Лекции по "Теории вероятностей и математической статистике"

то есть является производной функции  распределения.

                     Свойства плотности распределения.

1. f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.
2. , что следует из определения плотности распределения.
3. Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой                                                                            Действительно,
4. (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что а
5. так как при

Таким образом, график плотности распределения  представляет собой кривую, располо-женную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

 

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала   [a, b] f(x) ≡ 0.

 

Пример 1. Плотность распределения  непрерывной случайной величины задана формулой

                                        

Найти: а) значение константы С;  б) вид функции распределения;  в) p(-1 < x < 1).

Решение. а) значение константы С найдем из свойства 4:

 откуда  .

б)

в)

Пример 2. Функция распределения  непрерывной случайной величины имеет вид:

               

Найти плотность распределения.

Решение.

    

 

                        Равномерный закон распределения.

 

  Часто на практике мы имеем  дело со случайными величинами, распределенными определенным типовым  образом, то есть такими, закон  распределения которых имеет  некоторую стандартную форму.  В прошлой лекции были рассмотрены примеры таких законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона). Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.

 

Определение 5.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

Найдем значение, которое принимает f(x) при Из условия нормировки следует, что откуда .

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал равна при этом

Вид функции распределения для  нормального закона:   

 

Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти  вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.

Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0, 5]. Тогда 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция 6.

Нормальный закон распределения  вероятностей. Нормальная кривая. Функция  Лапласа. Вычисление вероятности попадания  в заданный интервал нормальной случайной  величины. Правило трех сигм. Показательное  распределение. Функция надежности. Показательный закон надежности.

 

Определение 6.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

                                                                                             (6.1)

Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ.

График плотности нормального  распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).

1. Область определения этой функции: (-∞, +∞).
2. f(x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси Ох).
3. то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика при
4. при х = а; при x > a, при x < a. Следовательно, - точка максимума.
5. F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.
6. при , то есть точки являются точками перегиба.

Примерный вид кривой Гаусса изображен  на рис.1.

х

                              Рис.1.

Найдем вид функции  распределения для нормального  закона:

                                                            (6.2)

Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который  невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F(x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.

Определение 6.2. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется нормированным, а его функция распределения

                        -                                                               (6.3)

• функцией Лапласа.

Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить через функцию Лапласа, если сделать замену: , тогда .

Найдем вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал:

                                     (6.4)

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).

Решение.

                                    Правило «трех сигм».

 

Найдем вероятность того, что  нормально распределенная случайная  величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ):

 

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ,    а + 3σ).

Полученный результат позволяет  сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

 

                              Показательное распределение.

 

Определение 6.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

                                                                                          (6.5)

 

В отличие от нормального  распределения, показательный закон  определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения  показательного закона:

  Следовательно,

                                                                                        (6.6)

Теперь можно найти  вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b):

                                        .                                         (6.7)

Значения функции е^-х можно найти из таблиц.

 

                                        Функция надежности.

 

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t₀ = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция                F(t) = p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

                                    R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).                                        (6.8)

Эта функция называется функцией надежности.

 

               Показательный закон надежности.

 

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

                           F(t) = 1 – e^-λt .                      

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

                R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e^-λt) = e^-λt .

 

Определение 6.4. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

                                R(t) = e^-λt ,                                                                       (6.9)

где λ – интенсивность отказов.

 

Пример. Пусть время  безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения  f(t) = 0,1 e^-0,1t при  t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как λ = 0,1, R(10) = e^-0,1·10 = e^-1 = 0,368.