Отчет по самостоятельной работе по дисциплине "Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы"

Федеральное агентство по образованию

 

Московский  Государственный Горный Университет

 

 

Кафедра АСУ

 

 

 

Отчет

по  самостоятельной работе

по  дисциплине «Теория вероятностей,

математическая  статистика и случайные процессы»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

                                                                                    ст. гр. АС-1-09 Ванжилов А. Л.

Принял:

проф. Бахвалов Л.А.

 

 

Москва 2011

Аннотация:

 

В данном отчете приведен обзор теоретического материала в объеме лекционного материала, в контексте выполнения данной работы. Помимо теоретических формул представлены некоторые упрощенные формулы для практических вычислений. Отчет выполнен в Microsoft Word, формулы написаны с помощью редактора формул Microsoft Equation 3.0. Так же представлены практические выкладки по выполнению задания в объеме лекционного материала. 

Выполненная самостоятельная  работа охватывает основные разделы математической статистики, такие как равномерно распределенные случайные величин, их основные характеристики, создание и анализ выборок, работа с выборочными оценками и построение доверительных интервалов, работа с гистограммами, проверка статистических гипотез и другие.

В ходе работы создается  выборка случайных величин, вычисляются  ее параметры (как точечные, так и  интервальные), выборка нормализуется, приводится к заданному виду, по выборке строятся гистограммы, находятся коэффициенты корреляции, автокорреляционные функции и спектральные плотности.

Для выполнения работы написана часть программы в среде разработки Microsoft Visual C#.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

 

 

1. Задание

 

1. Исследовать статистические характеристики РРСВ:

 

1.1. получить выборку значений РРСВ объемом 150 элементов (четыре значащих цифры) на отрезке (0; 1) с помощью мультипликативного генератора случайных чисел,

1.2. построить гистограмму для этой случайной величины,

1.3. по гистограмме найти оценку математического ожидания и дисперсии и сравнить ее с оценкой, найденной по выборке.

 

2. Исследовать НРСВ:

 

2.1. построить выборку НРСВ по формуле скользящего суммирования k = 5 чисел (выборка №2),

2.2. построить гистограмму по выборке №2, по гистограмме определить математическое ожидание и дисперсию,

2.3. преобразовать полученные случайные величины к случайным величинам с математическим ожиданием равным числу лет и дисперсией равной 10. Назовем эту выборкой №3.

 

3. Исследование статистических характеристик СВ:

 

3.1. построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии выборки №3,

3.2. проверить  гипотезу о виде закона распределения  по критерию χ²,

3.3. найти вероятность того, что студент старше вас на 2 года,

 

4. Исследование случайных процессов:

4.1. для выборки №2 построить автокорреляционную функцию,

4.2. нормировать автокорреляционную функцию,

4.3. построить спектральную плотность по корреляционной функции.

 

Отчёт должен быть выполнен в Microsoft Word, напечатан, переплетён.

 

Графика в отчёте должна быть выполнена графическим  редактором. Формулы должны набираться с использованием редактора формул Microsoft Word. Пояснительная записка должна содержать необходимые теоретические материалы в объёме лекционного материала.

 

2. Теоретическая часть

2.1. Теоретическая  часть 1-го задания.

2.1.1. Случайная величина

 

Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает только одно значение из всех возможных, наперед не известное и зависящее от случайных величин, которые заранее не могут быть учтены.

 

Равномерно  распределённой случайной величиной  называется случайная величина, которая с равной вероятностью принимает любое из возможных значений. На своей области определения она имеет равномерную плотность распределения (рис.1)¹.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.2. Числовые  характеристики случайных величин

 

Числовыми характеристиками равномерно распределённой случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

 

Математическое ожидание (m_x) непрерывной случайной величины X имеет смысл среднего значения величины Х и является величиной неслучайной. Для непрерывной величины математическое ожидание определяется интегралом:

В случае для дискретной случайной величины математическое ожидание принимает вид:

Для нахождения оценки математического ожидания по выборке объемом N элементов данная формула может быть преобразована в следующую:

 

Математическое  ожидание m_x случайно величины Х, равномерно распределённой в интервале (a,b), равно полусумме концов интервала.

 

 

 

 

 

Дисперсия случайной величины имеет смысл меры разброса случайной величины относительно среднего значения и является величиной неслучайное. Для непрерывной величины дисперсия определяется интегралом:

Дисперсией  дискретной математической величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:

Для практического  вычисления дисперсии также можно  пользоваться упрощенной формулой:

 

2.1.3. Мультипликативный генератор

 

Для получения равномерно распределенных случайных величин можно использовать мультипликативный генератор. Принцип его работы может быть записан следующей формулой (здесь фигурными скобками обозначена операция взятия дробной части числа, M – целое нечетное число – модуль мультипликативного умножения):

Для работы требуется задать первое число (по возможности с большим  количеством знаков после запятой), и по формуле найти необходимое  количество чисел. Генератор выдает равномерно распределенные числа в пределах от 0<x<1.

 

 

Адаптивный  мультипликативный генератор – чтобы избежать обнуления или периодизации получаемых с помощью генератора чисел, его формула была доработана.

Для работы адаптивного  мультипликативного генератора нужно указать два первых числа, а также значения параметров (в данной самостоятельной работе M – модуль мультипликативного умножения, P – месяц рождения). Далее применяя эту формулу рекурсивно, находится необходимое количество равномерно распределенных случайных чисел.

 

Выборкой {x₁, х₂, …, х_n} объёма N из совокупности, распределённой по F(x), называется N независимых наблюдений над случайной величиной Х с функцией распределения F(x).

2.1.4. Построение гистограмм

 

Выборки больших объёмов  труднообозримы. Найдем диапазон значений выборки, разобьём его на равные интервалы и подсчитаем для каждого интервала частоту – количество наблюдений, попавших в него. Частоты, отнесённые к общему числу наблюдений N, называют относительными частотами; а графическое представление распределения частот по интервалам – гистограммой; накопленной частотой для данного интервала называют сумму частот данного интервала и всех тех, что левее его.

Гистограмма – кусочно-постоянная функция значений случайной величины, характеризует частоту попадания в интервал.

Гистограмма – удобный  инструмент для статического анализа. Число столбцов гистограммы обычно берут небольшим, что делает гистограмму  удобной для обозрения. Однако она  отражает все характеристики выборки  с весьма малой погрешностью, и поэтому с помощью гистограммы можно оценить вид закона распределения и подобрать его аналитическое выражение.

 

                                                                                                                                                         

2.1.5 Алгоритм построения гистограмм

 

Пусть Х –  случайная величина, a≤x≤b (Х принимает  произвольные значения в интервале [a,b]), и дана выборка {x0, x1, x2, x3, …,xN-1, xN}

Алгоритм:

1) Выберем xmin и xmax  из выборки наблюдений. Например, xmin= a, xmax = b

2) Разобьём интервал (xmin ; xmax) на k подынтервалов. Обычно берут 5≤k≤10

 

 

 

 

 

3) Находим величину  подынтервала:

 

4) Определяем границы подынтервалов:

 

5) Подсчитаем количество наблюдений, попавших в каждый интервал. Обозначим его n_j, j = 1,2,3, … k

6) Подсчитаем  относительные частоты – то  есть вероятности попадания значения  в каждый интервал:

7) Построим график диаграммы:

 

 

 

 

2.1.6. Статистический анализ гистограмм

 

Гистограмме соответствуют  числовые характеристики: среднее значение, средний квадрат и т.д. Эти числовые характеристики являются выборочными оценками соответствующих числовых характеристик случайной величины и представляют собой некоторые функции (статистики) от выборочных значений. Таким образом, по гистограмме возможно оценить числовые характеристики случайной величины 8.

Нахождение  оценки математического ожидания (среднее  значение выборочных наблюдений):

 

Нахождение  оценки дисперсии:

 

 

 

2.2. Теоретическая часть 2-го задания

2.2.1. Случайная величина

 

Нормально распределенной случайной величиной называется величина, плотность распределения которой описывается формулой:

Нормально распределенные величины чаще всего встречаются  в практике инженерных расчетов, так  как при суммировании большого числа случайных факторов и величин результат имеет нормальное распределение.

 

Для упрощения расчетов можно привести СВ к стандартному виду, то есть к такому, что ее математическое ожидание равно нулю, а дисперсия – единице. При этом многие формулы примут более простой вид, и именно для стандартизированной СВ созданы таблицы вычисления функций φ(х), Ф(х), χ² и т.д.

Для стандартизации применяется формула:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.2. Алгоритм сглаживания” выборки путём скользящего суммирования

 

Скользящим суммированием  называется операция сглаживания. Она часто применяется в задачах фильтрации и прогнозирования, так как позволяет увидеть глобальные закономерности значений случайной величины, не отвлекаясь на локальные колебания графика.

 

 

Реализация скользящего суммирования:

Пусть дана выборка {x₀, x₁, x₂, … , x_N}

Формула скользящего  суммирования имеет вид:

Где k – коэффициент, отражающий глубину скользящего суммирования (k=5);

-начальное значение x; - преобразованное значение.

Как видно, в  сглаженной выборке будет на k элементов меньше, чем в исходной.

2.2.3 Приведение выборки к виду с заданными параметрами

 

Чтобы привести выборку к виду с заданными  параметрами m_x и σ_х², требуется:

1. Привести выборку к стандартному виду (m_x = 0 и σ_х² = 1)
2. Привести выборку к заданному виду по формуле, обратной формуле стандартизации:

                                      

 

2.3. Теоретическая  часть 3-го задания

2.3.1. Интервальные оценки параметров распределения

 

Наряду с  точечными оценками параметров, представляющими  из себя некоторую случайную функцию от выборки, в статистике широко используются интервальные оценки параметров. Интервальная оценка параметра указывает границы возможных значений выборочных оценок с некоторой наперед заданной степенью достоверности. Поэтому интервальные оценки параметров позволяют установить точность и надежность точечных оценок. Границы возможных значений называются доверительными интервалами. Заданная степень достоверности называется доверительной вероятностью.

 

 

Построение доверительного интервала для математического  ожидания НРСВ.

 

Пусть Х –  НРСВ, неизвестны математическое ожидание и дисперсия. Дана выборка {x₁, x₂, x₃, … , x_N}, по данной выборке наблюдений находятся выборочные оценки:

 

Необходимо построить  доверительный интервал такой, что (принимаем значения отклонения от истинного m_x в обе стороны равными):

 

Величина q=(1-P_дов)*100% – это уровень значимости, характеризующий вероятность того, что полученная оценка параметра не попадет в вычисленный интервал. Чем меньше q, тем точнее указан интервал значений параметра, но в то же время тем этот интервал шире. Для увеличения точности необходимо увеличивать количество наблюдений N.