Статистика естественного движения населения Амурской области

 – частота медианного интервала.

Основным этапом в  изучении вариационных рядов является расчет показателей размера и  интенсивности вариации. Для характеристики размера вариации в статистике применяются абсолютные показатели вариации: размах вариации , среднее линейное отклонение , среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации. Расчеты производятся по следующим формулам.

Размах вариации (амплитуда колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

 

 (22)

 

.

На основании таблицы 10 рассчитаем остальные показатели вариации.

Таблица 10 – Расчетная таблица для вычисления показателей вариации среднего линейного отклонения и дисперсии

Группы городов и  районов Амурской области по естественному  движению населения, чел.	Число муниципальных  образований в абсолютном выражении, ед.	Расчетные показатели
(-253)  -  (-182,4)	2	-218	-436	-173	-346	29929	59858
(-182,4)  -  (-111,8)	3	-147	-441	-102	-306	10404	31212
(-111,8)  -  (-41,2)	10	-77	-770	-32	-320	1024	10240
(-41,2)  -  (29,4)	9	-6	-54	39	351	1521	13689
(29,4)  -  (100)	4	65	260	110	440	12100	48400
(100)  -  (171)	1	136	136	181	181	32761	32761
Итого	29	-	-1305	-	0	87739	196160

 

Среднее линейное и среднее  квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем величина изучаемого признака у отдельных  единиц совокупности отличается от среднего значения признака в совокупности.

 

(взвешенное) (23)

 

.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Формула расчета  дисперсии следующая:

 

(взвешенная) (24)

 

где – значение признака;

 – частота признака.

Если извлечь из дисперсии  корень второй степени получится  среднее квадратическое отклонение :

 

 (25)

 

.

Для оценки интенсивности  вариации, а также для сравнения ее величины в разных совокупностях или по разным признакам используют относительные показатели вариации. Наиболее часто применяют коэффициент вариации , который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

 

 (26)

 

.

2.5 Корреляционно-регрессионный  анализ естественного движения  населения Амурской области за 2000-2009 годы

Прежде чем приступить к проведению корреляционно-регрессионного анализа естественного движения населения Амурской области за 2000-2009 годы необходимо выбрать факторный признак. Исходя из данных таблицы 1 изобразим результативный (y) и факторный признаки (x) графически.

Рисунок 7 – График корреляции между переменными x и y

 

Линия тренда и расположение точек на графике наглядно показывают, что корреляционная связь между факторным и результативным признаками линейная обратная.

Далее рассчитаем линейный коэффициент корреляции , построим линейное регрессионное уравнение. После построения уравнения регрессии вида построим второй график зависимости теоретических значений от факторного признака – . Вычислим показатели тесноты связи: теоретическое корреляционное отношение , коэффициент детерминации , индекс корреляции . Далее проверим адекватность регрессионной модели и коэффициента корреляции.

При статистическом изучении корреляционной связи определяется влияние учтенных факторных признаков на результативный признак при отвлечении от прочих аргументов. Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака на результативный признак .

В основу выявления и  установления аналитической формы  связи положено применение в анализе  исходной информации математических функций. При анализе прямолинейной зависимости применяется уравнение:

 

 (27)

 

где и – параметры уравнения регрессии.

.

Для определения формы  корреляционной связи необходимо вычислить  параметры уравнения прямой путем решения системы нормальных уравнений вида:

 

 (28)

 

 

 

Для того чтобы заполнить  систему нормальных уравнений фактическими данными, необходимо определить , , .

Расчеты этих показателей  представим по форме таблицы 11.

 

Таблица 11 – Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

№	x	y	x2	y2	xy	yx	(y-yx)	(y-yx)2
1	-4099	13532	16801801	183115024	-55467668	14514	-982	964078
2	-3978	13973	15824484	195244729	-55584594	14428	-455	206919
3	-4106	14574	16859236	212401476	-59840844	14519	55	3040
4	-3774	14871	14243076	221146641	-56123154	14283	588	345859
5	-4268	15288	18215824	233722944	-65249184	14634	654	427820
6	-4300	14959	18490000	223771681	-64323700	14657	302	91331
7	-3244	13635	10523536	185913225	-44231940	13906	-271	73492
8	-1523	12479	2319529	155725441	-19005517	12683	-204	41666
9	-1881	13099	3538161	171583801	-24639219	12938	161	25979
10	-1232	12629	1517824	159491641	-15558928	12476	153	23339
Итого	-32405	139039	118333471	1942116603	-460024748	139037	2	2203522

 

Параметры и можно исчислить по формулам:

 

, (29)

 

. (30)

 

.

.

На основании уравнения регрессии построим график зависимости теоретических значений от факторного признака .

Рисунок 8 – График зависимости теоретических значений

от факторного признака

 

Отклонения от средних  по одной и другой переменным лежат  в основе измерения корреляционной связи. Для того чтобы измерить тесноту корреляционной связи между факторным и результативным признаками воспользуемся линейным коэффициентом корреляции . Если знаки отклонений от средних совпадают, то связь прямая , если знаки отклонений не совпадают, то связь обратная . По абсолютной величине чем ближе значение к единице, тем теснее связь, чем ближе значение к нулю, тем слабее связь.

 

 (31)

 

.

Полученное значение коэффициента корреляции показывает, что связь между естественной убылью населения и смертностью является обратной и весьма тесной.

Для расчета теоретического корреляционного отношения  необходимо предварительно вычислить дисперсии по формулам 33 – 35.

Соотношение между факторной  и общей дисперсиями характеризует меру тесноты связи между признаками и : . Показатель называется индексом детерминации. Он выражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака объясняется изучаемым фактором . На основе формулы индекса детерминации определяется теоретическое корреляционное отношение :

 (32)

 

.

Общая дисперсия отображает совокупное влияние всех факторов:

 

 (33)

 

.

Остаточная дисперсия  отображает вариацию результативного  признака от всех прочих, кроме , факторов:

 

 (34)

 

.

Факторная дисперсия отображает вариацию только от воздействия изучаемого фактора :

 

 (35)

 

.

Индекс корреляционной связи вычисляется по формуле 36. Эта формула является основным алгоритмом для определения индекса корреляции с использованием машинной обработки анализируемых данных.

 

 (36)

 

.

Частный коэффициент  эластичности вычисляется по формуле:

 

 (37)

 

где – параметр при признаке-факторе;

, – средние значения факторного и результативного признаков.

; ; .

.

Адекватность регрессионной  модели при малой выборке можно оценить критерием Фишера:

 

, (38)

 

где – число параметров модели;

 – число единиц наблюдения.

.

Эмпирическое значение критерия сравнивается с критическим  или табличным значением с  уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы , . Если эмпирическое значение критерия больше табличного значения, то уравнение регрессии признается значимым (адекватным).

При уровне значимости 0,01 и 0,05 и числом степеней свободы 1 и 8 табличное значение критерия Фишера равно 5981 и 238,9, а расчетное значение равно 24,4, т.к. в первом и во втором случаях расчетное значение меньше табличного, следовательно, уравнение регрессии признается не адекватным.

Значимость коэффициентов  линейного уравнения регрессии оценивается с помощью критерия Стьюдента:

 

 (39)

 

.

 

 (40)

 

.

 

 (41)

 

.

Эмпирическое значение t-критерия сравнивается с критическим или табличным значением t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы . Параметр признается значимым, если эмпирическое значение t больше табличного.

При уровне значимости 0,01 и числом степеней свободы 8 табличное значение t-распределения Стъюдента равно 3,3554, а расчетное значение – 69,90, т.к. расчетное значение больше табличного, следовательно, параметр признается значимым. При уровне значимости 0,05 и числом степеней свободы 8 табличное значение t-распределения Стъюдента равно 2,3060, а расчетное значение – 4,94, т.к. расчетное значение больше табличного, следовательно, параметр признается значимым.

Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции с помощью t-критерия:

 

 (42)

 

где – число степеней свободы.

.

Если эмпирическое значение t критерия оказывается больше табличного, то линейный коэффициент корреляции признается значимым.