Статистическое изучение использования рабочего времени

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8 - Зависимость потри выпуска продукции предприятий

от потерь рабочего времени

 

Номер группы	Группы предприятий по потерям рабочего времени, чел.-дни х	Число предприятий, fj	Выпуск продукции, млн. руб.
			всего	в среднем на одно предприятие,
1	2	3	4	5=4:3
1	105-145	5	46,4	9,28
2	145-185	11	83	7,54
3	185-225	7	48,6	6,94
4	225-265	4	24,8	6,2
5	265-305	3	16,2	5,4
Итого		30	219	35,36

 

Вывод. Анализ данных таблицы 8 показывает, что с увеличением потерь рабочего времени от группы к группе систематически снижается и средний выпуск продукции по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии обратной корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2.2. Измерение тесноты  и силы корреляционной связи  с использованием коэффициента  детерминации и эмпирического  корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле:

,                                                    (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                               (10)

где  yi – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                      (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                                  (12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12 - Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

 

Номер предпр-я п/п	Выпуск продукции, млн руб.
1	2	3	4	5

 

1	8,8	1,5	2,25	77,44
2	7,6	0,3	0,09	57,76
3	7,2	-0,1	0,01	51,84
4	10,2	2,9	8,41	104,04
5	7	-0,3	0,09	49
6	8	0,7	0,49	64
7	8	0,7	0,49	64
8	10	2,7	7,29	100
9	7,4	0,1	0,01	54,76
10	6,6	-0,7	0,49	43,56
11	7,8	0,5	0,25	60,84
12	7	-0,3	0,09	49
13	6,2	-1,1	1,21	38,44
14	7,4	0,1	0,01	54,76
15	5,6	-1,7	2,89	31,36
16	7,2	-0,1	0,01	51,84
17	7	-0,3	0,09	49
18	9	1,7	2,89	81
19	7,2	-0,1	0,01	51,84
20	8,4	1,1	1,21	70,56
21	6,8	-0,5	0,25	46,24
22	7,4	0,1	0,01	54,76
23	6,4	-0,9	0,81	40,96
24	7,4	0,1	0,01	54,76
25	7	-0,3	0,09	49
26	5,8	-1,5	2,25	33,64
27	5,4	-1,9	3,61	29,16
28	6,4	-0,9	0,81	40,96
29	5,2	-2,1	4,41	27,04
30	7,6	0,3	0,09	57,76
Итого	219	0	40,62	1639,32

 

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

      – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле:

,                                        (13)

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии строится  вспомогательная таблица 13. При этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13 - Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

 

Группы предприятий по потерям рабочего времени, чел.-дни., х	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5

 

105-145

5

9,28

1,98

19,602

 

145-185	11	7,54	0,24	0,633
185-225	7	6,94	-0,36	0,907
225-265	4	6,2	-1,1	4,840
265-305	3	5,4	-1,9	10,830
Итого	30			36,8128

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

  

или 90,62%

Вывод. 90,62% вариации выпуска продукции предприятий обусловлено вариацией потери рабочего времени, а 9,38% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                                  (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14 - Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между потерей рабочего времени и выпуском продукции предприятий является весьма тесной.

2.3 Оценка статистической значимости коэффициента детерминации

.

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли  иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи  , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле:

                                    ,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

    m – количество групп,

       – межгрупповая дисперсия,

      – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

       – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

                                     ,

где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия Fрасч сравнивается с табличным Fтабл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k1=m-1, k2=n-m. Величина Fтабл для значений , k1, k2 определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для  различных  комбинаций  значений  , k1, k2. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если Fрасч>Fтабл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если Fрасч<Fтабл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для  значений =0,05; k1=3,4,5; k2=24-35 представлен ниже:

 

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48