Планирование эксперимента

 Диапазоны изменения  факторов задают область определения  Y. Если принять, что каждому  фактору соответствует координатная  ось, то полученное пространство  называется факторным пространством.  При n=2 область определения Y представляется  собой прямоугольник, при n=3 –  куб, при n >3 – гиперкуб. При  выборе диапазонов изменения  факторов нужно учитывать их  совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые  сочетания факторов были бы  реализуемы в опытах.

Планирование  эксперимента (от   англ. experimental design techniques) —  это комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Теория планирования эксперимента, базируется  на идеях теории вероятности и математической статистики. Математическим аппаратом теории планирования  эксперимента являются теория вероятностей,  математическая статистика, а также некоторые разделы прикладной математики.

 Планирование эксперимента состоит в выборе числа и условий проведения опытов, позволяющих получить  необходимые знания об объекте с требуемой точностью. Важнейшим условием научно поставленного эксперимента является минимизация общего числа опытов. а следовательно и затрат материальных. трудовых и временных ресурсов.

Планирование  эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

 В процессе измерений,  последующей обработки данных, а  также формализации результатов  в виде математической модели, возникают погрешности, и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами

 Таким образом,  цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

3 История и этапы  развития  теории планирования эксперимента

Планирование эксперимента возникло в 20-х годах XX века из потребности  устранить или хотя бы уменьшить  систематические ошибки в сельскохозяйственных исследованиях путем рандомизации условий проведения эксперимента. С 1918 г. Р. Фишер начал свою известную серию работ на Рочемстедской станции в Англии. В 1935 году появилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению. В 1942 году А. Кишен рассмотрел планирование эксперимента по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов.

Первый  этап развития. Исследования Р. Фишера знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йетс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов.

В 1945 г. Д. Финни ввел дробные  реплики от факторного эксперимента. Это позволило сократить число  опытов и открыло дорогу техническим  приложениям планирования. Г. Хотеллинг  в 1941 г. предложил находить экстремум  по экспериментальным данным с использованием степенных разложений и градиента. Следующим важным этапом было введение принципа последовательного шагового экспериментирования. Этот принцип, высказанный  в 1947 г. М. Фридманом и Л. Сэвиджем, позволил распространить на экспериментальное  определение экстремума — итерацию.

Чтобы построить современную  теорию планирования эксперимента, не хватало одного звена — формализации объекта исследования. Это звено  появилось в 1947 г. после создания Н. Винером теории кибернетики. Кибернетическое  понятие «черный ящик», играет в  планировании важную роль.

Второй  этап развития. В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента. В ней сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движение по градиенту и отыскание интерполяционного полинома в области экстремума функции отклика (почти стационарной области).

В 1954—1955 гг. Дж. Бокс показал , что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез.

Третий  этап развития теории планирования эксперимента начался в 1957 г., когда Бокс применил свой метод в промышленности. Этот метод стал называться «эволюционным планированием». В 1958 г. Г. Шиффе предложил новый метод планирования эксперимента для изучения физико-химических диаграмм состав — свойство под названием «симплексной решетки».

Развитие теории планирование эксперимента в СССР отражено в работах  В. В. Налимова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановского, Е. В. Марковой, В. Б. Тихомирова.

4 Этапы планирования эксперимента

Планирование эксперимента включает ряд этапов.

1. Установление цели эксперимента  (определение характеристик, свойств и т. п.) и его вида (определительные, контрольные, сравнительные, исследовательские).

2. Уточнение условий проведения  эксперимента (имеющееся или доступное  оборудование, сроки работ, финансовые  ресурсы, численность и кадровый  состав работников и т. п.). Выбор  вида испытаний (нормальные, ускоренные, сокращенные в условиях лаборатории,  на стенде, полигонные, натурные  или эксплуатационные).

3.   Выбор входных  и выходных параметров на основе  сбора и анализа предварительной  (априорной) информации. Входные  параметры (факторы) могут быть  детерминированными, то есть регистрируемыми  и управляемыми (зависимыми от  наблюдателя), и случайными, то есть  регистрируемыми, но неуправляемыми. Наряду с ними на состояние  исследуемого объекта могут оказывать  влияние нерегистрируемые и неуправляемые  параметры, которые вносят систематическую  или случайную погрешность в  результаты измерений. Это —  ошибки измерительного оборудования, изменение свойств исследуемого  объекта в период эксперимента, например, из-за старения материала  или его износа, воздействие персонала  и т. д.

4. Установление требуемой   точности результатов измерений  (выходных параметров), области возможного  изменения входных параметров, уточнение  видов воздействий.   Точность  экспериментальных данных   существенно  зависит от объёма (числа) испытаний  — чем испытаний больше, тем  (при тех же условиях) выше достоверность  результатов.

 Для ряда случаев  (при небольшом числе факторов  и известном законе их распределения)  можно заранее рассчитать минимально  необходимое число испытаний, проведение которых позволит получить результаты с требуемой точностью.

5. Составление плана и  проведение эксперимента — количество  и порядок испытаний, способ  сбора, хранения и документирования  данных.

 Порядок проведения  испытаний важен, если входные  параметры (факторы) при исследовании  одного и того же объекта  в течение одного опыта принимают  разные значения.  Порядок испытаний  также важен в процессе поисковых  исследований: в зависимости от  выбранной последовательности действий  при экспериментальном поиске  оптимального соотношения параметров  объекта или какого-то процесса  может потребоваться больше или  меньше опытов. Эти экспериментальные  задачи подобны математическим  задачам численного поиска оптимальных  решений. Наиболее хорошо разработаны  методы одномерного поиска (однофакторные  однокритериальные задачи), такие  как метод Фибоначчи, метод  золотого сечения.

6. Статистическая обработка  результатов эксперимента, построение  математической модели поведения  исследуемых характеристик.

 Необходимость обработки  вызвана тем, что выборочный  анализ отдельных данных, вне  связи с остальными результатами, или же некорректная их обработка  могут не только снизить ценность  практических рекомендаций, но и  привести к ошибочным выводам. 

Обработка результатов включает:

• определение доверительного интервала среднего значения и дисперсии (или среднего квадратичного отклонения) величин выходных параметров (экспериментальных данных) для заданной статистической надежности;
• проверка на отсутствие ошибочных значений (выбросов), с целью исключения сомнительных результатов из дальнейшего анализа. Проводится на соответствие одному из специальных критериев, выбор которого зависит от закона распределения случайной величины и вида выброса;
• проверка соответствия опытных данных ранее априорно введенному закону распределения. В зависимости от этого подтверждаются выбранный план эксперимента и методы обработки результатов, уточняется выбор математической модели.

Построение математической модели выполняется в случаях, когда  должны быть получены количественные характеристики взаимосвязанных входных  и выходных исследуемых параметров. Это — задачи аппроксимации, то есть выбора математической зависимости, наилучшим  образом соответствующей экспериментальным  данным. Для этих целей применяют  регрессионные модели, которые основаны на разложении искомой функции в  ряд с удержанием одного (линейная зависимость, линия регрессии) или  нескольких (нелинейные зависимости) членов разложения (ряды Фурье, Тейлора). Одним  из методов подбора линии регрессии  является широко распространенный метод наименьших квадратов.( см. п.6)

Для оценки степени взаимосвязанности  факторов или выходных параметров проводят корреляционный анализ результатов  испытаний. В качестве меры взаимосвязанности  используют коэффициент корреляции: для независимых или нелинейно  зависимых случайных величин  он равен или близок к нулю, а  его близость к единице свидетельствует  о полной взаимосвязанности величин  и наличии между ними линейной зависимости.

 При  обработке или использовании  экспериментальных данных, представленных в табличном виде, возникает потребность получения промежуточных значений. Для этого применяют методы линейной и нелинейной (полиноминальной) интерполяции (определение промежуточных значений) и экстраполяции (определение значений, лежащих вне интервала изменения данных).

7. Объяснение полученных  результатов и формулирование  рекомендаций по их использованию,  уточнению методики проведения  эксперимента.

Снижение трудоемкости и  сокращение сроков испытаний достигается  применением автоматизированных экспериментальных  комплексов. Такой комплекс включает испытательные стенды с автоматизированной установкой режимов (позволяет имитировать реальные режимы работы), автоматически обрабатывает результаты, ведет статистический анализ и документирует исследования. Но велика и ответственность инженера в этих исследованиях: четкое поставленные цели испытаний и правильно принятое решение позволяют точно найти слабое место изделия, сократить затраты на доводку и итерационность процесса проектирования.

5 Требования к  выбору плана эксперимента

Задачей планирования экспериментов  является выбор числа и условий проведения экспериментов. Число экспериментов является важнейшей характеристикой плана, от него зависит не только точность полученных результатов, но также стоимость и длительность проведения исследований. Обычно   выбирают чисто экспериментов  равное   где N >K+1 , где К - число элементов в модели.

Понятие об оптимальном  плане зависит, главным образом  от конкретных особенностей исследуемого    объекта. К ним можно  отнести вид модели, уровень знаний об объекте исследования, допускаемые  области варьирования факторов, размер отпущенных на    исследование средств и т. д.

Как известно, если представить модель процесса в виде    функции, то критерии оптимальности планов можно разделить на две группы: критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов модели   и критерии, связанные с ошибкой в оценке модели у, то есть с ошибкой в оценке поверхности отклика

Рассмотрим наиболее употребительные  критерии оптимальности планов. [4]

К первой группе критериев относятся:

А-оптималъностъ (average variance - средняя дисперсия) этот критерий требует, чтобы эллипсоид рассеяния оценок коэффициентов имел наименьшую сумму квадратов длин осей

D-оптималъностъ (determinant - определитель). Для планов удовлетворяющих этому критерию, эллипсоид рассеяния оценок коэффициентов имеет минимальный объем.

Е-оптимальностъ (eigen value - собственное значение) Выполненте нение этого критерия предполагает, что эллипсоид рассеяния оценок коэффициентов имеет наименьшую максимальную ось.

Ортогональность. Для ортогональных планов все оценки коэффициентов независимы, главные оси эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов совпадают с направлениями координатных осей в пространстве коэффициентов. Выполнение критерия ортогональности существенно упрощает вычисления.