Лабораторная работа по статистике

Определим широту распределения (размах варьирования):

 

Задавшись числом интервалов, равным 7, определим величину интервала (цену разряда) С:

 

Таблица 8 – Результаты подсчета частот

Интервалы от…до…	Середина интервала	Подсчет частот	Частота
0.05…0.05357	0.051785		3
0.05357…0.05714	0,055355	-	0
0.05714…0.06071	0.058925		6
0.06071…0.06428	0.062495		26
0.06428…0.06785	0.066065		9
0,06785…0,07142	0,069635		3
0,07142…0,07499	0,073205	-	0
0,07499…0,07856	0,076775		3
∑			50

 

Рисунок 2 – Полигон (практическая кривая) и гистограмма

Для вычисления статистических характеристик применяются формулы:

 

где - частота i-го разряда;

- середина i-го интервала.

Однако эти формулы  можно применять только в случае небольшого числа опытов. Для больших  выборок используются другие формулы, которые дают такие же результаты, но значительно облегчают расчеты:

 

В качестве величины а можно принимать любое значение, но рекомендуется принимать такое значение x, которому соответствует максимальная частота. В нашем случае так как этому значению соответствует максимальная частота f = 26. Величина определяется по формуле:

 

Однако практически для  вычисления расчеты производить не нужно, потому что для интервала, соответствующего максимальной частоте, b всегда равно 0, а для последующих интервалов увеличивается на +1 или -1.

Таблица 9 – Статистические характеристики параметра

Интервалы x от…до		f		bf
1	2	3	4	5	6
0.05…0.05357	0.051785	3	-3	-9	27
0.05357…0.05714	0.055355	6	-2	-12	24
0.05714…0.06071	0.058925	0	-1	0	0
0.06071…0.06428	0.062495	26	0	0	0
0.06428…0.06785	0.066065	9	1	9	9
0.06785…0.07142	0.069635	3	2	6	12

Продолжение Таблицы 9

0.07142…0.07499	0.073205	0	3	0	0
0.07499…0.07856	0.076775	3	4	12	48
∑		50		6	120

 

 

В качестве величины а можно принимать любое значение, но рекомендуется принимать такое значение х, которому соответствует максимальная частота.

 

 

Таблица 10 – Расчеты теоретических частот

Номер интер- вала	Середина интер- вала	Эмпири- ческие частоты			Z(t)
1	0.051785	3	-0.011115	-2.02	0.0569	0,0369	1,85
2	0.055355	6	-0.007545	-1.37	0.1561	0.1013	5,1
3	0.058925	0	-0.003975	-0,72	0.3079	0.1998	10
4	0.062495	26	-0.000405	0,07	0.3980	0.2583	12,92
5	0.066065	9	0,003165	0,57	0.3391	0.2201	11,01
6	0.069635	3	0,006735	1,22	0,1895	0,123	6,2
7	0.073205	0	0,010305	1,87	0,0694	0,045	2,3
8	0.076775	3	0,013875	2,52	0,0167	0,0108	0,6
∑							49,98

 

Для проверки гипотезы о  законе распределения пользуются рядом  критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий А.Н. Колмогорова  и критерий К. Пирсона.

Критерий  А.Н. Колмогорова

Для вычисления величины λ  необходимо предварительно определить эмпирическую F(x), и теоретическую функции предлагаемого закона распределения для каждого значения исследуемой случайной величины. Затем по максимальной разности этих функций находим λ:

 

где - накопленные эмпирические и теоретические частоты,

N – число экспериментов (объем выборки).

Последовательность вычислений показана в таблице 11.

Таблица 11 – Последовательность вычисления критерия λ

Номер интервала
1	3	1,85	3	1,85	+1,15
2	6	5,1	9	6,95	+2,05
3	0	10	9	16,95	-7,95
4	26	12,92	35	29,87	+5,13
5	9	11,01	44	40,88	+3,12
6	3	6,2	47	47,08	-0,08
7	0	2,3	47	49,38	-2,38
8	3	0,6	50	49,98	+0,02
∑	50	49,98

 

 

Для данного значения λ, находим  вероятность того, что гипотетическая функция выбрана правильно. Для  λ=0,7 , т.е. вероятность согласования очень высокая.

Критерий  К. Пирсона

Критерий  вычисляется по формуле:

 

где m – число разрядов,

- эмпирическая  частота,

- теоретическая  частота.

Таблица 12 – Последовательность вычисления критерия

Номер интервала
1	3	1,85	2,05	4,2	0,6
2	6	5,1
3	0	10	3,08	9,5	0,4
4	26	12,92
5	9	11,01	2,01	4,04	0,36
6	3	6,2	3,1	9,61	1,06
7	0	2,3
8	3	0,6
∑					2,42

 

Число разрядов m после объединения частот равно 6, число параметров Р равно 2. Следовательно, r = m-P-1 = 4-2-1 = 1.

При отсутствии таблиц значений Р( можно пользоваться способом В.И. Романовского. Для этого определяется величина А:

 

Если , то гипотеза о согласовании бракуется, если , то принимается.

 

Общие результаты эксперимента занесем в Таблицу 13.

Таблица 13 – Результаты эксперимента

Номер наблюдения	Показания индикатора, мм	Номер наблюдения	Показания индикатора, мм
1	2.03	26	2.045
2	2.02	27	2.05
3	2.02	28	2.05
4	2.035	29	2.05
5	2.03	30	2.05
6	2.03	31	2.055
7	2.03	32	2.055
8	2.03	33	2.05
9	2.035	34	2.045
10	2.04	35	2.045
11	2.04	36	2.05
12	2.03	37	2.05
13	2.04	38	2.055
14	2.035	39	2.055
15	2.045	40	2.05
16	2.04	41	2.06
17	2.04	42	2.055
18	2.04	43	2.055
19	2.045	44	2.06
20	2.045	45	2.06
21	2.045	46	2.055
22	2.045	47	2.05
23	2.045	48	2.06
24	2.045	49	2.06
25	2.045	50	2.06

Продолжение Таблицы 13

Номер наблюдения	Показания индикатора, мм	Номер наблюдения	Показания индикатора, мм
51	2.06	76	2.06
52	2.075	77	2.06
53	2.06	78	2.065
54	2.06	79	2.07
55	2.065	80	2.065
56	2.055	81	2.055
57	2.065	82	2.06
58	2.075	83	2.06
59	2.065	84	2.06
60	2.06	85	2.07
61	2.06	86	2.06
62	2.065	87	2.055
63	2.06	88	2.06
64	2.075	89	2.06
65	2.06	90	2.06
66	2.06	91	2.06
67	2.06	92	2.055
68	2.07	93	2.06
69	2.06	94	2.05
70	2.065	95	2.055
71	2.06	96	2.055
72	2.065	97	2.05
73	2.06	98	2.05
74	2.06	99	2.06
75	2.065	100	2.06