Основные принципы построения статистических показателей и их виды

 

1.3 Средние величины

Значения, отображающие размер признака общественного явления, различаются  между собой, и это, как указывалось выше, называют вариацией явления [10]. С другой стороны, различные элементы принадлежат одному и тому же явлению, оказывают влияние друг на друга, поэтому значения признаков у таких элементов сближаются, что дает возможность рассматривать их как единую совокупность. Для исследования совокупности, обладающей различными значениями признака у отдельных ее единиц, необходимо иметь единую типическую для совокупности величину признака, позволяющую анализировать совокупность и сравнивать динамические изменения в совокупности. Для этого применяется средняя величина. Средняя величина рассчитывается только по количественным признакам, т.е. определение средней по атрибутивным признакам невозможно.

Тогда, средняя величина это: наиболее типичное для совокупности значение признака; объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «усредняемый». Среднюю величину принято  обозначать как. Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.

Средняя величина является показателем, рассчитываемым путем сопоставления абсолютных или относительных величин. Для получения требуемой средней величины необходимо корректно определить те показатели, которые следует соотнести, т.е. построить исходное соотношение средней. Исходное соотношение отражает сущность рассчитываемой средней величины. Для каждой средней величины может быть только одно исходное соотношение.

Средняя величина имеет двойственный характер: с одной стороны она  характеризует совокупность в целом, а с другой стороны, она относится  к единице совокупности, и также  является характеристикой единицы  совокупности.

Средняя величина может принимать такие значения, которые не присущи непосредственно ни одному из элементов изучаемой совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного.

В статистике выделяют несколько видов  средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина; б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя  арифметическая величина; б) средняя  гармоническая величина;

в) средняя  геометрическая величина; г) средняя  квадратическая, кубиче-ская и т.д. величины.

3. По охвату  совокупности:

а) групповая  средняя величина; б) общая средняя  величина.

Рассмотрим  подробнее отдельные виды средних  величин:

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на усредняемую  величину:

Если средняя  величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя  величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются  сведения о влиянии на усредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

По форме  расчета выделяют несколько видов  средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя вели-чина имеет форму:

       (2)

  k –  показатель степени; i –i-тый элемент  совокупности; n – число наблюдений (число единиц совокупности).

Средняя арифметическая величина. Средняя арифметическая величина – наиболее характерная форма средней, на примере которой можно выявить все свойства средней.

Формула расчет средней арифметической величины имеет  следующий вид:        (3)

  – значение изучаемого признака  для i-того элемента совокупности; n – число наблюдений (число единиц совокупности).

Средняя арифметическая взвешенная величина. Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным значением усредняемого признака, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная:

      (4)

   xi –  индивидуальные значения усредняемого признака у отдельных единиц совокупности; fi – значения признака-веса для каждой единицы совокупности.

В зависимости от усредняемых данных выделяют несколько случаев применения средней арифметической взвешенной величины [2]:

- расчет  средней арифметической взвешенной  в случае, если усредняемый признак выражен в абсолютных величинах, а признак-вес представлен первичным показателем;

- расчет  средней арифметической взвешенной  в случае, если усредняемый признак представлен в интервальном виде, т.е. когда данные, находящиеся в числителе исходного соотношения, рассчитываются следующим образом: сначала определяются середины интервалов (хi); затем серединное значение для каждого интервала умножается на значение признака-веса для этого интервала (fi); полученные произведения суммируются ( ). Полученный таким образом числитель соотносится с суммой значений признака-веса.

- расчет  средней арифметической взвешенной, если в качестве усредняемого признака принимается удельный вес (т.е. когда совокупность поделена на подгруппы, в каждой из которых определено количество единиц, обладающих изучаемым признаком, доля таких единиц в общей численности подгруппы, и необходимо рассчитать среднее значение доли во всех подгруппах (   )):

      (5)

 

 – представленное в абсолютном  выражении количество единиц j-ой  подгруппы, обладающих изучаемым  признаком; i = 1, 2, 3…n – количество  всех единиц j-ой подгруппы; k –  количество подгрупп в совокупности;

Средняя гармоническая  невзвешенная величина. Если показатель степени равен (-1), то образуется следующая форма средней:

     (6)

xi – индивидуальные значения  усредняемого признака у отдельных  единиц совокупности.

Такая средняя величина называется средней гармонической простой (невзвешенной). Она взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака.

Средняя гармоническая взвешенная величина. Средняя гармоническая взвешенная величина имеет следующий вид:

   (7)

  хi –  усредняемый признак;  w – значения сводного, объемного показателя, выступающего как признак-вес.

Средняя гармоническая  взвешенная величина рассчитывается в  том слу-чае, если имеющиеся данные предоставляют сведения об объеме определяющего  показателя, рассчитываемого как  произведение усредняемого признака и признака-веса. И если имеются также сведения об индивидуальных значениях усредняемого признака, а данные об отдельных значениях признака веса отсутствуют.

Средняя геометрическая невзвешенная величина

Если показатель степени равен 0, то получаем следующую  форму средней:

          (8)

  xi – индивидуальные значения  признака у отдельных единиц  совокупности; Пxi – произведение  индивидуальных значений усредняемого признака; n – число элементов совокупности.

 Система статистических показателей, как правило, должна включать как абсолютные показатели, так и относительные, средние. Изолированный абсолютный показатель подобен человеку в пустыне: он не говорит ничего, ибо ему не с кем говорить. Положим, предприятие произвело продукцию в 1996 г. на 46 млрд. руб. Из этого показателя нельзя извлечь никакого вывода, пока его не сопоставить с числом работников, затратами на производство, объемом продукции за предыдущий год и т. п., т. е. пока этот показатель не будет включен в систему и не будут построены относительные показатели. Из этого не следует делать вывод о большей информативности относительных показателей. Если известно, что в студенческой группе число отличников в данную сессию составило 200% к их числу в прошлую сессию, то это не значит, что группа резко повысила уровень знаний. Может быть в прошлую сессию был 1 отличник из 27 человек, а теперь стало 2, что и составило 200%. Только сочетание абсолютных и относительных показателей позволяет достаточно полно характеризовать объект в отношении поставленной задачи его изучения.

2. Вариация

2.1. Виды вариации и система  показателей вариации

Вариация – это принятие единицами  совокупности или их группами различных, отличающихся друг от друга, значений признака. Вариация является результатом воздействия на единицы совокупности множества факторов. Синонимами термина «вариация» являются понятия «изменение», «изменчивость», «вариативность», и в дальнейшем они будут употребляться как тождественные.

Вариация является одной из важнейших категорий, применяемых в статистической науке. Явления, подверженные вариации лежат в области исследования статистической науки, в то время как явления неизменные, статичные, постоянные в статистике не рассматриваются.

        Вариацией называется изменчивость только тех явлений, на которые воздействуют внешние факторы и причины. Тогда как о явлениях, изменяющихся в силу своей внутренней природы нельзя говорить, что они подвержены вариации.

Не следует путать с вариацией  изменение размера признака у одной и той же единицы совокупности, наблюдаемой в разные периоды или моменты времени. Такое изменение называется изменением во времени или динамикой явления и исследуется с помощью специальных методов.

Необходимо подчеркнуть значение исследования вариации в статистической науке:

1. Выявление изменчивости размеров  явления дает возможность оценить  степень зависимости изучаемого  явления от других факторов, в  свою очередь подверженных изменчивости, или, другими словами, – оценить  степень устойчивости явления к внешним воздействиям.

2. Вариация предполагает оценку  однородности изучаемого явления,  то есть меру типичности рассчитанной  для этого явления средней  величины.

3. Возможность оценивать вариативность  определенного признака актуализирует статистические методы в условиях современной экономики, когда задачи, стоящие перед статистикой, усложняются целым рядом объективных факторов.

4. Вариация и методы ее исследования  имеют важнейшее значение в  изучении явлений, протекающих  в обществе. Действительно, одной из главных проблем исследования общественных явлений и процессов выделяют высокий уровень их изменчивости, так как участниками общественных процессов выступают люди, обладающие различными системами ценностей и интересов.

Назовем три вида вариации (табл. 4).

Таблица 4

Виды вариации

Альтернативная	Если изучается совокупность населения мужского пола, то по признаку прохождения службы в рядах российской армии всех мужчин можно разделить  на две группы: проходившие службу, и не проходившие ее. Или в случае рассмотрения домохозяйств города по признаку наличия жилья в частной собственности все домохозяйства можно разделить на группу, обладающих жильем в частной собственности, и на группу домохозяйств, не обладающих таковым.
Систематическая	Изменение признака в определенном направлении. Вариация является систематической, только если изменение явления в определенном направлении не обусловлено внутренними законами развития изучаемого явления.
Случайная	Не имеющая явно выраженного  направления, т.е. изменчивость признака при случайной вариации не предсказуема

 

2.2.  Абсолютные показатели вариации

Абсолютные показатели вариации непосредственно  характеризуют изменчивость исследуемой  совокупности, тогда как относительные  показатели вариации являются результатом  сопоставления абсолютных.

В состав абсолютных показателей вариации включаются:

Размах вариации (R), отражает пределы изменчивости признака или, другими словами, амплитуду вариации. Размах вариации рассчитывается как разность между максимальной величиной признака (xmax) и минимальной величиной признака (xmin), т.е. по формуле:

      (9)

Среднее линейное отклонение ( ) – величина, отражающая среднее отклонение от среднего значения в совокупности. Другими словами, среднее линейное отклонение показывает диапазон, в котором лежит основная масса значений признака вокруг средней величины. Поскольку сумма отклонений от средней величины равна нулю, поэтому для расчета среднего линейного отклонения применяется модуль. Если при изучении признака не учитываются другие факторы, то среднее линейное отклонение рассчитывается как:

        (10)

хi – индивидуальные значения исследуемого признака;  – среднее значение исследуемого признака; n – число единиц в совокупности.

Применение модуля при расчете  среднего линейного отклонения накладывает ряд ограничений на дальнейшие математические действия с данной величиной. Поэтому на практике, как правило, применяется среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое как корень квадратный из дисперсии. Формулы этих показателей имеют следующий вид:

а) если исследуется только один признак:

        (12)

б) для исследования с учетом влияния  признака, влияющего на изучаемый (признака-веса):

                (13)

То есть, в данных показателях  функцию модуля выполняет возведение в квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней.

Расчет дисперсии имеет особое значение для анализа совокупности, поскольку все отклонения от среднего значения усиливаются возведением в квадрат. Поэтому чем менее однородна совокупность, тем большее значение будет иметь дисперсия.

Существует второй способ расчета дисперсии с помощью моментов. Опустим математический вывод тождества двух вариантов расчета, отметим только, что в результате дисперсия рассчитывается как разность квадратов: начальный момент второго порядка минус квадрат начального момента первого порядка. Читается данная формула следующим образом: средний квадрат минус квадрат средней. То есть, второй вариант рассчитывается как:

а) если исследуется только один признак

    (14)

б) для исследования с учетом влияния  признака-веса:

 (15)

Практика показывает, что для  расчета дисперсии указанным  способом необходимо выполнить меньше действий, нежели при первом варианте. Отрицательной стороной метода является менее явное отражение сути дисперсии, как отклонения от средней величины.