Компьютерная модель пружинного маятника (наименование темы)

Министерство образования  и науки

Северный (Арктический) федеральный  университет имени М.В. Ломоносова

Институт естественных наук и биомедицины

 

 

Кафедра Информатики, ВТ и МПИ

 

____________    Минина Галина Евгеньевна______________

(фамилия, имя, отчество студента)

 

4  курс _49   группа

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

По дисциплине Моделирование  систем

 

На  тему  Компьютерная модель пружинного маятника

(наименование темы)

 

 

 

 

Работа допущена к защите  __________________________________________ 

(подпись руководителя)(дата)

 

 

 

Признать, что работа выполнена  и защищена с оценкой _____   ____________

 

Руководитель доцент ____________________. А.К. Титов   ________________

(должность) (подпись)  (и.,о., фамилия) (дата)

 

 

 

Архангельск

2013

 

Содержание

1. Введение                                                                                                         3
2. Маятники                                                                                                        4
3. Виды маятников                                                                                           5
4. Математическая модель                                                                              17
5. Основные этапы математического моделирования                                 17
6. Классификация моделей                                                                            18
7. Интерфейс программы                                                                         23
8. Заключение                                                                                           24
9. Список литературы                                                                             25
10. Приложение                                                                                         26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Введение

Математическая модель — это математическое представление реальности.

Математическое  моделирование — это процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем, изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

 В своей работе я хочу представить программу, которая создана в целях обучения. Эту программу можно использовать для демонстрации по предмету физики.

При изучении раздела в физике «механические колебания» учащимся крайне необходимо такое моделирование, оно значительно облегчает им восприятие истинной картины, учащиеся визуально могут увидеть картину изменения скорости, координаты и ускорения.

Целью данной работы является создание модели колебаний пружинного маятника (построение графика изменения его физических величин).

Для выполнения цели поставлены следующие задачи:

• определение специфики задания
• сбор и обработка данных
• разработка графической и математической моделей
• разработка дружелюбного интерфейса
• программирование и тестирование работоспособности программы.

 

 

 

2. Маятники

 

Твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси. Обычно под маятником понимают тело, совершающее колебания под действием силы тяжести; при этом ось маятника не должна проходить через центр тяжести тела. Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное  тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно  совершает колебания около этого  положения.Такое тело называют пружинным  маятником. Колебания возникают  под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные  действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное  пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

Если на систему  оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется  так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

3. Виды маятников

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Маятники: а —  круговой математический; б — физический.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Маятники: а —  сферический; б — конический.

Оборотный маятник

 

        Прибор для экспериментального определения ускорения силы тяжести g. Представляет собой тело, например массивную пластину (рис.), с двумя трёхгранными ножами, из которых один неподвижен, а другой может перемещаться вдоль прорези на пластине. Оборотный маятник позволяет определить величину g со значительно более высокой степенью точности, чем математический маятник.

 

 

 

Рис. Оборотный маятник.

  Фрудамаятник        

Фрикционный маятник, одна из простейших автоколебательных механических систем. Состоит (рис.) из физического маятника 1, жестко скрепленного с муфтой 2, насаженной на вращающийся вал 3. Угловая скорость вала такова, что она в любой момент времени превосходит угловую скорость маятника, поэтому действующий на маятник момент сил трения (в отличие от случая обычного подвеса) имеет постоянное направление и будет на одном полупериоде, когда маятник и вал движутся в разные стороны (относительная скорость муфты 2 больше), тормозить движение, а на другом, когда маятник и вал движутся в одну сторону, — ускорять. Если сила трения такова, что она на каком-нибудь интервале скоростей с увеличением скорости убывает, то ускоряющий момент будет в среднем больше тормозящего, что приведёт к нарастанию (самовозбуждению) колебаний; в результате, при соответствующих условиях, в системе могут установиться Автоколебания. Название по имени англ. учёного У. Фруда                 

Фруда маятник.

Фуко маятник

 

        Маятник, используемый для демонстраций, подтверждающих факт суточного вращения Земли. Фуко маятник представляет собой массивный груз, подвешенный на проволоке или нити, верхний конец которой укреплен (например, с помощью карданного шарнира) так, что позволяет маятнику качаться в любой вертикальной плоскости. Если Фуко маятник отклонить от вертикали и отпустить без начальной скорости, то, поскольку действующие на груз маятника силы тяжести и натяжения нити лежат всё время в плоскости качаний маятника и не могут вызвать её вращения, эта плоскость будет сохранять неизменное положение по отношению к звёздам (к инерциальной системе отсчёта. Наблюдатель же, находящийся на Земле и вращающийся вместе с нею, будет видеть, что плоскость качаний Фуко маятник медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Этим и подтверждается факт суточного вращения Земли.     

Маятник Фуко на северном полюсе. Ось вращения Земли лежит  в плоскости колебаний маятника      

 

Циклоидальный маятник

 

        Математический маятник, который, совершая под действием силы тяжести колебания, описывает дугу циклоиды с вертикальной осью и выпуклостью, обращенной вниз. Циклоидальный маятник можно осуществить, подвесив грузик В на нити длиной 4а и заставив нить огибать при колебаниях циклоидальные шаблоны (на рис. заштрихованы), у которых радиус производящего круга равен а. Тогда груз В будет описывать такую же циклоиду, т. е. будет Циклоидальный маятник.

 

Рис. Циклоидальный маятник.

 

Пружинный маятник

 

 

 

Пружинный маятник состоит из тела массы m и легкой пружины с коэффициентом жесткости k (рис.1, а). В общем случае движение пружинного маятника в поле силы тяжести довольно сложно и описывается большим числом степеней свободы. Практический интерес, однако, представляют колебания с одной степенью свободы, когда движение маятника происходит вдоль вертикальной оси. Для того, чтобы маятник совершал только вертикальные колебания достаточно оттянуть тело строго вниз на небольшую величину (рис.1, б,в ). Для полного описания колебаний в этом случае необходимо знать поведение только одной переменной, например, вертикальной координаты центра масс тела маятника. На тело, подвешенное на пружине в поле силы тяжести, действуют две силы (без учета сил трения) сила тяготения и упругая сила. Начало координат выберем таким образом, чтобы при х=О масса m находилась в равновесии. При этом сила тяжести mg будет скомпенсирована некоторым начальным растяжением пружины и в дальнейшем рассмотрении участвовать не будет.       При отклонении тела от точки равновесия будет возникать возвращающая сила F(х). Рассмотрим малые колебания пружинного маятника. Колебания пружинного маятника называют малыми, если сила, возникающая при смещении грузика от положения равновесия, пропорциональна его смешению и направлена в сторону положения равновесия. Для пружинного маятника условия малости колебаний удовлетворяются при смещениях, создающих возвращающую силу у пружины в пределах применимости закона Гука. Уравнение движения пружинного маятника при этом имеет вид

Рис.1 Вертикальные колебания  пружинного маятника

 

        

 

Чтобы в реальной колебательной системе получить не затухающие

колебания, надо компенсировать потери энергии, возникающие  за счет

сопротивления среды. Такая компенсация может  быть обеспечена вве-

дением какого-либо периодически действующего фактора. В  случае ме-

ханических  колебаний роль периодически действующего фактора игра-

ет внешняя  вынуждающая сила F(t). Рассмотрим, как  изменится дви-

жение пружинного маятника массой m и коэффициентом  жесткости

пружины k (под  действием силы упругости Fупр) в  среде с коэффициен-

том сопротивления b  (сила сопротивления среды Fср пропорциональна

скорости)  под воздействием внешней вынуждающей  силы,  изменяющейся по гармоническому закону с частотой Ω и амплитудой F0. Согласно второму закону Ньютона уравнение движения пружинного маятника примет вид

                                     ma=F_ср+F_упр+F(t).

Тогда                           ma=-bv-kx+F(t)

Или                              m*d²x/dt²=-b*dx/dt-kx+F₀cos Ωt

 

 

. 

Полученное уравнение легко  свести к неоднородному дифференциальному  уравнению вида

                                    D²x/dt²+2 β*dx/dt+ ω₀²x=F₀/m* cos Ωt

 

 Из математического анализа известно, что решение уравнений та-

кого вида представляет собой сумму  общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное

уравнение D²x/dt²+2 β*dx/dt+ ω₀²x=0 в зависимости от начальных условий имеет общее решение вида

                                    x=A₀e^(- βt)*cos(ωt+ ϕ₀) или x= A₀e^(- βt)*sin(ωt+ ϕ₀)

 

 

1.Ненагруженная пружина имеет длину l₀. Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести k(l₂-l₁)=mg. Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника. Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

 

F_рез=mg-k((l₂-l₁)+x)=-kx=F_упр

 

Знак минус означает, что направление  силы Fупр. и направление смещения х противоположны. Fупр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости  от того, в какую сторону от положения  равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы ( чем больше смещение, тем больше Fупр.).