Общая теория статистики

 

 

Таблица  3.3.

Вспомогательная таблица  для расчета показателей вариации

группы предприятий  по объему основных производственных фондов,    млн. руб.	центр интервала,       млн. руб.	частота          (количество предприятий в группе)	d=x'-хср	dˆ²	dˆ²*f	|d|*f	Накопленные частоты
x	x'	f					S
1	2	3	4	5	6	7	8
16,7-22,2	19,4	5	-12,1	146,41	732,05	60,5	5
22,2-27,7	24,9	8	-6,6	43,56	348,48	52,8	13
27,7-33,2	30,4	6	-1,1	1,21	7,26	6,6	19
33,2-38,7	35,9	2	4,4	19,36	38,72	8,8	21
38,7-44,2	41,4	5	9,9	98,01	490,05	49,5	26
44,2-49,7	46,9	4	15,4	237,16	948,64	61,6	30
Итого:		30	9,9	545,71	2565,2	239,8

 

 

К показателям центра распределения  относятся:

1. средняя арифметическая взвешенная
2. Мода
3. Медиана

 

1. Средняя арифметическая  для интервального ряда распределения определяется по формуле:

_       

x = å(x' *f) /åf,

     

где x' - середина соответствующего интервала значения признака.

_

X=(19,4*5+24,9*8+30,4*6+35,9*2+41,4*5+46,9*4)/30=31,5

 

2. Мода - наиболее часто встречающееся  значение признака. В интервальном ряду определяется модальный интервал (имеет наибольшую частоту). Значение моды определяется по формуле:

                                         f_Mо - f_{( - 1)}

 Мо = x_Mо +h*¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

                           (f_Mо - f_{(Мо - 1)} ) + (f_Mо - f_{(Мо + 1)} )

 

x_Mо - нижняя граница модального интервала,

 f_Mо - частота модального интервала,

f_{( - 1)} - частота интервала, предшествующего модальному,

f_{( + 1)} - частота интервала, следующего за модальным,

h – величина интервала.

 

Модальным интервалом будет [22,2-27,7), так как здесь находится наибольшее количество предприятий. Нижняя граница этого интервала 22,2, его частота 8, предмодальная частота 5, послемодальная частота 6.

Mo=22,2+5,5(8-5/[8-5]+ [8-6])=25,5

3.Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

N_Me = (n + 1)/ 2

n - число единиц совокупности.

N_Me = (30+1)/2 = 15,5

Численное значение медианы определяется по формуле:

 

  

 

                      N_Me - S_(-1)

 Ме = x_Me + i*¾¾¾¾¾

                              f_Me

x_Me - нижняя граница медианного интервала,

S_(-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

i - величина интервала,

f_Me - частота медианного интервала.

Медианным является интервал [27,7-33,2), поскольку его накопленная частота равна 19, что превышает половину суммы всех частот ((30/2)=15). Нижняя граница этого интервала 27,7, его частота 6, накопленная до него 13, величина интервала (27,7-33,2)=5,5.

 

Ме=27,7+5,5((30+1)/2-13)/6)=29,9

 

3.среднее линейное отклонение:

d = (å|x' - x|*f )/ åf = 8,11

 

4.среднее квадратическое отклонение  и дисперсия:

                            ______________

s = Öå d²*f /  åf             и            s ²= åd²*f /  åf

       _______

s=Ö2565,2/30=9,24        s ²=85,50

 

Наиболее часто употребляемый относительный показатель -  коэффициент вариации: если он не превышает 33%, то совокупность считается однородной.

          _

n=(s/ x )* 100%.

n=29,3%

Как видно из расчета, данная совокупность является однородной

 

Симметричным является распределение, в котором частоты двух любых вариантов, равноотстоящих по обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Рассчитаем  относительный показатель асимметрии:

(31,5-25,5)/9,24=0,64

Он принимает положительное  значение, это говорит о правосторонней асимметрии, поскольку больше 0,5, то асимметрия значительная.

 

 

 

Таблица  3.4.

Вспомогательная таблица  для расчета теоретических частот нормального распределения.

Группы предприятий по объему основных производственных фондов,   млн. руб.	частота          (количество предприятий в группе)	центр интервала,       млн. руб.	t=(X'-Xcp.)/σ	e^(-t^2/2)                             √2π	округленные теоретические  частоты	f - f'	(f -f')^2/f'
x	f	x'			f'
1	2	3	4	5	6	7	8
16,7-22,2	5	19,4	-1,310	0,1691	3,0	2,0	1,316
22,2-27,7	8	24,9	-0,714	0,3101	5,5	2,5	1,114
27,7-33,2	6	30,4	-0,119	0,3965	7,1	-1,1	0,159
33,2-38,7	2	35,9	0,476	0,3572	6,4	-4,4	2,987
38,7-44,2	5	41,4	1,071	0,2251	4,0	1,0	0,246
44,2-49,7	4	46,9	1,667	0,1006	1,8	2,2	2,726
Итого:	30				27,8	2,3	8,548

Для ответа на поставленный вопрос прежде всего исчисляются теоретические частоты нормального распределения по формуле f'=((n*i)/σ)*e^(-t^2/2)/√2π, где t-нормированное отклонение, t=(x -x)/σ.

_

X=(19,4*5+24,9*8+30,4*6+35,9*2+41,4*5+46,9*4)/30=31,5

       ________

σ=√∑d²·ƒ/∑ƒ

       ________

s=Ö2565,2/30=9,24

 

f'=30*5,5/9,24=17,8

 

Рис. 3.1. Эмпирическое и теоретическое нормальное распределение.

 

Находим критерий согласия ("хи-квадрат") по К. Пирсону: χ²   = ∑((ƒ-ƒ')ˆ²/ƒ');  χ²  = 8,548

Оцениваем близость эмпирического  распределения кривой нормального распределения по отношению В.И. Романовского: (χ² -(m-3))/√2·(m-3);где m - число групп.

(8,548-(6-3))/√2·(6-3)=5,124/2,45=2,5. Так как 2,1 < 3 следовательно гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

 

4. Используя ранее выполненную группировку предприятий по стоимости основных фондов (пункт 3), проверить правило сложения дисперсий по объему выработанной валовой  продукции в марте. Сформулировать практическое значение полученных результатов.

 

Общая дисперсия характеризует  вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности данных. Она определяется по формуле:

Для расчета общей дисперсии  составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты помещены в следующей таблице.

Таблица  4.1.

Вспомогательная таблица для расчета  общей дисперсии.

Выпуск валовой продукции  в марте	Число предприятий	x*f	x-xo	_  (x-xo)²	_  (x-xo)²*f
99,0	1	99,0	-28,1	789,6	789,61
54,5	1	54,5	-72,6	5270,8	5270,76
219,6	1	219,6	92,5	8556,3	8556,25
63,9	1	63,9	-63,2	3994,2	3994,24
174,2	1	174,2	47,1	2218,4	2218,41
115,7	1	115,7	-11,4	130,0	129,96
210,2	1	210,2	83,1	6905,6	6905,61
126,9	1	126,9	-0,2	0,0	0,04
180,0	1	180,0	52,9	2798,4	2798,41
90,0	1	90,0	-37,1	1376,4	1376,41
140,9	1	140,9	13,8	190,4	190,44
81,0	1	81,0	-46,1	2125,2	2125,21
104,0	1	104,0	-23,1	533,6	533,61
90,0	1	90,0	-37,1	1376,4	1376,41
56,1	1	56,1	-71,0	5041,0	5041
63,0	1	63,0	-64,1	4108,8	4108,81
217,5	1	217,5	90,4	8172,2	8172,16
158,4	1	158,4	31,3	979,7	979,69
129,6	1	129,6	2,5	6,3	6,25
68,0	1	68,0	-59,1	3492,8	3492,81
127,4	1	127,4	0,3	0,1	0,09
73,8	1	73,8	-53,3	2840,9	2840,89
111,2	1	111,2	-15,9	252,8	252,81
219,2	1	219,2	92,1	8482,4	8482,41
181,2	1	181,2	54,1	2926,8	2926,81
175,1	1	175,1	48,0	2304,0	2304
109,8	1	109,8	-17,3	299,3	299,29
158,9	1	158,9	31,8	1011,2	1011,24
135,0	1	135,0	7,9	62,4	62,41
80,6	1	80,6	-46,5	2162,3	2162,25
Итого:	30	3814,7			78408

_

x₀ = 3814,7/ 30 = 127,1– средняя валовая продукция

s ² _общ =78408/ 30 =2613,9 – общая дисперсия

  Величина этой дисперсии  характеризует вариацию стоимости продукции под влиянием всех условий.

   Далее необходимо, как и  в пункте 3, выделить 6 групп для расчета средней внутригрупповой дисперсии.

Таблица  4.2.

Расчет внутригрупповой  дисперсии по первой группе.

Валовая продукция в  марте, x	Число предприятий		_	_
	f	x * f	x – x1	(x – x1)2*f
99,0	1	99,0	-23,2	538,2
54,5	1	54,5	-67,7	4583,3
219,6	1	219,6	97,4	9486,8
63,9	1	63,9	-58,3	3398,9
174,2	1	174,2	52,0	2704,0
Итого:	5	611,2		20711,2

_                  

х ₁ = 122,2    s ² ₁ = 4142,24

Таблица  4.3.

Расчет внутригрупповой  дисперсии по второй группе.

Валовая продукция в марте, x	Число предприятий		_	_
	f	x * f	x – x1	(x – x1)2*f
115,7	1	115,7	-15,4	237,2
210,2	1	210,2	79,1	6256,8
126,9	1	126,9	-4,2	17,6
180,0	1	180,0	48,9	2391,2
90,0	1	90,0	-41,1	1689,2
140,9	1	140,9	9,8	96,0
81,0	1	81,0	-50,1	2510,0
104,0	1	104,0	-27,1	734,4
Итого:	8	1048,7		13932,5