Статистические методы выборочного контроля и управляемости

Собственно-случайный отбор в «чистом виде» применяется в практике выборочного наблюдения редко, но он является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного наблюдения.

Применяя  выборочный метод в  статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: среднюю величину количественного признака и относительную величину альтернативного признака (долю или удельный вес единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой совокупности только наличием изучаемого признака).

Выборочная доля w , или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности n:       w=                                               

Например, если их 100 деталей  выборки (n=100) 95 деталей оказались стандартными (m=95), то выборочная доля  

Для характеристики надежности выборочных показателей  различают  среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки ε  или, иначе говоря, ошибка репрезентативности, представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

Для средней количественного  признака ε ;  (3.1)                        

Для доли (альтернативного  признака)  ε   (3.2)                                    

Ошибка выборки свойственна только выборочному наблюдению. Чем больше значение этой ошибки, те в большей степени выборочные показатели отличаются от соответствующих генеральных показателей.

 

1. Средняя ошибка выборки.

 

Выборочная средняя  и выборочная доля по своей сути являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.

При соблюдении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется, прежде всего, объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем все генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки также зависит  от степени варьирования изучаемого признака. Степень варьирования характеризуется дисперсией δ или w(1-w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варьирует) средняя ошибка выборки равна нулю, так как любая единица генеральной совокупности будет совершенно точно характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Зависимость средней ошибки выборки  от ее объема и степени варьирования признаки отражена в формулах, с  помощью которых можно рассчитать среднюю ошибку выборки в условиях выборочного наблюдения, когда генеральные характеристики ( ) неизвестны, и следовательно, не представляется возможным нахождения реальной ошибки выборки непосредственно по формулам (3.1) и (3.2).

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам

Для средней количественного  признака μ                                        (3.3)

Для доли (альтернативного  признака)                                            (3.4)

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности точно неизвестна, на  практике  пользуются значением дисперсии S , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Таким образом, расчетные формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе будут следующие:

Для средней количественного признака:                                     (3.5)

Для доли:                                                                            (3.6)                                                                            

Однако дисперсия выборочной совокупности не равна дисперсии  генеральной совокупности, и, следовательно, средние ошибки выборки , рассчитанные по формулам (3.5) и (3.6), будут приближенными. Но в теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:                                              (3.7)

Так как n/(n-1) при достаточно больших n  - величина, близкая к единице, то можно принять, что , а, следовательно, в практических расчетах средних ошибок выборки можно использовать формулы (3.5) и (3.6). И только в случаях малой выборки (когда объем выборки не превышает 30) необходимо учитывать коэффициент n/(n-1) и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:                                                 (3.8)

При случайном бесповторном отборе  в приведенные выше формулы  расчета  средних ошибок выборки  необходимо  подкоренное выражение  умножить на , поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности. Следовательно, для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут следующий вид:

Для средней количественного признака:                                    (3.9)

 

Для доли (альтернативного  признака):                            (3.10)

 

Так как n всегда меньше N, то дополнительный множитель всегда будет меньше единицы.  Отсюда следует, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. В то же время при сравнительно небольшом проценте выборки этот множитель близок к единице (например, при 5%-ной выборке он равен 0,95; при 2%-ной – 0,98 и так далее). Поэтому иногда в практике пользуются для определения средней ошибки выборки формулами (3.5) и (3.6) без указанного множителя, хотя выборку и организуют как бесповторную. Это имеет место в тех случаях, когда число единиц генеральной совокупности N неизвестно или безгранично или когда n очень мало по сравнению с N и, по существу, введение дополнительно множителя, близкого по значению к единицы, практически не повлияет  на значение средней ошибки выборки.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по нейтральному признаку на равные интервалы (группы), производится таким образом, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица. Что бы избежать систематической ошибки, отбираться должна единица, которая находится в середине каждой группы.

При организации механического  отбора единицы совокупности предварительно располагают (обычно в списке) в определенном порядке (например, по алфавиту, местоположению, в порядке возрастания или убывания какого-либо показателя, не связанного с изучаемым свойством и так далее), после чего отбирают заданное число единиц  механически, через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки. Так при 2%-ной выборке отбирается и проверяется каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке – каждая 20-я единица (1:0,05), например, сходящая со станка деталь.

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результата близок к собственно-случайному. Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайной бесповторной выборки (3.9), (3.10).

Для отбора из неоднородной совокупности применяется  типическая выборка, которая используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько однородных, однотипных групп по признакам, влияющим на изучаемые показатели.

При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль и подотрасль, формы собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей (например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих и служащих в отдельных отраслях экономики, производительности труда рабочих предприятия, представленных отдельными группами по квалификации).

Типическая выборка  дает более точные результаты по сравнению  с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки.

При определении средней  ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя  из внутригрупповых дисперсий.

Среднюю ошибку выборки находят по формулам:

Для средней количественного  признака

   (повторный отбор)         

                                               (3.11)

             (бесповторный отбор)                                        (3.12)

Для  доли (альтернативного  признака):

 

(повторный отбор)     

                                             (3.13)

  (бесповторный отбор)   

                               (3.14)

где - средняя из внутригрупповых дисперсий по выборочной совокупности; - средняя из внутригрупповых дисперсий доли (альтернативного признака) по выборочной совокупности.

 

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной  совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнезд, серий) с тем, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.

Применение серийной выборки обусловлено тем, что  многие товары для их транспортировки, хранения  и продажи упаковываются в пачки, ящики и тому подобное. Поэтому при контроле качества упакованного товара рациональнее проверить несколько упаковок (серий), чем из всех упаковок отбирать необходимое количество товара.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной дисперсии).

Среднюю ошибку выборки  для средней количественного  признака при серийном отборе находят по формулам:

  (повторный отбор)             

                                             (3.15)

 

   (бесповторный  отбор)     

,                                    (3.16)

где r – число отобранных серий, R – общее число серий.

 

Межгрупповую дисперсию  серийной выборки вычисляют следующим  образом:        (3.16а)                                                                                              

где - средняя i-й серии; - общая средняя по все выборочной совокупности.

 

Средняя ошибка выборки  для доли (альтернативного признака) при серийном отборе:

   (повторный отбор)    

                                              (3.17)

  (бесповторный отбор)    

                               (3.18)

 

Межгрупповую (межсерийную) дисперсию доли серийной выборки определяют по формуле:                                                       (3.19)

где - доля признака в i-й серии; - общая доля признака во всей выборочной совокупности.

Все вышеприведенные  формулы применимы для большой выборки. Кроме большой выборки используются так называемые малые выборки (где n < 30), которые могут иметь место в случаях нецелесообразности использования больших выборок.

При расчете ошибок малой  выборки используют формулу средней  ошибки:

При определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где Р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.

 

3.2  Предельная ошибка

 

Выборочные средние  и относительные величины распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке  расхождение между выборочной средней  и генеральной, то есть может быть меньше средней ошибки выборки μ, равно ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную  вероятность (объективную возможность  появления события). Поэтому фактические  расхождения между выборочной средней  и генеральной  можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью P.

 

Собственно-случайный  отбор.

Предельную ошибку выборки  для средней ( ) при повторном отборе можно рассчитать по формуле:                                              (3.20)

где t – нормированное отклонение – «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки; - средняя ошибка выборки.