Отчет по самостоятельной работе по дисциплине "Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы"

 

 

 

Нахождение  отклонения Δ основано на том, что случайная величина подчиняется распределению Стьюдента, зависящему только от объема выборки N (а точнее – от числа степеней свободы k = N -1):

 

Преобразуя  эту формулу, получаем выражения  для расчета отклонения Δ:

 

Тогда величину m_x можно записать как:

 

 

Построение  доверительного интервала для дисперсии  НРСВ

 

Для построения доверительного интервала для дисперсии воспользуемся формулой критерия «хи квадрат»:

 

Отсюда оценка дисперсии σ_х² будет записываться так:

 

Где значения χ_max² = χ(N-1, q/2),  а χ_min² = χ(N-1, 1-q/2) находятся по таблице.

 

 

 

Доверительный интервал для оценки МО будет выглядеть  следующим образом:

Доверительный интервал для оценки дисперсии будет выглядеть следующим образом:

 

.

2.3.2. Подбор теоретического закона распределения по выборке

 

Чаще всего встречаются выборки РРСВ, НРСВ или ЭРСВ (экспоненциально распределенная СВ).

 

Подбор

Если закон  распределения не известен, то возможно предположить, что он имеет определённый вид. Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производиться при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Имеется несколько критериев согласия: χ², критерий Пирсона, Колмогорова и т.д.

Для выбора теоретического распределения анализирует вид  гистограммы, после чего проверяется гипотеза о том, что случайная величина Х имеет выбранное теоретическое распределение. Рассмотрим пример проверки гипотезы о том, что случайная величина Х имеет нормальное распределение, с применением критерия Пирсона.

 

Пусть дана выборка  Х {x₁, x₂, …, x_N}, для которой вычислены оценки m_N^x, σ_x,N², P_k(x).

Гистограмма выборки имеет  вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

Суда по гистограмме, вполне логично предположить, что  выборка распределена нормально. Проверим данное предположение при уровне значимости 0,05:

 

Из гистограммы  у нас есть эмпирические (опытные) частоты. Для проверки требуется сначала найти теоретические частоты, а затем найти и сравнить эмпирический критерии χ² с его критической точкой при данном уровне значимости (берется из таблицы критических точек χ²). Если эмпирический критерий окажется меньше критической точки, то нет оснований отвергнуть данную гипотезу, то есть вероятность того, что мы ошиблись в предположении о законе распределения, не превышает уровня значимости.

 

 Нахождение теоретических частот

 

1. По гистограмме возьмем интервалы и найдем середины интервалов х_i^*- мы получим выборку значений { х₁^*,  х₂^*,  х₃^*, … ,  х_k^*}, где k – количество интервалов гистограммы.
2. Далее для найденной выборки найдем оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения: m_x* и σ^*.
3. Нормируем случайную величину Х и переходим к случайной величине

Z = (X – m_x*)/σ^*. Соответственно вычисляем концы нормированных интервалов (z_i, z_i+1). При вычислении концов интервалов наибольшее значение z_k полагают равным ¥, а наименьшее значение z₁ = - ¥ .

4. Вычисляют теоретические вероятности pi попадания Х в интервалы (x_i, x_i+1) через функцию Лапласа по формуле:

5. Вычисляют теоретические частоты n_i’ = N*p_i

 

 

Проверка  гипотезы

 

1. После того, как вычислены теоретические частоты  n_i^’, находят эмпирическое значение критерия χ² по формуле:

2. По заданному уровню значимости q и числу степеней свободы s = k – 3 находят в таблице значение χ_кр²
3. Сравнивают полученные значения: если χ_эмп² < χ_кр², то нет основания отвергнуть гипотезу, если же χ_эмп² > χ_кр², то гипотезу отвергают.

 

После того, как  проверена гипотеза о виде распределения, можно выровнять гистограмму, то есть изобразить аналитическую функцию распределения. Для ее построения требуется взять точки того же интервала, что и гистограмма (но гораздо плотнее, чтобы график функции получился гладкий), и рассчитать значения функции в них по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.3. Вероятность попадания точек в заданный интервал

 

Дана нормализованная  случайная величина Х, известны m_x и σ_х², границы интервала (a, b). Требуется найти p = Вер{a≤x≤b}

 

Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащие  интервалу (a, b), равна определённом интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

 

 

Данный интеграл легко выражается через табличную функцию Лапласа:

 

2.4. Теоретическая  часть 4-го задания

2.4.1 Исследование случайных процессов

 

Если случайная  величина зависит от времени, то она  образует случайный п

Основные типы случайных процессов.

1) Стационарный  СП – такой СП, характеристики  которого не зависят от времени.

2) Нормальный  ССП – такой ССП, у которого  каждое значение  - НРСВ.

3) Эргодический  ССП – такой ССП, реализация  которого на бесконечной оси времени, нарезанной кусками длиною , дает нам множество всех реализаций. В эргодическом ССП достаточно иметь одну реализацию, чтобы провести анализ.

2.4.2. Коэффициент корреляции

 

Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:

 

Корреляционным  моментом случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонения этих велечин:

µ_xy = M{[X-M(X)]•[Y-M(Y)]}

 

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу (p(x_i, y_j) – совместная вероятность событий X = x_i и Y = y_j):

 

Очевидно, что  в нашем случае, когда все вероятности  равны, формула может быть преобразована  к виду:

2.4.3. Автокорреляционная функция

 

Математическое  ожидание и дисперсия характеризуют случайную величину далеко не полностью. Можно привести двух случайных величин, которые имеют одинаковые математическое ожидание и дисперсию, но поведение их различно. В частности, зная лишь эти две характеристики, ничего нельзя сказать о степени зависимости двух сечений. Для оценки этой зависимости вводят новую характеристику – автокорреляционную.

Автокорреляционная функция – k_x(τ_j) – неслучайная функция временного смещения τ_j, значения которой при каждом фиксированном значении τ_j равны корреляционному моменту сечений, соответствующих данному временному смещению. Автокорреляционная функция показывает, на сколько значение случайной величины зависит от предыдущих значений. Если эта функция с ростом τ_j стремится к нулю, значит значения случайной величины независимы друг от друга.

Автокорреляционная функция  для стандартизированной выборки  мощность N вычисляется по формуле:

 

2.4.4 Спектральная плотность

 

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса называется функция:

Формула для  практических вычислений может быть получена путем преобразования Фурье. Функция ρ_хх четная, поэтому можно оставить сумму от 0, а не от -k:

 

3. Практическая часть

 

Для выполнения самостоятельной работы была написана программа, с помощью которой  производятся все расчеты и отображаются данные, как текстовые, так и графические.

3.1. Задание 1

Для генерации выборки следует сначала запустить программу – откроется основное окно программы (рис.1.)

 

Рис.1. – Основное окно программы

В основном окне нужно выбрать  ту часть задания, которую нужно выполнить.

В Части 1 нужно ввести первое и второе случайные числа, а затем нажать кнопку «Выполнить расчеты». При генерации в окне отобразятся элементы выборки, также будет рассчитано их математическое ожидание и дисперсия (рис.2.). Элементы первой выборки см. приложение 1 (стр.37 ).

Месяц рождения = 7; M = 7; начальное значение = 0,0177.

Рис.2. – Первая выборка, математическое ожидание и  дисперсия (также мат. ожидание и  дисперсия, найденные по гистограмме).

По выборке:

  = 0,5201

   = 0,0759

 

По гистограмме:

m = 0,5006

  = 0,0757.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Задание  1

 

На рисунке 2 можно увидеть  интервалы и количество попаданий в них элементов

выборки. По этим данным строится гистограмма 1.

 

                            Рис. 3 Гистограмма по выборке №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. Задание 2

Преобразование выборки №1 с помощью метода скользящего суммирования

 

В главном окне программы (рис. 1) переходим к Части 2. Затем нажав кнопку «Выполнить расчеты» получаем выборку №2, полученную методом скользящего суммирования (глубина суммирования = 5), а также математическое ожидание и дисперсию, полученные по выборке №2.

Элементы выборки  №2 см. приложение 2. (стр.38).

 

Рис.3. – «Часть 2»

В расчетах части 2 (рис.3) есть математическое ожидание и дисперсия, найденные по гистограмме.

По выборке:

  = 2,6124

   = 0,4769

 

По гистограмме:

m = 2,7006

  = 0,5008.

 

 

 

 

 

3.2. Задание  2

 

На рисунке 3 можно увидеть интервалы и  количество попаданий в них элементов

выборки. По этим данным строится гистограмма 2.

 

 

                              Рис. 4. Гистограмма по выборке  №2

 

 

3.3. Задание 2

 

Преобразование  выборки №2

 

Преобразуем выборку  №2 к выборке с МО = 18 и дисперсией = 10 с помощью формулы стандартизации  
                                                                                       
и формулы приведения выборки к выборке с заданными МО и дисперсией

  = . Это будет выборка №3.

 

В главном окне (рис.1) нажимаем кнопку Часть 3. В окне части 3 (рис.5) нажимаем кнопку «Выполнить расчеты». В левой части окна – выборка №3, есть найденные интервалы и количество попаданий в них элементов выборки №3.

Выборку №3 см в  приложении 3 (стр.39).

 

Рис.5. Часть 3.

По данным рассчитанными  в части 3, строим гистограмму.

Математическое  ожидание и дисперсию по гистограмме  см на рис.5.

По выборке:

  = 17,9120

   = 9,8228

 

По гистограмме:

m = 17,8849

  = 9,5186.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Задание 2

Построение  гистограммы по выборке №3

 

 

                         Рис.6. Гистограмма по выборке №3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. Задание 3

Исследование  статистических характеристик случайных  величин.

Найдем доверительные  интервалы для математического  ожидания и дисперсии выборки №3.

Для того чтобы  рассчитать доверительный интервал для математического ожидания, нужно  воспользоваться «Таблицей распределения Стьюдента». При:

Pдов = 0,95,

числу степеней свободы k = N-1=146-1=145

и уровню доверия  α = 0,05

находим tкр = 1,9768.

Доверительный интервал для оценки МО будет выглядеть следующим образом:

Подставляя  значения, получим:

Для подсчета доверительного интервала для дисперсии воспользуемся  следующей формулой:

Из таблицы распределения  были найдены значения = 123,4789; = 187,5299.

Подставляя значения в  формулу, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка  закона распределения по критерию .

 

После вычисления теоретических частот ni’, подсчета эмпирического значения критерия по формуле:

и нахождения критического значения, сравниваем найденные значения:

χ2эмп=24,1615   и χ2кр=11,3449  =>  χ2эмп> χ2кр  - гипотеза не принимается.

 

Найти вероятность того, что студент  старше вас на 2 года.

 

Чтобы рассчитать вероятность студентов старше меня на 2 года, стандартизируем значение третьей выборки по формуле:

 

Далее мы нашли  значения функции  из таблицы распределения Лапласа.