Планирование эксперимента

Ко второй группе критериев относятся:

G- оптималъностъ (general variance - общая дисперсия). В соответствии с этим критерием максимальное значение дисперсии оценки модели минимально. Выполнение данного критерия позволяет  не иметь точек со слишком низкой точностью оценки поверхности отклика.

О- оптималъность (qualitet - качество). Критерий позволяет иметь среднюю дисперсию оценки поверхности отклика минимальной.

Ротатабелъность - (rotation - вращение). Этот критерий требует такого расположения точек в области планирования, при котором ошибки оценки поверхности отклика зависят только от расстояния до центра плана. Любое направление от центра плана равнозначно в смысле точности.

Униформностъ. В планах, отвечающих этому требованию, дисперсия оценки модели в некоторой области вокруг центра практически постоянна. Обеспечение выполнения указанных (а также и ряда других) критериев связано с разработкой различных типов планов.

При выборе планов эксперимента необходимо также иметь в виду некоторые свойства.

Насыщенность. Если число опытов равно числу неизвестных коэффициентов модели, то план называется насыщенным. Планы, содержащие меньшее число опытов, не позволяют найти единственные  оценки коэффициентов модели. Обычно используются планы  с числом опытов N > К +1, где К - число неизвестных коэффициентов.

Композиционность. Очень часто исследователь не знает истинного  вида модели, поэтому сначала делается предположение о простейшей форме модели (линейная зависимость). На основании этого  предположения выбирается план эксперимента и проверяется точность модели. Если линейная модель неадекватна, переходят к квадратичной модели и соответствующему плану и т. д. План называется композиционным, если при выборе модели более высокого порядка можно использовать все результаты опытов по плану его порядка

 Рандомизированностъ. Это обеспечение случайного порядка (например, с помощью таблицы случайных чисел) проведения опытов для исключения влияния неконтролируемых факторов. К ним можно отнести также усталость оператора в процессе исследования и многое другое, если оно специально не контролируется.

Простота обработки результатов. Многие планы, разработанные в соответствии с указанными выше критериями, позволяют простую обработку результатов по простейшим формулам, важно не только для ручного счета, но позволяет также экономить машинное время на ЭВМ, увеличивать точность расчетов. [4]

6 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Тщательное, скрупулезное выполнение эксперимента, несомненно, является главным условием успеха исследования. Это общее правило, и планирование эксперимента не относится к исключениям. Однако нам не безразлично, как обработать полученные данные.   Для этого существуют статистические методы обработки результатов.

                     Метод наименьших квадратов( МНК)

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares) — один из базовых  методов обработки результатов эксперимента для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Он позволяет рассчитать коэффициенты выбранной модели. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что  собственно методом наименьших квадратов  можно назвать метод решения  задачи в любой области, если решение  заключается или удовлетворяет  некоторому критерию минимизации суммы  квадратов некоторых функций  от искомых переменных. Поэтому метод  наименьших квадратов может применяться  также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих  уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

Допустим, что некоторая  теоретическая модель предполагает линейную зависимость одной из характеристик  системы от других: y = Σ ki·xi (i – число независимых переменных). Задача заключается в следующем: при фиксируемых параметрах x и измеренных значениях y рассчитать вектор параметров k, удовлетворяющий некоторому критерию оптимальности.

В методе наименьших квадратов  этим критерием является минимум  суммы квадратов отклонений рассчитанных значений y от наблюдаемых (экспериментальных):   Чтобы найти минимум функции, это выражение надо продифференцировать по параметрам и приравнять нулю (условие минимума). В результате поиск минимума суммы квадратов сводиться в простым операциям с матрицами

Если теоретическая модель представляет собой линейную зависимость  от одного параметра (y = a + b·x), а наша цель – вычисление неизвестных коэффициентов а и b то решение выражается в виде простых формул:

 

Z = nΣxi² - (Σxi)²;                                                                                         (1)

a = (ΣyiΣxi² – ΣyixiΣxi) / Z;     Sa² = Sy² Σxi² / Z;                                        (2)

b = (nΣyixi – ΣyiΣxi) / Z;     Sb² = Sy² n / Z;                                                 (3)

Sy² = Σ(ys,i – yi)² / (n –  2)                                                                             (4)

Где (ys,i – рассчитанное значение, yi – эксперементально измеренное значение)

При расчете погрешностей предполагается, что точность плана  экспримента (значений x) значительно  превосходит точность измеряемых значений y, погрешность измерения которых  подчиняется нормальному распределению.

Метод наименьших модулей (МНМ)

 Метод наименьших модулей  (МНМ) — один из методов регрессионного  анализа для оценки неизвестных  величин по результатам измерений,  содержащих случайные ошибки. МНМ  применяется также для приближённого  представления заданной функции  другими (более простыми) функциями  и часто оказывается полезным  при обработке наблюдений.

МНМ похож на метод наименьших квадратов. Отличие состоит в  минимизации не суммы квадратов  невязок, а (взвешенной) суммы их абсолютных значений. Этот метод обеспечивает максимум функции правдоподобия, если ошибки измерений подчиняются закону Лапласа. (Для сравнения, метод наименьших квадратов обеспечивает максимум функции  правдоподобия, когда ошибки распределены по Гауссу.)

                        Метод регрессионного анализа

Регрессио́нный (линейный) анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных  на зависимую  переменную.

Методы  оценки адекватности модели

 

В общем случае под адекватностью  понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (т. е. в ситуациях, когда реальная система вообще не существует).

Тем не менее, во многих случаях  полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной  модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования - использование  методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При этом следует заметить, что при проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы - они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Итак, каким же образом  можно оценить адекватность разработанной  модели реально существующей системе?

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов  на модели и может проводиться  различными способами. Наиболее распространенные из них 

– по средним значениям  откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой. В статистике разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F-критерием Фишера. Удобство использования критерия Фишера состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению с табличным значением. Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то, с соответствующей доверительной вероятностью, модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения эту приятную гипотезу приходится отвергать.

Проверка  значимости коэффициентов

Проверка значимости каждого  коэффициента проводится независимо.Ее можно осуществлять двумя равноценными способами: проверкой по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эффективность указанных  методов планирования эксперимента доказана на многочисленных примерах использования их в различных областях науки и техники: физике и химии, биологии и медицине, радиотехнике и электронике, автоматике и вычислительной  технике, в задачах организации производства и технико-экономических исследованиях. Плодотворность теории планирования эксперимента во многом повышается при широком внедрении ЭВМ. Использование ЭВМ необходимо для анализа и синтеза оптимальных экспериментальных планов, при проведении вычислений, связанных со статистической обработкой опытных данных. ЭВМ составляют основу решения проблемы автоматизации научных исследований, в рамках которых методы планирования эксперимента находят самое широкое применение.

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Красовский Г. И., Филаретов Г. Ф. Планирование эксперимента.— Минск.: Изд-во БГУ, 1982.—302 е., ил.
2. В.Г. Кучеров , О.И. Тужиков . Основы научных исследований .- ВолгТУ Волгоград ,2004-304с
3. Методы исследований и организации экспериментов. ,под ред проф.Власова К.П. –Издательство « Гуманитарный Центр» , 2002, 256с
4. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ : Уч пособие –М.: Высш шк 1989 -367 с
5. Розенблют А., Винер Н. Роль моделей в науке  - Л. Наука 1984