Статистические методы изучения рентабельности

 

Рис. 2. Кумулята распределения организаций по уровню рентабельности продукции

 

Найдем медианный  интервал, т.е. интервал, накопленная  частота которого впервые больше или равна половине всей сумме  частот,  в данном случае 15.

Интервал  20,914 – 23,900 является медианным, его нижняя граница равна х_н=20,914 е=2,986

Me= х_н+е(15+S_Me-1)/m_Me    Me=20,914+2,986*(15-12)/9=21,909%

 

3. Рассчитываем характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли, для этого составим расчетную таблицу :

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Уровень рентабельности (%)	Число предприятий,	Середина интервала,
14,943-17,928	4	16,436	65,742	31,047	124,188
17,928-20,914	8	19,421	155,368	6,693	53,544
20,914-23,900	9	22,407	201,663	0,159	1,431
23,900-26,885	6	25,393	152,358	11,458	68,748
26,885-29,871	3	28,373	85,119	40,640	121,92
∑	30		660,25	89,997	369,831

Средняя арифметическая взвешенная: 

     получаем : = 660,25: 30 = 22,008 ≈ 22%.

Среднее квадратическое отклонение : 

  получаем : σ=√(369,831/30)=√12,328=3,511 ≈ 3%.

 Определяем дисперсию:

получаем: =12,328

Коэффициент вариации :

    =(3,511/22,008)*100% = 15,95%

Анализ  полученных значений показателей  и σ говорит о том, что средняя величина уровня рентабельности организаций составляет  22%, отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 3% , наиболее характерный уровень рентабельности находиться в пределах от 19 до 25% (диапазон ± σ ).

Значение  = 15,95% не превышает 33% следовательно вариация среднего уровня рентабельности исследуемой совокупности по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( = 22,008%, Мо = 21, 66%, Ме =21,909%), что подтверждает вывод об однородности совокупности организаций. Таким образом, найдено среднее значение уровня рентабельности (22%) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.

4. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным.

.

Более точное значение показывает простая средняя  арифметическая = 22,27%, т.к. средняя арифметическая взвешенная = 22,008%  рассчитывается по приближенным данным, в качестве которых берутся центры интервалов.

Расхождение между средними может быть объяснено  характером распределения индивидуальных значений признака внутри каждого интервала, т.е. их отклонением от центра интервала.

Задача №2

Связь между  признаками – выпуск продукции и уровень рентабельности.

1. Установим наличие и характер связи между признаками выпуск продукции и уровень рентабельности, образовав заданное число групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки,

б) корреляционной таблицы.

2. Измерим тесноту корреляционной  связи между названными признаками  с использованием коэффициента  детерминации и эмпирического  корреляционного отношения.

1а. Используя таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х - уровнем рентабельности и результативным признаком Y – выпуском продукции.  Аналитическая таблица имеет следующий вид (табл. 6).

Таблица 6

Аналитическая группировка  организаций по уровню рентабельности

Номер группы	Группы предприятий по уровню рентабельности, %, х	Число предприятий, f	Выпуск продукции, млн.руб.		Уровень рентабельности продукции, %
			Всего	В среднем на одну фирму,	Всего	В среднем на одну фирму,
1	14,943-17,928	4	82,860	20,715	65,148	16,287
2	17,928-20,914	8	274,363	34,295	156,677	19,585
3	20,914-23,900	9	398,805	44,312	203,581	22,620
4	23,900-26,885	6	345,247	57,541	154,748	25,791
5	26,885-29,871	3	219,265	73,088	87,947	29,316
	ИТОГО	30	1320,54	229,95	668,1	113,599

 

Анализ  данных таблицы 6 показывает, что с увеличением уровня рентабельности от группы к группе закономерно и однонаправленно возрастает и средний выпуск продукции по каждой группе фирм, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Для построения корреляционной таблицы необходимо рассчитать величины и границы интервалов по двум признакам Х и Y. Для факторного признака Х -  уровня рентабельности эти величины известны из табл.4. Определяем величину интервала для результативного признака Y – выпуска продукции при k=5, у_max =79,2 млн руб., у_min=14,4 млн руб.:

h=(у_max – у_min)/k,

 h=(79,2-14,4)/5=12,96 млн руб.

Таблица 7

Интервальный  ряд распределения фирм по выпуску  продукции

Группы фирм по выпуску продукции, млн руб., у	Число фирм, f
14,4 - 27,36	4
27,36 - 40,32	8
40,32 - 53,28	9
53,28 - 66,24	6
66,24 - 79,2	3
ИТОГО	30

 

Используя группировки по факторному и результативному  признаку, строим корреляционную таблицу (табл.8)

Таблица 8

Корреляционная таблица зависимости  выпуска продукции от уровня рентабельности

Группы предприятий по уровню рентабельности, %.	Группы фирм по выпуску продукции, млн руб., у					Итого
	14,4 - 27,36	27,36 - 40,32	40,32 - 53,28	53,28 - 66,24	66,24 - 79,2
14,943-17,928	4					4
17,928-20,914		8				8
20,914-23,900			9			9
23,900-26,885				6		6
26,885-29,871					3	3
ИТОГО	4	8	9	6	3	30

 

Анализ  данных табл.8 показывает, что распределение  частот групп произошло вдоль  диагонали, идущей из левого угла в  правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует  о наличии прямой корреляционной связи между уровнем рентабельности и выпуском продукции.

 

2. Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии   признака Y в его общей дисперсии :

Для нахождения общей дисперсии по формуле:

Построим таблицу 9.

Таблица 9

Расчетная таблица для расчета общей дисперсии

№  организации	Выпуск продукции, млн руб.	yi -	(yi - )
1	36,45	7,57	57,3049
2	23,4	20,62	425,1844
3	46,54	2,52	6,3504
4	59,752	15,73	247,4329
5	41,415	2,60	6,76
6	26,86	17,16	294,4656
7	79,2	35,18	1237,6324
8	54,72	10,70	114,49
9	40,424	3,59	12,8881
10	30,21	13,81	190,7161
11	42,418	1,60	2,56
12	64,575	20,56	422,7136
13	51,612	7,59	57,6081
14	35,42	8,60	73,96
15	14,4	29,62	877,3444
16	36,936	7,08	50,1264
17	53,392	9,37	87,7969
18	41	3,02	9,1204
19	55,68	11,66	135,9556
20	18,2	25,82	666,6724

 

Продолжение таблицы 9

 

21	31,8	12,22	149,3284
22	39,204	4,81	23,1361
23	57,128	13,11	171,8721
24	28,44	15,58	242,7364
25	43,344	0,67	0,4489
26	70,72	26,70	712,89
27	41,832	2,19	4,7961
28	69,345	25,33	641,6089
29	35,903	8,12	65,9344
30	50,22	6,20	38,44
Итого	1320,54		7028,2739

 

Рассчитаем  общую дисперсию:

=  234,27

Рассчитаем  общую среднюю  :

= = 44,018

Для расчета  межгрупповой дисперсии  строится вспомогательная таблица 10.

Таблица 10

Вспомогательная таблица для расчета  межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по уровню рентабельности, %, х	Число предприятий, f	Среднее значение в группе, млн руб.,	yi -	(yi - ) f
14,943-17,928	4	20,715	-23,303	2172,119
17,928-20,914	8	34,295	-9,723	756,235
20,914-23,900	9	44,312	0,294	0,776
23,900-26,885	6	57,541	13,523	1097,297
26,885-29,871	3	73,088	29,070	2535,253
ИТОГО	30	229,95		6561,680