Математические методы

 

3.  Рассчитаем ранги одинаковых значений показателя вербального интеллекта.   

Значение 105 встречается  три раза. Каждое значение в этом случае будет иметь ранг равный (2+3+4)/3=3. Значение 113 встречается четыре раза. Каждое значение в этом случае будет  иметь ранг равный (7+8+9+10)/4=8,5. Значение 117 встречается два раза. Каждое значение в этом случае будет иметь ранг равный (12+13)/2=12,5.

4. Итоговое распределение рангов будет иметь следующий вид.

Таблица 1.5.

102	105	105	105	107	108	113	113	113	113	114	117	117	122	123
1	3	3	3	5	6	8,5	8,5	8,5	8,5	11	12,5	12,5	14	15

 

Проверка правильности ранжирования.  Если ранжируется N признаков, то проверить правильность ранжирования можно по формуле:

Сумма рангов = 1+2+3+…+ N= N(N +1)/2

 

Пример. Рассчитаем правильно ли мы проранжировали значения показателя вербального интеллекта в предыдущем примере. Множество показателя вербального интеллекта включает 15 значений. По формуле найдем исходную сумму рангов

Сумма рангов = 1+2+…+15=15(15+1)/2=120

Найдем сумму  полученных нами рангов.

1+3+3+3+5+6+8,5+8,5+8,5+8,5+11+12,5+12,5+14+15=120

Полученные нами значения совпали (120=120). Значит ранжирование проведено верно.

 

1.3. Формы представления  результатов психологического исследования

 

Для наглядного представления  эмпирических данных используются различные  приемы. К таким приемам относятся  таблицы, графики, гистограммы, диаграммы, ряды распределений. Перечисленные приемы используют для наглядного представления полученных результатов и для того, чтобы в явной форме можно было бы увидеть характерные особенности поведения исследуемых признаков (явлений свойств).

Полученные психологом эмпирические данные нуждаются в обработке. Обработка начинается с упорядочения и систематизации результатов, т.е. объединение их в относительно однородные группы по некоторому признаку. Такая техническая процедура называется группировкой.

Наиболее распространенной формой представления эмпирических данных является статистические таблицы. Таблицы бывают простые и сложные.

 

Пример. Психолог проанализировал возрастной и половой состав 5-х классов в одной из школ. Получил следующие данные: мальчиков всего 26 человек, девочек – 34 человека. Из них в возрасте 10 лет – 28 человек, а в возрасте 11 лет – 32 человека.

Полученные данные можно представить в виде простой  таблицы (таблица 1.6.).

Таблица 1.6.

	10 лет	11 лет	сумма
Мальчики	14	12	26
Девочки	14	20	34
сумма	28	32	60

 

Примером сложной  таблицы служит таблица, в которой  представлены классические данные Ф.Гальтона, иллюстрирующие наличие положительной зависимости между ростом родителей и их детей (таблица 1.7.).

 

Таблица 1.7.

Рост родителей	Рост детей в дюймах								всего
	60,7	62,7	64,7	66,7	68,7	70,7	72,7	74,7
74							4		4
72			1	4	11	17	20	6	62
70	1	2	21	48	83	66	22	8	251
68	1	15	56	130	148	69	11		430
66	1	15	19	56	41	11	1		144
64	2	7	10	14	4				37
всего	5	39	107	255	387	163	58	14	928

 

Гистограмма распределения  частот – это столбиковая диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака. Высота столбика пропорциональна частоте встречаемости соответствующего значения.

 

Пример. Психолог в группе юношей и девушек (60 человек) измерил тревожность при помощи тестовой методики. Были получены следующие результаты выраженности уровня тревожности (в %).

Таблица 1.8.

	Низкий	Средний	Высокий
Юноши	10	60	30
Девушки	15	45	40

 

 

Гистограмма 1

 

Графики позволяют наглядно представить динамику изменения исследуемого признака.

 

Пример. Психолог разработал программу, направленную на развитие внимания у младших школьников. Для оценки результативности программы он использует корректурную пробу. Психологом сделаны три измерения количества ошибок по методике «корректурная проба»: до начала занятий, сразу после окончания программы и спустя месяц после окончания занятий по программе. В коррекционной группе насчитывалось 2 человека. Результаты, полученные психологом, представлены на графике.

 График 1

 

 

 

 

Следует уделять внимание при использовании таблиц, графиков, диаграмм и т.п. их названию. В названии должно быть очень понятно отражено какие результаты представлены в таблицах, гистограммах, графиках и т.д.

 

Пример. В таблице 1.6. (с.10) представлены результаты, характеризующие выборку (реальные группы учеников, обучающихся в 5-х классах) по полу и возрасту. Название таблицы: «Характеристика параллели 5-х классов (по возрасту и полу)».

В таблице 1.7. (с.10) представлены данные, характеризующие взаимозависимость между ростом детей и их родителей, поэтому название таблицы звучит так: «Взаимозависимость показателей, характеризующих рост детей и их родителей (в дюймах)».

В таблице 1.8. (с.11) и гистограмме 1 (с.11) представлены результаты, характеризующие выраженность тревожности юношей и девушек. Название таблицы и гистограммы: «Выраженность уровня тревожности среди юношей и девушек (в %)».

График 1 может  иметь следующее название: «Динамика  количества ошибок, которые допустили учащиеся при выполнении задания «корректурная проба» до и после коррекционно-развивающих занятий».

 

 

 

 

 

 

 

Тема 2

ОПИСАТЕЛЬНЫЕ  СТАТИСТИКИ

 

2.1. Меры центральной  тенденции

 

Мера центральной тенденции  – это число, характеризующее  выборку по уровню выраженности измеренного  признака.

Существуют три способа  определения «центральной тенденции», каждому из которых соответствует своя мера: мода, медиана и выборочное среднее.

Мода – это такое числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Мода обозначается – М_о.

 

Пример. В ряду значений (12, 16, 16, 18, 19, 19, 19, 20) модой является 19, потому что 19 встречается чаще любого другого числа. Обратите внимание, что мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение (в данном примере это 19), а не частоту встречаемости этого значения (в данном примере равную 3).

В ряду (5, 5, 6, 6, 7, 7) моды нет.

В выборке 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6 частоты рядом расположенных значений 2 и 5 совпадают и равняются 3. эта частота больше, чем частота других значений 1 и 6 (у которых она равна 1). Следовательно, модой этого ряда будет величина - (2+5)  = 3,5

В ряду 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17 модами являются значения 11 и 14. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной.

 

Медиана – это значение, которое делит упорядоченное (ранжированое) множество данных пополам. Обозначается медиана как Х с волной или M_d и определяется как величина, по отношению к которой по крайней мере 50 % выборочных значений меньше неё и по крайней мере 50 % - больше.  

Пример. Найдем медиану выборки 7; 14; 12; 19;. 5; 9; 11. Сначала упорядочим выборку по величине входящих в неё значений.  5; 7; 9; 11; 12; 14; 19. Поскольку в выборке 7 элементов, то четвертый будет иметь значение большее, чем первые три, и меньшее, чем последние три. Таким образом, медианой будет четвертый элемент – 11

Найдем медиану  выборки  3; 7; 2; 6; 9; 11. Упорядочим выборку: 2; 3; 6; 7; 9; 11. Поскольку здесь имеется четное число элементов, то существует две «середины» 6 и 7. В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений. М_d=(6+7)|2=6,5

Среднее – (М_х – выборочное среднее, среднее арифметическое) – определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммированных значений (формула 1).

 

     (1)

Пример. Психолог измерил уровень тревожности у учащихся 5-х классов в ситуации проверки знаний по Филипсу. Получил следующие результаты: 12; 27; 38; 26; 45; 32. Для вычисления среднего результата по группе необходимо сложить все значения 12+27+38+26+45+32=180 и полученную сумму разделить на количество элементов (на 6). М_х=30.

 

 

2.2. Меры положения

 

В психологии используются помимо мер центральной тенденции меры положения, которые называются квантилями распределения. Квантиль распределения – это точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю совокупность упорядоченных измерений на две группы с известным соотношением их численности.

Медиана – это значение, которое делит упорядоченное (ранжированое) множество данных на две группы с равной численностью.

Процентиль – это 99 точек – значений признака (Р₁, Р₂, Р₃, … Р₉₉), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 равных частей, равных по численности.

Квартили – это 3 точки – значения признака (Р₂₅, Р₅₀, Р₇₅), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 4 равные по численности части. Первый квартиль соответствует 25 процентилю, второй – 50 процентилю и медиане, третий квартиль соответствует 75 процентилю.

 

 

2.3. Меры изменчивости

 

Меры изменчивости позволяют  охарактеризовать выраженность индивидуальных различий испытуемых по измеренному признаку. Меры изменчивости применяются в психологии для численного выражения величины межиндивидуальной вариации признака.

Размах (разброс) –  разность между максимальной и минимальной величинами конкретного вариационного ряда, т.е.

R=X_max – X_min

Пример. Для определения размаха выборку необходимо упорядочить (по возрастанию). Нам дано множество данных: 4, 5, 6, 6, 7, 13, 13, 25, 25, 27, 30. Размах равен разности между наибольшим и наименьшим значениями, т.е. 30 – 4 = 26.

 

Дисперсия – это мера разброса данных относительно среднего значения. Дисперсия представляет собой наиболее часто использующуюся меру рассеяния случайной величины (переменной).

 

         (2)              

 

 

n -  объем выборки

i - индекс суммирования

M_x - среднее, вычисляемое по формуле (1)

 

Пример. Вычислим дисперсию ряда: 4, 6, 8, 10, 12.

1. Найдем среднее значение: (4+6+8+10+12)/5= 8
2. Вычислим величины для каждого элемента: 4-8=-4; 6-8=-2;

8-8=0; 10-8=2; 12-8=4. Если сложить все полученные величины, то получиться 0, а это значит, мы вычислили все верно.

3. Для того, чтобы избавиться от нуля, получаемого при сложении полученных величин, каждую величину возведем в квадрат.