Физика балета

Основной закон динамики вращательного движения. Основной закон динамики вращательного движения можно получить теоретическим путем, использую основной закон динамики поступательного движения. Ведь любое вращающееся тело можно представить себе состоящим из множества частичек и к каждой из них применить второй закон Ньютона. Но этот подход требует знания высшей математики, поэтому можно вывести основной закон динамики вращательного движения опытным путем. Так как меня интересует лишь конечный результат, то я выведу формулу сразу:

      

 

 

 

 

Где ε- этот ускорение вращающегося тела, ω – угловая скорость, а t – это время, в течение которого происходил поворот..

Благодаря этому закону я рассчитаю  максимальное ускорение, которое развивает  балерина во время вращения.

 

Но для этого мне понадобиться найти угловую скорость, она находиться по формуле:

 

 

 

 

 

Где α-угол поворота, t – время, в течение которого этот поворот произошел.

 

Рассмотрим частный случай вращения балерин фуэте. Эффект качественного фуэте усиливает быстрый темп и высоко (градусов на 80) поднятая «рабочая» нога. Время, за которое балерина прокрутится на оной ноге, я узнаю благодаря эксперименту: с помощью секундомера замерю один поворот. Зная скорость, я подсчитаю, с каким ускорением должна двигаться балерина во время поворота.

Так как балерина вращается, то рассмотрим зависимость углового ускорения  от свойств вращающегося тела.

 

 

 

Ускорение поступательного движущегося  тела зависит от массы тела. Естественно  предположить, что и угловое ускорение  зависит от массы вращающегося тела.

Предположим, что балерина немного увеличила свою массу. При том же момента действующей силы угловое ускорение вращения теперь оказывается меньшим, чем было прежде.

Балерина может крутить фуэте  с руками и без рук. Проанализировав  эти две ситуации, устанавливается,, что угловое ускорение при  этом ещё сильнее уменьшится. Следовательно, угловое ускорение зависит и от ее расположение относительно оси вращения.

Характеристика тела, зависящая  от массы и ее распределения относительно оси вращения называется моментом инерции. Момент инерции обозначается буквой I.

Из этого анализа можно вывести  основное уравнение динамики вращательного движения.  

 

 

 

 

Момент силы находится по формуле

 

 

Момент инерции

Момент инерции тела сравнительно простой формы может быть определен  путем вычислений. Рассмотрим простейший случай - вращение тела по окружности в  случае, когда размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с радиусом окружности (тело – материальная точка). Балерина, когда выкручивает свое фуэте, стоит на «пятачке» пуанта, поэтому будем считать, что тело закреплено на расстоянии R от неподвижной оси. Под  действием силы , направленной по касательной к окружности и перпендикулярно оси вращения, оно приобретает тангенциальное ускорение

 

так как за очень малый промежуток времени движение тела по окружности можно считать прямолинейным.

С другой стороны, рассматривая движение тела как вращательное, угловое ускорение  его движения можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения :

 

Выражая тангенциальное ускорение  через угловое ускорение и  радиус вращения

получим:

 

 

 

Итак, момент инерции тела, вращающегося по окружности радиуса R, большого по сравнению с размерами тела, равен произведению массы тела на квадрат расстояния от него до оси вращения.

 

 

Момент импульса.

Основное уравнение динамики вращательного  движения тела можно представить  в виде или 

или

 

Последнее уравнение можно записать в общем виде:

 

Физическая величина, равная произведению момента инерции тела I на угловую  скорость его вращения , носит название момента импульса и обозначается буквой L:

Изменение момента импульса тела равно произведению момента внешней силы М на время действия этого момента силы т. е.

.

Между моментом силы и импульсом  силы легко прослеживается аналогия. Сравните:

 

и

 

где аналогом силы является момент силы, а аналогом импульса - момент импульса.

Происхождение названия <момент импульса> станет ясным, если мы рассмотрим в качестве равномерно движущегося тела по окружности материальную точку. Момент инерции тела в этом случае равен произведению массы тела на квадрат расстояния от тела до оси вращения:

 

Угловая скорость вращения тела связана  с линейной скоростью соотношением  Поэтому момент импульса тела равен 

 

 

Здесь радиус R можно рассматривать  как своего рода <плечо>. И точно  так же, как произведение силы на плечо назвали моментом силы, произведение импульса на плечо назвали моментом импульса.

Закон сохранения момента  импульса

Момент импульса тела - одна из важнейших  характеристик его вращательного  движения. Когда суммарный момент сил, действующих на тело, относительно данной оси вращения равен нулю, то момент импульса не изменяется:

.

 

Это и есть закон сохранения момента  импульса.

 Расчеты ускорения, момента инерции, момента импульса приведены в практической части. [ Практическая часть, Вращение стр. 26]

 

2.2. Прыжки

Чтобы выполнять больше требуемых  движений, балерина, как кажется, бросает  вызов земному притяжению, работая  на пределах ее возможностей. Основы физики и науки человеческого восприятия обеспечивают понимание того, как  это достигнуто.

Например, во время прыжка, может казаться, что балерина парит. Разберем детально, как это удается.

Для того чтобы прыгнуть балерине, нужно разбежаться. Но во время танца  этого сделать практически невозможно, так как балерина выполняет один элемент за другим. Значит, на неё действует сила, которая вызывает ускорение, и при этом ускорение танцовщицы будет тем большим, чем больше сила. Например: чем скорее мы хотим привести в движение тележку с грузом, тем больше придется напрягать свои мускулы.

Как  правило, на движущееся тело действуют две силы: ускоряющая - сила тяги, и: тормозящая - сила трения или  сопротивления воздуха.[Приложение, Рисунок7 стр.31].

Разность этих двух сил, так называемая результирующая сила, может быть направлена вдоль или против движения. В первом случае тело убыстряет движение, во втором - замедляет. Если эти две противоположно действующие силы равны одна другой (уравновешиваются), то тело движется равномерно, так как  если бы на него вообще не действовали силы.

Как  же связаны сила и создаваемое ею ускорение?

Ответ оказывается очень простым. Ускорение пропорционально силе.

a ~F

Но остается решить еще один вопрос: как влияют свойства тела на его  способность ускорять движение под  действием той или иной силы? Ведь ясно, что одна и та же сила, действуя на ,различные тела, придает им разные ускорения.

Ответ на поставленный вопрос мы найдем в том замечательном обстоятельстве, что все тела падают на Землю с  одинаковым ускорение. Это ускорение обозначают буквой g (ускорение свободного падения. g= 9.8 м/с²).

Непосредственное наблюдение, на первый взгляд, не подтверждает одинаковости ускорения для всех тел. Дело в  том, что при падении тел в  обычных усл6виях, коме силы тяжести, на них действует и «мешающая» сила - сопротивление воздуха. Различие в характере падения легких, и тяжелых тел весьма смущало философов древности. Кусок железа падает быстро, пушинка парит в воздухе. Медленно опускается на Землю раскрытый лист бумаги, однако, свернутый в комок, этот же лист падает значительно быстрее. То, что воздух  искажает «истинную» картину движения тела под действием Земли, понимали уже древние греки. Однако Демокрит думал, что, если даже удалить воздух, тяжелые тела будут всегда падать быстрее, чем легкие. А ведь сопротивление воздуха может привести и к обратному - скажем, лист он алюминиевой фольги (широко развернутой) будет падать медленнее, чем шарик, скомканный из точно такого же кусочка фольги.

Аристотель считал, что в вакууме  все тела должны падать одинаково. Однако, из этого умозрительного заключения он делал следующий парадоксальный вывод: «падение разных тел с одинаковой скоростью настолько а66сурдно, что ясна невозможность существования вакуума».

Никто  из ученых древних и средних  веков не догадался проверить  на практике, с разными или одинаковыми ускорениями падают на Землю тела. Лишь Галилей  своими замечательными опытами (он исследовал движение шаров по наклонной плоскости и падение тел, сбрасываемых с вершины наклонной Пизанской башни) показал, что все тела,  вне зависимости от массы, падают в одном и том же месте земного шара с одинаковым ускорением. В настоящее время эти опыты весьма просто продемонстрировать при помощи длинной трубки, из которой выкачан воздух. Пушинка и камень падают в такой трубке совершенно одинаково: на тела действует лишь одна сила- вес, сопротивление воздуха сведено к нулю. При отсутствии сопротивления воздуха падение любых тел является равномерно-ускоренным движением.

Теперь вернемся к вопросу, поставленному  выше.

Как способность тела ускорять движение под действием заданной силы зависит от его свойств?

Закон Галилея говорит, что все  тела, вне зависимости от их массы, падают с одним и тем же ускорением; значит, масса m кг под действием силы в m Н  движется с ускорением g.

 

Теперь предположим, что речь идет не о падении тел и на массу m кг действует сила в        1 Н., так как ускорение пропорционально силе, то оно будет в m раз меньше g.

Мы пришли к выводу, что ускорение  тела a при заданной силе (в нашем примере в 1 Н) обратно пропорционально массе.

Объединяя оба вывода, мы можем записать:

a ~ F/m

 

т. е. при неизменной массе ускорение  пропорционально силе, а при неизменной силе обратно пропорционально массе.

Закон, связывающий ускорение с  массой тела и действующей на тело силой, был открыт великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643-1727) и носит его имя.

Ускорение пропорционально действующей  силе и обратно пропорционально  массе тела, и не зависит ни от каких других свойств тела. Из закона Ньютона следует, что именно масса является мерой «инертности» тела. При одинаковых  силах труднее ускорить тело большей массы. Мы видим, что понятие массы, с которой мы ознакомились как со «скромной» величиной, определяемой взвешиванием на рычажных весах, приобрело новый глубокий смысл: масса характеризует динамические свойства тела.

Закон Ньютона мы можем записать так:

 

где – постоянный коэффициент. Этот коэффициент зависит от выбранных нами единиц.

Вместо того чтобы пользоваться уже имевшейся у нас единицей силы (Н), поступим иным образом. Как это часто стараются делать физики, подберем единицу силы так, чтобы коэффициент пропорциональности в законе Ньютона равнялся единице. Тогда закон Ньютона примет такой вид:

 

 

     Зная второй закон Ньютона, рассчитаем ускорение, с которым должна взмыть балерина в воздух, чтобы «зависнуть» в нем на некоторое время [Практическая часть, Прыжки стр. 27]

Хорошо известно, что одна и та же работа может быть совершена за разное время. Балерина при прыжке совершает  определенную  работу, значит, у прыжка имеется мощность.

Мощностью называется физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени, за которое она совершена (обозначается буквой N).

 

 

Где - работа совершаемая, телом, а – время, за которое эта работа совершается.

Во время прыжка балерина движется равномерно и прямолинейно. Сила и  перемещение направлены вдоль одной  прямой, а сила тяги постоянна, то работа:

 

 

 

Тогда мощность прыжка будет равна

      

 

 

Где - скорость балерины.

Прыжки делятся на маленькие  и большие, в высоту, длину и  по траектории (где одинаково важна  высота и длина). 

При изучении прыжков в балетных  школах следует обращать внимание на развитие баллона, то есть способность  задерживаться в воздухе в  определенной позе. Для этого необходимо достигать предельной точки прыжка, что помогает «повисать» в воздухе. Баллон особенно эффективен у танцовщиц и танцовщиков с большим прыжком [Приложение, Рисунок 7 стр.32].

Чтобы взмыть вверх, и прыгуну, и  танцору надо хорошо разбежаться и постараться максимально перевести горизонтальную составляющую набранной при разбеге скорости в вертикальную. Поскольку большие прыжки выполняет артист балета, то для того, чтобы вычислить с какой скоростью он «летит» нужно знать время и расстояние, которое ему надо преодолеть. Как оговаривалось выше, артист балета движется равномерно и прямолинейно, то:    

 

 

Зная расстояние и время полета, я рассчитаю скорость [ Практическая часть, Прыжки стр.27].

2.3 Плие

Plie – общепринятое французское название для движения ног, которое по-русски обозначается словом «приседание».