Лекции по "Теории вероятностей и математической статистике"

                                                                                       (3.2)

Действительно, из (2.7) получим, что  откуда следует справедливость формулы (3.2).

 

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий  которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н₁ – первый попал, а второй промахнулся, Н₂ – первый промахнулся, а второй попал, Н₃ – оба попали, Н₄ – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н₁) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н₂) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н₃) = 0,6·0,7 = 0,42,   р(Н₄) = 0,4·0,3 = 0,12.  Тогда    р(А/Н₁) = р(А/Н₂) = 1,                    р(А/Н₃) = р(А/Н₄) = 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:

                                

 

              Схема повторения испытаний. Формула Бернулли.

 

Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: p^kq^n-k, где q = 1 – p – вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:

                                                .                                               (3.3)

 

Пример. Для  получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке. Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком имеют 5% изделий.

Решение. Из постановки задачи следует, что последнее  купленное изделие имеет особый знак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели 4 изделия. Найдем вероят-ность этого по формуле  Бернулли: Тогда

р = 0,0006092·0,05 = 0,0000304.

 

                  Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

 

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при  большом количестве испытаний. Можно  получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появле-ний события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли:

 

Найдем  предел полученного выражения при 

Таким образом, формула Пуассона

                                                                                                                 (3.4)

позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких     (р мало) событий.

 

 

 

Лекция 4.

Случайные величины. Закон распределения и функция  распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.

 

Наряду с понятием случайного события  в теории вероятности используется и более удобное понятие случайной величины.

Определение 4.1. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,…), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x_i, y_i,…).

Примеры: число очков, выпавших при броске игральной кости; число появлений герба при 10 бросках монеты; число выстрелов до первого попадания в цель; расстояние от центра мишени до пробоины при попадании.

Можно заметить, что множество возможных  значений для перечисленных случайных величин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно ( соответственно 6 и 11 значений), для третьей величины множество значений бесконечно и представляет собой множество натуральных чисел, а для четвертой – все точки отрезка, длина которого равна радиусу мишени. Таким образом, для первых трех величин множество значений из отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой оно представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.

 

Определение 4.2. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

 

Определение 4.3. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

 

                       Дискретные случайные величины.

 

Для задания дискретной случайной  величины нужно знать ее возможные  значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.

Таблица, в которой перечислены  возможные значения дискретной случайной  величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:

 

xi	x1	x2	…	xn	…
pi	p1	p2	…	pn	…

 

Заметим, что событие, заключающееся  в том, что случайная величина примет одно из своих возможных значений, является достоверным, поэтому

Пример. . Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности  их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить  ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид:

 

хi	0	1	2
pi	0,12	0,46	0,42

 

Графически закон распределения  дискретной случайной величины можно  представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (x_i, p_i).

       x₁    x₂   x₃    x₄    x₅

 

                                          Функция распределения.

 

Определение 4.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:

                                               F (x) = p (X < x).                                                        (4.1)

 

                      Свойства функции распределения.

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.                                                                                                     Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.
2. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ > x₁. Это следует из того, что F(x₂) = p(X < x₂) = p(X < x₁) + p(x₁ ≤ X < x₂) ≥ F(x₁).
3. В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.
4. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:

                       p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).

      Справедливость этого  утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

Пример. Найдем F(x) для предыдущего примера:

               

Соответственно график функции  распределения имеет ступенчатый  вид:

 

 

 

 

 

 

                                   Биномиальное распределение.

 

Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения А: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:

                                                                                             (4.2)

( p – вероятность появления А в каждом испытании).

Такой закон распределения  называют биномиальным, поскольку правую часть равенства (4.2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

                

Пример. Составим ряд распределения  случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р(Х=0) = 1·(0,2)⁵ = 0,00032; р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)⁴ = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)²·(0,2)³ = 0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)³·(0,2)² = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)⁴·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)⁵ = 0,32768. Таким образом, ряд распределения имеет вид:

 

х	0	1	2	3	4	5
р	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32728

 

 

                                             Распределение Пуассона.

 

Рассмотрим дискретную случайную  величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не ограничена. Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:

                                              ,                                            (4.3)

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:

           

(использовано разложение в ряд  Тейлора функции е^х).

Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению Пуассона. Пусть  на оси абсцисс случайным  образом распределяются точки, причем их распределение удовлет-воряет следующим условиям:

1. вероятность попадания некоторого количества точек на отрезок длины l зависит только от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси ( то есть точки распределены с одинаковой средней плотностью);
2. точки распределяются независимо друг от друга ( вероятность попадания какого-либо числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший на любой другой отрезок);
3. практическая невозможность совпадения двух или более точек.

 

Тогда случайная величина Х – число точек, попадающих на отрезок длины l – распре-делена по закону Пуассона, где а – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l.

Замечание. В лекции 3 говорилось о том, что формула Пуассона выражает биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Поэтому закон Пуассона часто называют законом редких явлений.

 

Лекция 5.

Функция распределения  и плотность распределения непрерывной  случайной величины, их взаимосвязь  и свойства. Равномерное распределение вероятностей.

 

Определение и свойства функции  распределения сохраняются и  для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения  можно считать одним из видов  задания закона распределения. Но для  непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения:  р(Х = а) = F(a) – F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной  величины является так называемая плотность  распределения (плотность вероятности, дифферен-циальная функция).

Определение 5.1. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

                                                         f (x) = F′(x),                                                           (5.1)