Статистические методы выборочного контроля и управляемости

Аналогичным образом  может быть записана формула предельной ошибки выборки для доли  при  повторном отборе:            (3.21)

Предельную ошибку выборки  для средней ( ) при бесповторном отборе рассчитывают по формуле:                                    (3.22)

Предельная ошибка для  доли при бесповторном отборе  рассчитывается по формуле:                                         (3.23)

 

Формула предельной ошибки выборки вытекает из основных положений теории выборочного метода, сформулированных в ряде теорем теории вероятностей, отражающих закон больших чисел. На основании теоремы П.Л. Чебышева (с уточнениями А.М. Ляпунова) с вероятностью сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обобщающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных показателей.

Величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью. Коэффициент t  определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью P(t)  надо гарантировать результаты выборочного наблюдения. На практике используют готовые таблицы.

Касаемо расчета ошибки выборки в других видах выборочного отбора (например, типической и серийной), то необходимо отметить следующее.

Типический  отбор. Для типической выборки величина стандартной ошибки зависит от точности определения групповых средних. Так, в формуле предельной ошибки типической выборки учитывается средняя из групповых дисперсий при повторном отборе, то есть:                               (3.24)                                                                                                    

          При типическом бесповторном  отборе:               (3.25)

где - средняя из межгрупповых дисперсий по каждой группе

При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности средняя из внутригрупповых дисперсий  определяется по формуле:

                                                     

                                      (3.26)

где - численности единиц выборочный совокупности.

Границы (пределы) средней  по генеральной совокупности на основе данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что и при собственно-случайной выборки. Предварительно лишь необходимо вычислить общую выборочную среднюю ( ) из частных ( ).

В случае пропорционального  отбора используют формулу:     (3.27)                          

При непропорциональном отборе средняя из межгрупповых дисперсий  исчисляется по формуле:                                                            (3.28)                                                                       , где - численность единиц групп по генеральной совокупности.

В этом случае общая выборочная средняя определяется по формуле:                                                                                                                                (3.29)

Предельная ошибка доли признака при типическом повторном  отборе находится по формуле:                                                          (3.30)                                                                    

При бесповторном отборе по формуле:                    (3.31)

Средняя дисперсия доли признака из групповых дисперсий  доли при типической пропорциональной выборке находится по формуле: (3.32)

Средняя доля признака по выборке из показателей групповых  долей рассчитывается по формуле:                                                        (3.33)

Средняя дисперсия доли при непропорциональном типическом отборе определяется по формуле:                                          (3.34)

А средняя доля признака по формуле:                             (3.35)

Серийный отбор. При серийной выборке величина ошибки выборки зависит не от числа исследуемых единиц, а от числа обследованных серий (s) и от величины межгрупповой дисперсии:                                     (3.36)

Серийная выборка, как правило, проводится как бесповторная, и формула ошибки выборки в этом случае имеет вид:   (3.37)                                                                                                                 ,где - межсерийная дисперсия; s - число отобранных серий; S - число серий в генеральной совокупности.

 

3.3  Относительная ошибка.

Относительная ошибка выборки рассчитывается по формулам:

а) для средней:                                                                                 (3.38)

б) для доли:                                                                                    (3.39)

При < 25%, выборка репрезентативна для оценки и расчета средних показателе по совокупности.

При < 25%, выборка репрезентативна для оценки доли.

При и > 25% можно сделать вывод о нерепрезентативности выборки.

 
 4.  Понятие малой выборки.

При большом числе  единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М. Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Однако в практике статистического исследования в  условиях рыночной экономики все  чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент). Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов  малой выборки величина генеральной  совокупности уже не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются распределением Стьюдента и критерием Стьюдента, определяемым по формуле:

 

4. Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность.

Конечной целью выборочного  наблюдения является характеристика генеральной  совокупности на основе выборочных результатов.

В зависимости от цели исследования применяются различные  способы получения характеристик  генеральной совокупности по показателям  выборки.

Основными методами распространения  выборочного наблюдения на генеральную  совокупность являются прямой пересчет и способ коэффициентов.

Прямой пересчет есть произведение среднего значения признака на объем генеральной совокупности. Однако большое число факторов не позволяет в полной мере использовать точечную оценку прямого пересчета при распространении результатов выборки на генеральную совокупность. На практике чаще пользуются интервальной оценкой, которая дает возможность учитывать размер предельной ошибки выборки, которая рассчитана для средней или для доли признака.

Способ коэффициентов используется в тех случаях, когда выборочное наблюдение проводится для проверки и уточнения данных сплошного наблюдения.

При этом рекомендуется  использовать формулу                           (4.1)

 где Y₁ - численность совокупности с поправкой на недоучет; Y₀ - численность совокупности без этой поправки; y₀ - численность совокупности в контрольных точках по первоначальным данным; y₁ - численность совокупности в тех же точках по данным контрольных мероприятий.

Если нужно уточнить данные сплошного наблюдения при осуществлении контроля за выборочными исследованиями, необходимо определить поправку на недоучет. Метод расчета этой поправки широко применяется при исследовании небольших совокупностей, когда можно рассчитать коэффициент недоучета по каждой категории работников и, уточнив данные, распространить результаты на всю совокупность.

На основе способа коэффициентов проверка результатов сплошного наблюдения широко применяется в социальной и экономической статистике, в частности в контроле за коммерческой деятельностью юридических и физических лиц со стороны финансовых организаций.

 

4. Определение необходимого объема выборки.

 При проектировании выборочного наблюдения  с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важно правильно определить численность (объем) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки n легко получить непосредственно из формул ошибок выборки.

Так, из формул  предельной ошибки выборки для повторного отбора можно выразить необходимую численность выборки:

• Для средней количественного признака:                       (5.1)
• Для доли (альтернативного признака):                  (5.2)

Аналогично из формул предельной ошибки выборки для бесповторного отбора находим, что:

                                         

   (Для средней)                               (5.3)

                                        

(Для доли)                                      (5.4)

Эти формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается  необходимый объем выборки.

Для расчета объема выборки  нужно знать значение дисперсии. Она может быть заимствована  из проводимых ранее обследований данной или аналогичной совокупности, а если таковых нет, тогда для определении дисперсии надо провести специальное выборочное обследование небольшого объема.

 

 

 

 

Заключение

.

Выборочное наблюдение является одним из наиболее широко применяемых видов несплошного наблюдения. В основе этого наблюдения лежит идея о том, что отобранная в случайном порядке некоторая часть единиц может представлять всю изучаемую совокупность явления по интересующим исследователя признакам. Целью выборочного наблюдения является получение информации, прежде всего, для определения сводных обобщающих характеристик всей изучаемой (генеральной) совокупности. По своей цели выборочное наблюдение совпадает с одной из задач сплошного наблюдения, и поэтому встает вопрос о том, какое из двух видов наблюдения — сплошное или выборочное — целесообразнее провести.

Преимущества этого метода по сравнению со сплошным можно оценить, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода, а именно обеспечение случайности отбора единиц и достаточного их числа. Соблюдение этих принципов позволяет получить такую совокупность единиц, которая представляет всю изучаемую совокупность по интересующим исследователя признакам, т.е. является репрезентативной (представительной).

По видам отбора  выборка делится на повторную  и бесповторную. По способам отбор  различают индивидуальный, групповой  и комбинированный. По методам отбор  бывает случайный, механический, типический и серийный.

При сопоставлении показателей  по результатам выборочного исследования с характеристиками для всей генеральной  совокупности могут иметь место  отклонения. Величина этих отклонений называется ошибкой наблюдения, которая  может быть или ошибкой регистрации (несовершенство технических условий), или ошибкой репрезентативности (случайное или систематическое нарушение правил при отборе единиц). Вычисляют два вида ошибок: среднюю ошибку выборки и предельную ошибку.

Конечная цель выборочного наблюдения заключается в распространении полученных данных на генеральную совокупность. Основными методами распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность являются прямой пересчет и способ коэффициентов.

Чтобы полученные при выборочном наблюдении данные были объективными необходимо иметь достаточное число единиц. Для определения необходимой численности выборки исследователь должен знать уровень точности выборочной совокупности с определенной вероятностью.

В общем случае необходимая численность выборки прямо пропорциональна дисперсии признака и квадрату коэффициента доверия t².

Выборочный метод может  широко использоваться органами государственной  статистики. Он позволяет при значительной экономии средств и затрат получать необходимую достоверную информацию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

 

1.  Теория статистики. Учебник. Г.Л. Громыко – М.: ИНФРА-М, 2005.-476с.
2. Общая теория статистики. Учебник. И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев – М.: Финансы и статистика, 2002. – 480 с.
3. Статистика. Учебное пособие для вузов. В.М. Гусаров. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 463 с.