	12
0,075…0,0805	0,07775	3	3	9	27
		100		-135	693

 

 

В качестве величины а можно принимать любое значение, но рекомендуется принимать такое значение х, которому соответствует максимальная частота.

 

 

Таблица 16 – Расчеты теоретических частот

Номер интер- вала	Середина интер- вала	Эмпири- ческие частоты			Z(t)
1	0.02275	2	-0.031075	-2.5	0.0175	0,008	0,8
2	0,02825	6	0,025575	-2,05	0.0488	0.03	2,2
3	0.03375	3	-0.020075	-1,61	0.1092	0.05	5
4	0.03925	6	-0.014575	-1,17	0.2012	0.09	9
5	0.04475	11	-0,009075	-0,73	0.3056	0.14	14
6	0,05025	12	-0,003575	-0,29	0,3825	0,17	17
7	0,05575	13	0,001925	0,15	0,3945	0,18	18
8	0,06125	32	0,007425	0,59	0,3352	0,15	15

 

 

Продолжение Таблицы 16

9	0,06675	9	0,012925	1,04	0,2323	0,103	10,3
10	0,07225	3	0,018425	1,48	0,1334	0,06	0,6
11	0,07775	3	0,023925	1,92	0,0632	0,03	3

 

Для проверки гипотезы о  законе распределения пользуются рядом  критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий А.Н. Колмогорова  и критерий К. Пирсона.

Критерий  А.Н. Колмогорова

Для вычисления величины λ  необходимо предварительно определить эмпирическую F(x), и теоретическую функции предлагаемого закона распределения для каждого значения исследуемой случайной величины. Затем по максимальной разности этих функций находим λ:

 

где - накопленные эмпирические и теоретические частоты,

N – число экспериментов (объем выборки).

Последовательность вычислений показана в таблице 17.

Таблица 17 – Последовательность вычисления критерия λ

Номер интервала
1	2	0,8	2	0,8	+1,2
2	6	2,2	8	3	+5
3	3	5	11	8	+3
4	6	9	17	17	0
5	11	14	28	31	-3
6	12	17	40	48	-8

 

Продолжение Таблицы 17

7	13	18	53	66	-13
8	32	15	85	81	+4
9	9	10,3	94	91,3	+2,7
10	3	0,6	97	91,9	+5,1
11	3	3	100	94,9	+5,1

 

 

Для данного значения λ, находим  вероятность того, что гипотетическая функция выбрана правильно. Для  λ=0,4 , т.е. вероятность согласования очень высокая.

Критерий  К. Пирсона

Критерий  вычисляется по формуле:

 

где m – число разрядов,

- эмпирическая  частота,

- теоретическая  частота.

Таблица 18 – Последовательность вычисления критерия

Номер интервала
1	2	0,8	5	25	8,3
2	6	2,2
3	3	5	-5	25	1,8
4	6	9
5	11	14	-3	9	0,6
6	12	17	-5	25	1,5
7	13	18	-5	25	1,4

Продолжение Таблицы 18

8	32	15	-7	49	3,3
9	9	10,3	-1,3	1,69	0,16
10	3	0,6	2,4	5,76	1,6
11	3	3
∑					18,66

 

Число разрядов m после объединения частот равно 6, число параметров Р равно 2. Следовательно, r = m-P-1 = 11-2-1 = 8.

При отсутствии таблиц значений Р( можно пользоваться способом В.И. Романовского. Для этого определяется величина А:

 

Если , то гипотеза о согласовании бракуется, если , то принимается.