Структурные средние: мода и медиана

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС №26 3

ТЕМА: «СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ» 8

ЗАДАЧА №14 8

ТЕМА: «ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ» И «ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ» 10

ЗАДАЧА №1 10

ТЕМА: «РЯДЫ ДИНАМИКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ» 13

ЗАДАЧА №3 13

ЗАДАЧА №7 15

ЗАДАЧА №16 16

ЗАДАЧА №19 17

ТЕМА: «ИНДЕКСЫ» 19

ЗАДАЧА №3 19

ЗАДАЧА №7 20

ЗАДАЧА №16 21

ЗАДАЧА №19 22

ТЕМА: «КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗИ» 25

ЗАДАЧА №4 25

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 28

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС №26

 

СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ: МОДА И МЕДИАНА

 

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий  типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице  совокупности. Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е., в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов  обобщения: средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для  всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В способности  абстрагироваться от случайности отдельных  значений, колебаний и заключена  научная ценность средних как  обобщающих характеристик совокупностей.

Характеристика  признака в совокупности будет более  или менее типической, если средняя  будет определяться для совокупности, состоящей из:

- качественно  однородных единиц;

- достаточно  большого числа единиц;

- единиц, которые  находятся в нормальном, естественном  состоянии.

Средние величины делятся на два больших  класса: степенные средние и структурные  средние.

К степенным средним относятся  такие наиболее известные и часто  применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних, используемых для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака, рассматриваются мода и медиана.

Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений. Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).

Медиана (Me) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие. Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения. Следует помнить, что ряд должен быть упорядочен (ранжирован), данные необходимо расположить либо в порядке убывания признака, либо — его возрастания.

Основные свойства медианы:

1. Медиана не  зависит от тех значений признака, которые расположены по обе  стороны от нее.

2. Аналитические  операции с медианой весьма  ограничены, поэтому при объединении  двух распределений с известными  медианами невозможно заранее  предсказать величину медианы  нового распределения.

3. Медиана обладает  свойством минимальности. Его  суть заключается в том, что  сумма абсолютных отклонений  значений x_i от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением x_i от любой другой величины a_i.

Нахождение моды и медианы  нередко происходит путем обычного просматривания ряда частот. В нем находят наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда. Для этого сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

 

в случае четного числа  признаков медиана будет равна  средней из двух признаков находящихся  в середине ряда).

Например, имеются наблюдения по стажу рабочих в бригаде: 4 года, 4 года, 5 лет, 7 лет, 10 лет. Мода в данном случае (средний стаж) равна 4 года, т.к. такой стаж встретился у двоих  рабочих. Медиана же равна 5 лет.

При вычислении моды для  интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный  интервал (по максимальной частоте), а затем – значение модальной величины признака по формуле:

 

где:

– значение моды;

 – нижняя граница модального интервала;

 – величина интервала;

 – частота модального интервала;

 – частота интервала, предшествующего модальному;

 – частота интервала, следующего за модальным.

При вычислении медианы для  интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем – значение медианы  по формуле:

 

где:

– искомая медиана;

– нижняя граница интервала, который содержит медиану;

 – величина интервала;

– сумма частот или число членов ряда;

– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному;

– частота медианного интервала.

К примеру, найдем моду и медиану для следующего интервального вариационного ряда:

Возрастные группы	Число студентов	Сумма накопленных частот
до 20 лет	346	346
20 – 25	872	1218
25 – 30	1054	2272
30 – 35	781	3053
35 – 40	212	3265
40 – 45	121	3386
45 лет и более	76	3462
Итого	3462

 

В данном примере  модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25–30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

 

 

Это значит, что  модальный возраст студентов  равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в  возрастной группе 25-30 лет, так как  в пределах этого интервала расположена  варианта, которая делит совокупность на две равные части . Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

 

Это значит, что  одна половина студентов относится  к возрастной группе до 27,4 года, а  другая – свыше 27,4 года.

Кроме моды и  медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие отсортированный (ранжированный) ряд на 4 равные части, децили – на 10 частей и перцентили – на 100 частей.

 

 

 

 

ТЕМА: «СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ»

 

ЗАДАЧА №14

 

Имеются следующие  данные по отдельным фирмам АО "Азот" о выручке от реализации и среднем  остатке оборотных средств:

Фирмы АО "АЗОТ"	II квартал		III квартал
	Количество оборотов оборотных  средств	Выручка от реализации, тыс. руб.	Количество оборотов оборотных  средств	Средние остатки оборотных  средств, тыс. руб.
1	314	12880	3,5	4240
2	278	10200	2,6	3670
3	291	13500	2,87	3210

 

Определить среднее  количество оборотов оборотных средств  по АО "Азот":

а) во II квартале;

б) в III квартале.

Укажите, какие  виды средних использовались в задаче.

 

Решение:

Расчет среднего количества оборотов оборотных средств по АО «Азот»:

а) во II квартале. Применяется средняя гармоническая взвешенная, т.к. известны численные значения числителя (выручка от реализации), а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой (выручка от реализации делится на количество оборотов оборотных средств).

 

б) в III квартале. Применяется средняя арифметическая взвешенная, т.к. известны численные значения знаменателя (средние остатки оборотных средств), а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей (количества оборотов оборотных средств и средних остатков оборотных средств).

 

 

 

 

 

ТЕМА: «ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ» И «ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ»

 

ЗАДАЧА №1

 

В результате 4%-го выборочного обследования коммерческих банков о размере прибыли за год получено следующее распределение:

Размер прибыли, млн. руб.	Число банков
4,7-5,6	3
5,6-6,5	2
6,5-7,4	4
7,4-8,3	5
свыше 8,3	6
Итого	20

 

По данным выборочного  наблюдения определите:

- средний размер прибыли банка, дисперсию и среднее квадратическое  отклонение;

- коэффициент вариации;

- с вероятностью 0,997 возможные пределы, в которых ожидается средний размер прибыли банка;

- с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса банков с размером прибыли свыше 7,4 млн. рублей.

 

Решение:

Построим вспомогательную  таблицу:

Размер прибыли, млн. руб.	Число банков f (n)	Середина интервала, x			f
4,7-5,6	3	5,15	-2,205	4,86203	14,59
5,6-6,5	2	6,05	-1,305	1,70303	3,41
6,5-7,4	4	6,95	-0,405	0,16402	0,66
7,4-8,3	5	7,85	0,495	0,24503	1,23
свыше 8,3	6	8,75	1,395	1,94603	11,68
ИТОГО	20	-	-	-	31,57

1) Для определения средней длительность пользования кредитом по выборочной совокупности (), дисперсии (σ²) и среднего квадратического отклонения (σ) произведем следующие расчеты:

 

s

ss

2) Коэффициент  вариации рассчитаем по формуле:

s

3) Возможные пределы, в которых ожидается средний размер прибыли банка рассчитаем следующим образом:

m,

Средняя ошибка выборки (μ) рассчитывается по формуле:

ms

s² – средний квадрат отклонения (дисперсия) в выборке;

n – численность выборки;

N – численность генеральной совокупности.

В нашем примере  при условии, что проведено 4%-ное обследование, N=500.

m

Размер возможной (допустимой) или предельной ошибки выборки рассчитывается по формуле: m,  где t = 3 при p = 0,997.

Следовательно:

Итак, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний размер прибыли банка будет находиться в пределах:

 

4. Возможные  пределы (границы), в которых находится  удельный вес банков с размером прибыли свыше 7,4 млн. рублей, можно рассчитать таким образом:

 

mm

Условные обозначения:

W – доля данного признака в выборке;

(1-W) – доля противоположного признака в выборке;

m – количество единиц данного признака в выборке.

Итак, или 55%

m

 

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли по формуле: m где t = 3 при р = 0,997.

 

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес банков с размером прибыли свыше 7,4 млн. рублей,  находится в пределах:

 

 

 

 

 

ТЕМА: «РЯДЫ ДИНАМИКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ»

 

ЗАДАЧА №3

 

Внешнеторговый  оборот области характеризуется  следующими данными:

Год	Внешнеторговый оборот, млн. руб.
2005	998,6
2006	1040,1
2007	1215,5
2008	981,4
2009	1065,8
2010	1167,0

 

При анализе  ряда динамики производства продукции  исчислите:

-абсолютные  приросты, темпы роста, темпы прироста – цепные и базисные: содержание одного процента прироста; полученные показатели представьте в таблице;

-среднегодовое  производство продукции;

-среднегодовой  темп роста и прироста;

-изобразите  динамику внешнеторгового оборота  области на графике.

Сделайте краткие  выводы.

 

Решение:

Год	Производство продукции тыс. руб.	Абсолютный прирост		Темп роста		Темп прироста		Содержание одного процента прироста
								А%
2005	998,6	-	-	-	-	-	-	-
2006	1040,1	41,5	41,5	104,16%	104,16%	4,16%	4,16%	9,986
2007	1215,5	175,4	216,9	116,86%	121,72%	16,86%	21,72%	10,401
2008	981,4	-234,1	-17,2	80,74%	98,28%	-19,26%	-1,72%	12,155
2009	1065,8	84,4	67,2	108,60%	106,73%	8,60%	6,73%	9,814
2010	1167,0	101,2	168,4	109,50%	116,86%	9,50%	16,86%	10,658
S	6468,4	168,4