Производительность труда

сумма всех частот,

– частота медианного интервала,

 – кумулятивная (накопленная)  частота интервала, предшествующего медианному.

Определим медианный интервал, используя графу 5 таблицы 5. Медианным интервалом является интервал 160 – 180 чел , т.к. именно в этом интервале накопленная частота S₃=19  впервые превышает полусумму всех частот:

Расчёт медианы:

Вывод .Полученный результат говорит о том, что из 30 предприятий одной из отраслей экономики 15 предприятий имеют среднесписочную численность работников не более 173 чел., а 15 предприятий – более 173 чел.

 

1.3. Рассчитать  характеристики ряда распределения:  среднюю арифметическую, среднее  квадратическое отклонение, коэффициент  вариации.

Для расчёта  характеристик ряда распределения  на основе таблицы 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( - середина интервала).

Таблица 6

Расчётная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения

Группы  предприятий по среднесписочной численности работников, чел.	Середина интервала, x'j	Число предприятий
120 - 140	130	3	390	-43	1849	5547
140 - 160	150	5	750	-23	529	2645
160 - 180	170	11	1870	-3	9	99
180 - 200	190	7	1330	17	289	2023
200 - 220	210	4	840	37	1369	5476
ИТОГО	-	30	5180	-	-	15790

 

А) Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную.

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов (“от – до”), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимаются середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд. Т.о. средняя арифметическая будет равна:

Б) Рассчитаем среднее квадратическое отклонение.

Представляет собой корень квадратный из дисперсии. Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонения вариантов от их средней величины, она вычисляется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько, в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты.

В) Рассчитаем коэффициент вариации:

По величине коэффициента вариации можно судить о степени  вариации признаков, а следовательно, об однородности состава совокупности.

Вывод. Анализ полученных значений показателей и говорит о том, что средняя величина среднесписочной численности работников составляет 173 чел., отклонение от средней численности в ту или иную сторону составляет в среднем 23 человека (или 13,3%), наиболее характерные значения среднесписочной численности работников находятся в пределах от 150чел. до 196 чел. (диапазон ).

Значение  не превышает 33%, следовательно, вариация численности работников в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественнооднородна.

Расхождение между  значениями , Мо и Ме незначительно ( , Мо= 172 (чел), Ме= 173 (чел)), что подтверждает вывод об однородности совокупности банков. Таким образом, найденное среднее значение среднесписочной численности работников (173 чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности банков.

1.4. Вычислить  среднюю арифметическую по исходным  данным (табл. 1), сравнить её с  аналогичным показателем, рассчитанным  в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Для расчета  применяется формула средней арифметической простой:

Результат расчетов средней арифметической в п.3 совпадает  с результатом расчетов в п.4. Это произошло потому, что при исчислении средней арифметической в интервальном ряде допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале. Т.к. интервал в нашей задаче достаточно узкий - 20, а число единиц в интервале достаточно большое, следовательно, ошибка расчетов в п.3 мала, и результаты расчетов п.3 и п.4 совпадают.

 

ЗАДАНИЕ 2

По исходным данным таблицы 1 с использованием результатов  выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установите наличие и характер связи между признаками - среднесписочная численность работников и выпуск продукции методом аналитической группировки, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.

2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

3. Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

 

Выполнение  задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

По условию  Задания 2 факторным является признак Среднесписочная численность работников (X), результативным – признак Выпуск продукции (Y).

 

2.1. Установите  наличие и характер связи между  признаками - среднесписочная численность работников и выпуск продукции методом аналитической группировки, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.

Применение  метода аналитической группировки:

При использовании  метода аналитической группировки  строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение   результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Вначале строим рабочую таблицу:

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х и результативным признаком Y.

Таблица 7

Зависимость объема выпускаемой продукции от среднесписочной численности работников.

Номер группы	Группы  предприятий по среднесписочной численности работников, чел.	Число предприятий, fj	Среднесписочная численность работников, чел.		Объем выпускаемой продукции, млн. руб.
			всего	Средняя численность работников	всего	в среднем на одно предприятие ¯yj
1	2	3	4	5	6	7
1	120 - 140	3	387	129	63	21
2	140 - 160	5	750	150	165	33
3	160 - 180	11	1870	170	484	44
4	180 - 200	7	1323	189	392	56
5	200 - 220	4	860	215	276	69
ИТОГО	-	30	5190	173	1380	46

 

Вывод. Данные таблицы 7 показывают, что с ростом среднесписочной численности работников, средний объем продукции, выпускаемой одним предприятием, растет. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

 

2.2. Оценить  тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Для измерения  тесноты и силы связи между  факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение η.

А) Коэффициент детерминации η² характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

где – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия  признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство , а при наличии функциональной связи между ними – равенство .

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Yфакторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:

гдеy_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного  признака;

n – число единиц совокупности.

Межгрупповая  дисперсия  измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

где –групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчёта  показателей  необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя  и знаменателя формулы имеются  в таблице 7 (графы 3 и 6 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

Для расчёта общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 8.

Таблица 8

Вспомогательная таблица для расчета общей  дисперсии

Номер  предприятия  п/п	Объем выпускаемой продукции, млн. руб.
1	2	3	4
1	37	-9	81
2	47	1	1
3	40	-6	36
4	60	14	196
5	44	-2	4
6	64	18	324
7	68	22	484
8	59	13	169
9	43	-3	9
10	48	2	4
11	24	-22	484
12	36	-10	100
13	58	12	144
14	42	-4	16
15	30	-16	256
16	25	-21	441
17	45	-1	1
18	41	-5	25
19	28	-18	324
20	70	24	576
21	39	-7	49
22	34	-12	144
23	14	-32	1024
24	46	0	0
25	48	2	4
26	54	8	64
27	74	28	784
28	56	10	100
29	45	-1	1
30	61	15	225
ИТОГО	1380	-	6070

Рассчитаем  общую дисперсию:

Для расчёта межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 9. При этом используются групповые средние значения из таблицы 8.

Таблица 9

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы  предприятий по среднесписочной численности работников, чел.	Число предприятий, fj	Среднее значение   в группе
1	2	3	4	5
120 - 140	3	21	-25	1875
140 - 160	5	33	-13	845
160 - 180	11	44	-2	44
180 - 200	7	56	10	700
200 - 220	4	69	23	2116
ИТОГО	30	-	-	5580

 

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициент детерминации:

Вывод: Выпускаемая продукция на 91,9% зависит от среднесписочной численности работников, а на 8,1% - от других факторов.

Б) Эмпирическое корреляционное отношение η оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

Чем значение корреляционного  отношения ближе к единице, тем  теснее, ближе к функциональной зависимости  связь между признаками.

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между выпуском продукции и среднесписочной численностью работников является весьма тесной.

 

2.3. Оценить  статистическую значимость показателя  силы связи.

Показатели η и η² рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли  иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи η,η² несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.