Линейные электрические цепи в установившемся синусоидальном режиме

 

2.1.1.   Построение схемы рассчитываемой электрической цепи по её кодировке в соответствии с вариантом

 

Таблица 1

Кодировка рассчитываемой электрической  цепи

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Схема

Схема

Код

ветви

Код

ветви

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

1

3

6

3

5

2

4

 

 

 

 

1

 

 

 

Рис. 1. Общий вид электрической схемы

 

Таблица 2

Кодировка схемы

Вариант
7	1	4	2	1	8	1

 

4

2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.  Рассчитываемая электрическая схема

 

 

2.1.2. Исходные данные

 

Значения сопротивлений ветвей цепи:

 

=3

=5

=4

=6

 

Значения э.д.с ветвей цепи:

Значения источников тока ветвей цепи:

 

Ветви дерева: 1, 4, 6

Ветвь «n»: 1

Узел «0»: 3

 

 

2.2. Расчет мгновенных токов в ветвях схемы методом контурных токов

В матричном виде система уравнений  для метода контурных токов выглядит следующим образом:

ℂгде

ℂ — матрица контуров размера n × p (где n — количество независимых контуров, р — количество звеньев) , в которой i–я строка соответствует независимому контуру i, а j–й столбец соответствует звену j, причём элемент C_ij равен

• 0, если ребро j не входит в контур i;
• 1, если ребро входит в контур и направление ребра соответствует направлению обхода контура;
• –1, если ребро входит в контур и направление ребра противоположно направлению обхода контура.

Для каждого ребра задаётся направление, которое обычно ассоциируется с  направлением тока в этом ребре; 

 — диагональная матрица  сопротивлений размера p × p, в которой диагональный элемент Z_ii равен сопротивлению i–го ребра, а недиагональные элементы равны нулю; 

— транспонированная  матрица контуров; 

— матрица-столбец  контурных токов размером n × 1. 

 — матрица-столбец  источников тока размером p × 1, где каждый элемент равен току источника в соответствующем ребре, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник тока отсутствует; положительная, если направление тока источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае;  

— матрица-столбец источников ЭДС размером p × 1, где каждый элемент равен ЭДС источника в соответствующем ребре, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник ЭДС отсутствует; положительная, если направление ЭДС источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае.

 

 

II

I

11

21

31

41

I

III

II

III

4

2

5

6

3

 

 

Рис. 3.  Граф электрической цепи

 

В соответствии с заданными ветвями дерева, сформируем матрицу основных контуров , матрицу сопротивлений цепи , матрицу источников , .

6х1	1
	4
	6
	2
	3
	5

 

6х1	1
	4
	6
	2
	3
	5

 

		1	4		6		2		3		5
3х6	2	1		-1				1
	3	1				1				1
	5			1		1						1

 

 

		1	4	6	2	3	5
	1
	4
6x6	6
	2
	3
	5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Перемножаем матрицы в соответствии с матричным уравнением.

 

Транспонируем матрицу основных контуров:

		2	3		5
ℤ	1
	4
	6
	2
	3
	5

 

		2	3		5
6х3	1	1		1
	4	-1				1
	6			1		1
	2	1
	3			1
	5					1

 

Матрица сопротивлений контуров:

=

 

 

 

 

ℤ

 

 

 

 

 

 

=	) +
	) +
	+

 

 

 

 

 

 

 

Система уравнений:

 

  + =

 

Систему уравнений решаем с помощью  программы MathCAD 2001:

 

 

 

 

		1	1
		-1		1
	=		1	1			=
		1
			1
				1

 

	=
	=
	=
	=
	=
	=

		=
		=

 

 

 

 

 

Мгновенные токи:

 

 

 

1.702

 

 

 

2.3. Расчет мгновенных токов в  ветвях схемы методом  узловых напряжений

 

В матричном виде система уравнений  для метода узловых потенциалов  выглядит следующим образом:

=где

  — матрица инциденций размера (q – 1) × p (q — количество узлов, р — количество рёбер) , в которой i–я строка соответствует узлу i, а j–й столбец соответствует ребру j, причём элемент A_ij равен

• 0, если ребро j не присоединено к узлу i;
• 1, если ребро выходит из узла;
• –1, если ребро входит в узел.

Понятие «входит» и «выходит» означает, что для каждого ребра задаётся направление, которое обычно ассоциируется  с направлением тока в этом ребре;

  — диагональная матрица проводимостей размера p × p, в которой диагональный элемент Y_ii равен проводимости i–го ребра, а недиагональные элементы равны нулю; 

— транспонированная матрица инциденций;  

— матрица-столбец узловых потенциалов  размером (q – 1) × 1. Потенциалы измеряется относительно предварительно выбранного узла, потенциал которого считается равным нулю. Нулевой узел не входит ни в одну из перечисленных в данном разделе матриц;  

 — матрица-столбец  источников тока размером p × 1, где каждый элемент равен току соответствующего источника, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник тока отсутствует; положительная, если направление тока источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае;

  — матрица-столбец источников ЭДС размером p × 1, где каждый элемент равен ЭДС соответствующего источника, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник ЭДС отсутствует; положительная, если направление ЭДС источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае.