Задачи по "Статистике"

Б) с помощью критерия Пирсона проверить, согласуется ли эмпирическое распределение с гипотетическим нормальным.

 

Решение:

 

i	Интервал [xi ≤ X ≤ xi+1]	Середина  интервала (xi)	Частота ni	Вероятности pi	Теор. частоты npi
1	50 – 52	51	2	0,044	1,76	2,31	0,22
2	52 – 54	53	6	0,194	7,76
3	54 – 56	55	18	0,364	14,56	11,834	0,812
4	56 – 58	57	10	0,282	11,28	2,822	0,18
5	58 – 60	59	3	0,097	3,88
6	60 – 62	61	1	0,013	0,52
	Σ	–	n = 40	0,994	39,76	–	= 1,212

 

При нормальном распределении  теоретические частоты можно  рассчитать по формуле np_i, где p_i – вероятность попадания случайной величины X в интервал [x_i ≤ X ≤ x_i+1], определяемая по формуле:

 

p_i (x_i ≤ X ≤ x _i+1) =

.

a =

=

=

=

=

 

= 2,073.

Рассчитаем вероятности  и теоретические частоты (результаты занесем в таблицу):

p₁ (50≤ X ≤ 52) = = [Ф(-1,66) – Ф(-2,63)] =

= (-0,9031 + 0,9912) = 0,044 → np₁ = 40∙0,044 = 1,76.

p₂ (52≤ X ≤ 54) = = [Ф(-0,70) – Ф(-1,66)] =

= (-0,5161 + 0,9031) = 0,194 → np₂ = 40∙0,194 = 7,76.

p₃ (54≤ X ≤ 56) = = [Ф(0,27) – Ф(-0,7)] =

= (0,2128 + 0,5161) = 0,364→ np₃ = 40∙0,364= 14,56.

p₄ (56≤ X ≤ 58) = = [Ф(1,23) – Ф(0,27)] =

= (0,7775 – 0,2128) = 0,282 → np₄ = 40∙0,282 = 11,28.

p₅ (58≤ X ≤ 60) = = [Ф(2,2) – Ф(1,23)] =

= (0,9722 – 0,7775) = 0,097 → np₅ = 40∙0,097 = 3,88.

p₆ (60≤ X ≤ 62) = = [Ф(3,16) – Ф(2,2)] =

= (0,9984 – 0,9722) = 0,013 → np₆ = 40∙0,013 = 0,52.

Учитывая, что в рассматриваемом  эмпирическом распределении частоты  первого, пятого и шестого интервалов меньше 5, при использовании критерия Пирсона целесообразно объединить указанные интервалы с соседними.

 

Найдем фактически наблюдаемое  значение Пирсона:

1,212.

Так как новое число  интервалов (с учетом объединения) m = 3, а нормальный закон распределения определяется r = 2 параметрами, то число степеней свободы k = m – r – 1 = 3 – 2 – 1 = 0 (принимаем k = 1).

Соответствующее критическое  значение критерия Пирсона по Приложению №2 = 3,84. Так как < , то эмпирическое распределение согласуется с гипотетическим нормальным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №7.

 

По товарной бирже  имеются следующие данные о реализации грузовых автомобилей:

Оценить среднее изменение  цен на грузовые автомобили.

Решение:

 

	Стоимость РП в базисном периоде, млн. руб.	Стоимость РП в отчетном периоде, млн. руб.
МАЗ-5551	7212,8	7360
КамАЗ-55111	15777,6	15200
КамАЗ-53212	8946	9000
Итого:	31936,4	31560

Общее изменение цен на грузовые автомобили:

 

ΔQ =

= = 0,98,

 

т.е. цены на грузовые автомобили снизились на 0,2%.

 

Задача №8.

 

По данным первых 15 наблюдений табл. 1:

1) Определить линейное уравнение регрессии (капитал –  факторный  признак, прибыль - результативный);

2) оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации;

3) оценить тесноту  связи между признаками с помощью  коэффициента Фихнера, линейного коэффициента корреляции, корреляционного отношения, коэффициента детерминации, коэффициентов Спирмена и Кендалла.

 

Решение:

 

По данным первых 15 наблюдений табл. 2 составим расчетную таблицу  и найдем суммы по всем столбцам:

 

№	Капитал (x)	Прибыль (y)	x2	y2	xy
1	895	481	801025	231361	430495
2	893	146	797449	21316	130378
3	866	365	749956	133225	316090
4	772	239	595984	57121	184508
5	771	306	594441	93636	235926
6	743	57	552049	3249	42351
7	711	265	505521	70225	188415
8	648	158	419904	24964	102384
9	608	129	369664	16641	78432
10	600	340	360000	115600	204000
11	565	167	319225	27889	94355
12	556	41	309136	1681	22796
13	536	258	287296	66564	138288
14	530	35	280900	1225	18550
15	516	298	266256	88804	153768
Σ	10210	3285	7208806	953501	2340736

 

Используя полученные суммы  по столбцам, вычислим средние значения, средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции:

 

 

 

 

.

 

Определим b₀, b₁ – параметры уравнения линейной регрессии:

 

.

 

 

.

 

Проведем анализ полученных результатов. Расчеты подтвердили, что между прибылью и капиталом банков наблюдается полная  линейная корреляционная связь r = 0,42.  Ожидаемое среднее значение прибыли при заданной трудоемкости единицы продукции можно оценить с помощью выборочного уравнения линейной регрессии:

 

.

 

Коэффициент детерминации h = r² = 0,42² = 0,1 означает, что 100% вариации результативного признака y объясняется вариацией факторной переменной x.

 

 

Задача №9.

 

Оценка студентами профессиональных качеств преподавателей   представлена в таблице:

С помощью χ²-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы.

Решение:

 

На основании данных, представленных в условии задачи, построим вариационный ряд распределения (n = 16):

Оптимальное число интервалов:

 

m = 1 + 1,443∙ln n = 1 + 1,443∙ln 16 = 3.

 

Шаг интервала:

h =

= = 20,3

 

i	Интервал [xi ≤ X ≤ xi+1]	Середина  интервала (xi)	Частота ni	Вероятности pi	Теор. частоты npi
1	1 - 21,3	10,15	8	0,157	1,256	45,48	36,21
2	21,3  - 41,6	31,45	4	0,246	0,984	9,10	9,24
3	41,6 - 61,9	61,9	4	0,248	0,992
	Σ	–	n = 16	0,651	3,232	–	= 45,46

 

 

=

=

 

=

 

Рассчитаем вероятности  и теоретические частоты (результаты занесем в таблицу):

 

p₁ (1≤ X ≤ 21,3) = [Ф(-0,7) – Ф(-1,37)] = 0,157 → np₁

 

p₂ (21,3≤ X ≤ 31,45) =  [Ф(-0,03) – Ф(-0,7)] =0,246 → np₂

 

p₃ (31,45≤ X ≤ 61,9) = [Ф(0,63) – Ф(-0,03)] = 0,248 → np₃

 

Учитывая, что в рассматриваемом эмпирическом распределении частоты 2,35 интервалов меньше 5, при использовании критерия Пирсона целесообразно объединить указанные интервалы с соседним (2).

Найдем фактически наблюдаемое  значение Пирсона:

.

 

Так как новое число интервалов (с учетом объединения) m = 2, а нормальный закон распределения определяется r = 2 параметрами, то число степеней свободы k = m – r – 1 = 2 – 2 – 1 = -1 (принимаем k = 1).

Соответствующее критическое  значение критерия Пирсона по Приложению №2 = 3,84. Так как < , то данное распределение случайно.

 

 

 

 

 

 

 

Список ИСПОЛЬЗОВАННОЙ литературы

 

 

1. Замков О.О., Черемных Ю.А. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. – М.: МГУ им. Ломоносова, Изд-во ДиС, 2005.
2. Математическая статистика: Учебник / Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А. и др. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1981.
3. Рябушкин Т.В., Ефимов М.Р., Ипатова И.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1981.
4. Статистика.  Курс лекций/ Под ред. Ионина В.Г., Новосибирск.; Изд-во НГАЭиУ, М.: Инфра-М, 2007.
5. Статистика: Курс лекций / Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др.; Под. ред. к.э.н. В.Г. Ионина. – Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, М.: ИНФРА-М, 1998.