Компьютерная модель пружинного маятника (наименование темы)

 

Рисунок 1.1 – Положения  пружинного маятника за время одного периода колебаний.

 

 

Если система  совершает колебания под действием  сил, развивающихся в самой колебательной  системе без внешних воздействий  и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими  собственными колебаниями.

 

Отсутствие  затухания колебаний характерно для идеальной колебательной  системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

 

2. Дифференциальное уравнение,  соответствующее колебаниям пружинного  маятника, можно получить из закона  его движения, которым является 2-й  закон Ньютона ma = F.

 

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени

 

 

а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых  смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как  F=-kx, получим

 

 

Или

 

 

 

 

Это дифференциальное уравнение второго порядка для  незатухающих колебаний. Основной его  отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная  от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х  входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения  характерны для незатухающих колебаний  в любой идеальной колебательной  системе.

 

Перенесем все  члены уравнения в левую часть  и приведем дифференциальное уравнение  к виду:

Величина    , обозначим ее  , получим

 

 

3. Решением дифференциального уравнения  такого вида являются уравнения:

 

 или 

 

Эти решения называются уравнениями  колебаний, они позволяют вычислить  смещение х пружинного маятника в  любой момент времени.

 

Колебания, при которых характеризующие  их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

 

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет , т.е. .

В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения  в виде .

 

4. В уравнении  колебаний:

 

А – амплитуда  смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

 

 – фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

 

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный  момент времени (t = 0).

 

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который  система возвращается в исходное положение. За период колебаний система  совершает одно полное колебание.

 

Частотой  периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

 

Циклической или круговой частотой периодических  колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за  единиц времени.

 

Для пружинного маятника частота и период собственных  колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

,

 

5. Зная уравнение  смещения пружинного маятника, получим  подобные уравнения для других  физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний,  если уравнение смещения пружинного  маятника задано в виде  .

 

Скорость  колебаний маятника есть первая производная  по времени от смещения:

 

Величина  Аω₀² называется амплитудой скорости. Амплитуда – величина положительная (по определению).

 

Ускорение маятника:

 

Величина  Аω₀² – амплитуда ускорения. И смещение, и ускорение маятника изменяются по закону косинуса, но отличаются, кроме амплитуды, еще и знаком. Направление ускорения совпадает с направлением упругой силы.

 

6. Так как  собственные колебания в идеальной  системе происходят без внешних  воздействий, то колебательная  система является замкнутой и  для нее выполняется закон  сохранения механической энергии.

 

Полная механическая энергия пружинного маятника равна:

 

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием упругой  силы, равна:

 

Кинетическая энергия пружинного маятника равна

 

Полная энергия колебаний пружинного маятника равна

 

Частота изменений  кинетической и потенциальной энергии  в 2 раза больше частоты изменения  смещения, скорости и ускорения. Соответственно период изменения этих видов энергии .

Графики физических величин в зависимости от времени  представлены на Рисунке 1.2 в пределах двух периодов колебаний (начальная  фаза взята равной нулю α = 0).

 

 

Рисунок 1.2 – Графики смещения (х), скорости (v), ускорения (а) в зависимости  от времени t

 

 

 

Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний  от начальных условий.

Решения дифференциального  уравнения колебаний определены с точностью до постоянной величины, поэтому таких решений бесчисленное множество. Выбор решения для  данной конкретной колебательной системы  можно сделать, если задать ее поведение  в начальный момент времени, то есть начальные условия. Например, если просто отклонить маятник, растянув пружину, а затем спокойно отпустить его, или отклонить, а затем подтолкнуть маятник, то движения маятника будут различными. Рассмотрим зависимость параметров колебательной системы от начальных условий.

Пусть при t = 0 смещение системы от положения  равновесия равно х0, а начальная  скорость v0. Гармоническое колебание  описывается уравнением  .

При t = 0 имеем  два уравнения:

,  .

Возведя в  квадрат оба уравнения и сложив их, получим уравнение для амплитуды:

.

Поделив одно уравнение на другое, получим соотношение  для начальной фазы:

.

Таким образом, и амплитуда, и начальная фаза колебаний зависят от начальных  условий колебательной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         4. Математическая модель

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование  и связанный с ним компьютерный эксперимент не заменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

5. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели.

На этом этапе задается некоторый  «не математический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

 

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. 

На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и  численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат  может быть найден с необходимой  точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели.

Следствия, выведенные из модели на языке  математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. 

На этом этапе выясняется, согласуются  ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. 

На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение  ради достижения практически приемлемого  решения.

6. Классификация моделей

Классифицировать модели можно  по разным критериям. Например, по характеру  решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и  результатов предсказания модели могут  быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

В данной работе примером математической модели является движение колебаний пружинного маятника.

 

Для того чтобы  рассмотреть математическую модель нам необходимо составить функцию  Лагранжа. 

Для частицы  массы  , совершающей колебания напружине жесткостью  , функция Лагранжа имеет вид

  где  - смещение частицы из положения равновесия. Подставив данную функцию в (12), получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

 Сферический маятник длины l. Декартовые координаты выражаются через сферические координаты  (которые могут выступать в качестве обобщенных координат) следующим образом

 Уравнение связи имеет вид:

В декартовых координатах- 

В сферических  координатах -  . Данная система имеет две степени свободыдвижения. 
Виртуальные перемещения определяются следующими соотношениями:

(1)

Выразим виртуальную  работу активных сил через обобщенные координаты частиц:

  (2)

Здесь

 

(3)

 

- обобщенные силы.

Уравнения Лагранжа 2-го рода.

 

Получим уравнения Лагранжа 2-го рода из принципа Даламбера-Лагранжа.  В  результате получим

(4)

 Введем обозначения:

(5)

С учетом определения (3) и обозначений (5) формулу (4) перепишем  в виде:

(6)

Для выполнения равенства (6), в силу независимости  вариаций обобщенных координат, должно быть

(7)

Преобразуем равенство (5), используя тождества

и равенство

В результате преобразований получаем:

(8)

Здесь

(9)

кинетическая  энергия системы частиц. Подставив формулу (8) в уравнение (7), получим искомые уравнения Лагранжа 2-го рода:

(10)

Рассмотрим  случай потенциальных сил:  . В этом случае для обобщенных сил (3) получаем:

(11)

И .Подставив (11) в уравнения Лагранжа (10), получим:

(12)

Здесь функция

 

(13)

представляет  собой разность кинетической и потенциальной  энергии системы частиц и выражается через обобщенные координаты, скорости частиц системы и время. Функция (13) называется функцией Лагранжа.

Функция Лагранжа задается неоднозначно. В частности, из уравнений (12) следует, что прибавление  к ней любой величины, которая  не зависит явно от обобщенных координат  и скоростей частиц, не меняет уравнений (12). Следует заметить, что вид  уравнений Лагранжа не зависти от выбора системы отсчета и системы  координат, т.е. данные уравнения инвариантны  по отношению к выбору системы  отсчета и системы координат.