Математические методы

 

ВВЕДЕНИЕ

Принято считать, что математика – это царица наук и «зрелость  науки обычно определяется тем, в  какой мере она использует математику» (С.С.Стивенс). На стыке математических и психологических дисциплин возникла относительно новая дисциплина «Математические методы в психологии».

Благодаря проникновению  математического аппарата в психологию специалисты, работающие в данной сфере, смогли количественно описывать и сравнивать наблюдаемые явления. Современному психологу владение математической статистикой необходимо прежде всего потому, что, используя ее он сможет обосновать свои рассуждения и доказать закономерность выводов.

Владение математическими  методами и правильное применение статистики позволяет психологу:

• в обобщенном виде описывать закономерности психологических явлений;
• доказывать правильность и обоснованность используемых методических приемов и методов;
• строго обосновывать экспериментальные планы;
• находить зависимости между экспериментальными данными;
• выявлять наличие существенных различий между группами испытуемых (экспериментальными и контрольными);
• строить статистические предсказания.

После изучения курса «Математические  методы в психологии» студенты должны уметь:

• выдвигать и проверять статистические гипотезы;
• описывать экспериментальные результаты;
• измерять степень сопряженности психологических явлений;
• делать правильные психологические выводы на основе результатов статистического анализа;
• понимать психологическую литературу, в которой представлена информация о статистической обработке экспериментальных данных.

Математическая статистика, как отмечает О.Ю.Ермолаев, «в руках психолога может и должна быть мощным инструментом, позволяющим не только успешно лавировать в море экспериментальных данных, но и, прежде всего, способствовать становлению его объективного мышления».

Настоящее учебно-методическое пособие призвано дать студентам  представление об основных статистических процедурах и способах их применения.

Данное учебно-методическое пособие содержит четыре раздела. В  первых трех разделах представлены информационно-справочные материалы по основным дидактическим единицам государственного образовательного стандарта ВПО (специальность 030301 «Психология»). В параграфах приведены примеры, которые позволят студентам научиться использовать математический инструментарий. Кроме того после первого и второго разделов имеются задания для самостоятельной работы, которые позволят студентам самостоятельно проводить первоначальную статистическую обработку данных экспериментальных исследований и формулировать статистически обоснованные выводы. В четвертом разделе учебно-методического пособие представлены материалы для самоконтроля (тестовые задания и вопросы для подготовки к зачету) по всему материалу курса.

В глоссарий включены основные понятия курса «Математические  методы в психологии».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО  ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

 

Тема 1

ПРОБЛЕМА ИЗМЕРЕНИЯ  В ПСИХОЛОГИИ И ВИДЫ

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ШКАЛ

 

1.1. Измерение в  психологии

 

 Психологическое исследование  начинается с некоторого предположения, которое требуется либо подтвердить, либо опровергнуть. Это предположение – гипотеза – формулируется в отношении связи явлений или свойств в некоторой совокупности элементов.

     

 Например. Исследователи (Л.П.Фридман, Б.В.Кулагина, 1991г.) предположили, что школьная успеваемость – важнейший критерий для формирования самооценки у большинства детей 6-11 лет. В этом исследовании ученых интересуют такие свойства, как самооценка детей и их успеваемость. А совокупность элементов в данном случае – это дети 6-1 лет.

    

Для проверки такого рода предположений  исследователям нужно измерить соответствующие свойства у участников психологического исследования. Измерение – это приписывание числовых форм объектам или событиям в соответствии с определенными правилами (С.Стивенс).

В нашем примере нужно  измерить самооценку детей в возрасте 6-11 лет и сравнить полученные данные с результатами успеваемости. Однако невозможно измерить самооценку у всех детей 6-11 лет. Поэтому ученые проводят изучение разных свойств и явлений на относительно небольших группах людей. В связи с этим в психологических исследованиях рассматриваются понятия генеральная совокупность и выборка. 

Генеральная совокупность – это все множество элементов, в отношении которого формулируется предположение (гипотеза). Теоретически считается, что объем генеральной совокупности не ограничен.

Выборка – это любая группа элементов (испытуемых, респондентов), выделенная из генеральной совокупности для проведения психологического исследования.

Объем выборки, обычно обозначается буквой n, может быть любым, но не меньшим чем два респондента. В статистике различают малую (n<30), среднюю   30< n< 100 и большую выборку (n> 100).  Следует отметить, что в психологии известны исследования, в которых в качестве респондента выступал один человек (лонгитюдное наблюдение).

Основные критерии обоснованности выводов исследования – репрезентативность выборки и статистическая достоверность результатов.

 Репрезентативная выборка – это такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности представлены приблизительно в той же пропорции и с той же частотой, с которой данный признак встречается в генеральной совокупности. Первый и основной прием получения репрезентативной выборки – простой случайный отбор (рандомизация). Второй метод получения репрезентативной выборки – стратифицированный случайный отбор.

Статистическая достоверность  результатов исследования определяется при помощи методов спастического  вывода, которые предъявляют определенные требования к объему выборки.

Для разработки и адаптации  диагностического инструментария требуемый объем выборки составляет от 200 до 1000-2500 человек. Если необходимо сравнить результаты, полученные в двух выборках, то их общая численность должна быть не менее 50 человек. Если изучается взаимосвязь между какими-либо свойствами, то объем выборки должен быть не менее 30-35 человек.

Различают зависимые (связные) и независимые (несвязные) выборки. Выборки называются независимыми (несвязными), если процедура психологического исследования и полученные результаты измерения некоторого свойства у испытуемых одной выборки не оказывают влияния на особенности протекания этого же исследования и результаты измерения этого же свойства у испытуемых другой выборки. Зависимые (связные) выборки – выборки, если процедура исследования и полученные результаты измерения некоторого свойства, проведенные на одной выборке, оказывают влияние на другую.

    

Например.  При изучении самооценки детей в возрасте 6-11 лет методом срезов мы анализирует полученные данные в каждой возрастной группе 6-7-8-9-10-11 лет. В этом случае группы респондентов 6-7-8-9-10-11 лет будут несвязными. Если же мы будем изучать динамику развития самооценки у детей 6-7-8-9-10-11 лет на протяжении двух-трех лет, тогда группы респондентов будут связными.

1.2. Виды шкал

 

     С.Стивенс предложил  классификацию шкал из 4 типов  шкал измерений: номинативная, или номинальная, или шкала наименований; порядковая, или ординарная шкала; интервальная шкала, или шкала интервалов; шкала равных отношений.

     Номинативная шкала – это шкала, основанием для классификации в которой выступает nomen (лат.) – имя, название. Номинативная шкала не характеризуется количественными показателями элементов, процедура измерения в номинативной шкале сводится к классификации свойств, группировке объектов, к объединению их в классы, группы при условии, что объекты, принадлежащие к одному классу, идентичны.

     Самая простая  номинативная шкала называется дихотомической. При измерениях по дихотомической шкале измеряемые признаки можно кодировать двумя символами или цифрами, например 0 и 1, или А и B, и т.д.

     В номинативной  шкале считают частоту встречаемости  признака, т.е. число испытуемых, явлений и т.п., попавших в данный  класс (группу) и обладающих данным  свойством.

    

      Например. В учебном классе насчитывается 25 человек. Из них у 15 человек светлые волосы, а у 10 – темные. Это значит, всем ученикам со светлыми волосами мы припишем символ «А», а всем темноволосым – «Б». Частота встречаемости признака (оттенок волос: темный – светлый) в группе «А» равна 60% (15/25х100%), а в группе «Б» - 40% (10/25х100%).

     

     Для проверки  статистической достоверности различий  результатов, полученных по номинативной  шкале, можно применить следующие  критерии: критерий Макнамары, критерий χ² (хи-квадрат), угловое преобразование Фишера «φ» и коэффициент корреляции «φ».

       Интервальная шкала – шкала, классифицирующая элементы по признаку «больше на несколько единиц и меньше на несколько единиц» Каждое из возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии.

 

 

 

Для измерения посредством  шкалы интервалов устанавливаются  специальные единицы измерения; в психологии это стены и стенайны. Важной особенностью шкалы интервалов является то, что у нее нет естественной точки отсчета (нуль условен и не указывает на отсутствие измеряемого свойства). К экспериментальным данным, полученным в данной шкале, применимо достаточно большое число статистических методов.

Шкала отношений – шкала, классифицирующая элементы пропорционально степени выраженности измеряемого свойства. В шкале отношений существует твердо зафиксированный нуль. В физике абсолютная нулевая точка отсчета встречается при измерении длин отрезков или физических объектов и при измерении температуры по шкале Кельвина с абсолютным нулем температур. В психологии примерами шкал равных отношений являются шкалы порогов абсолютной чувствительности (С.Стивенс).

Шкала отношений допускает  любые математические операции и  использование разнообразных статистических методов.

Порядковая шкала (ранговая, ординарная шкала) – это шкала, классифицирующая элементы по принципу «больше – меньше», «выше – ниже», «сильнее – слабее» и т.д. Использование шкалы порядка позволяет расположить по рангу все элементы множества от самого большого до самого маленького и наоборот. При кодировании порядковых переменных им можно приписывать любые цифры (коды).

 

Пример. По методике Тейлора «тревожность» были получены результаты пяти респондентов: 42; 30; 18; 50; 22. Указанные значения можно проранжировать двумя способами (от большего значения к меньшему и наоборот) (таблицы 1.1 -1.2.).

 

Таблица 1.1.

значение	50	42	30	22	18
ранг	1	2	3	4	5

или

Таблица 1.2.

значение	18	22	30	42	50
ранг	1	2	3	4	5

 

Случай одинаковых рангов. При проведении психологических исследований могут быть получены одинаковые результаты, которые в дальнейшем необходимо проранжировать. В этом случае существуют особые правила ранжирования.

1. Наименьшему числовому значению приписывается ранг 1.
2. Наибольшему числовому значению приписывается ранг равный количеству ранжируемых величин.
3. Элементам, которые имеют равные числовые значения, приписываются ранги равные средней величине тех рангов, которые эти величины получили бы, если бы они стояли по порядку друг за другом и не были бы равны.

 

Пример. Психолог получил у 15 испытуемых следующие значения показателя вербального интеллекта: 113, 107, 123, 122, 117, 117, 105, 105, 105, 108, 114, 102, 113, 113, 113. Необходимо проранжировать полученные показатели.

1. Расположим показатели по возрастанию.

Таблица 1.3.

102

105

105

105

107

108

113

113

113

113

114

117

117

122

123

 

2. Проранжируем полученные показатели.

Таблица 1.4.

102	105	105	105	107	108	113	113	113	113	114	117	117	122	123
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15