Контрольная работа по дисциплине "Механика"

Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. Один участок наклонный, как представлено на рис. Д1.1.

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q, её направление указано на рисунке, и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости груза (сила сопротивления направлена в сторону, противоположную направлению скорости).Труба на участке АВ считается гладкой, т.е. силой трения скольжения принебрегают.

В точке В груз переходит на участок ВС, при этом считаем, что скорость точки по модулю при этом переходе не изменяется. На участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F, проекция которой на ось, выбранную по направлению движения, задана 2sin(4t). Кроме того, труба на участке ВС шероховатая, коэффициент трения скольжения f=0,2.

Считая груз материальной точкой и зная время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС т.е. x=ВD.

                                                             Дано

Номер условия	m, кг	V0, м/с	Q, Н	R, Н	t, С	Fx, Н
0	2	20	6	0,4	2,5	2sin (4t)

 

                                                                      Рис Д 1.1

 

 

                                                        

 

 

                                                         Решение

 

1. Рассмотрим  движение груза на участке  АВ, считая груз материальной  точкой . Изображаем груз в произвольно  положении. Силы, действующие на  груз : P; R; Q. Проводим ось X1 и составляем дифферециальные  уравнения движения груза в проекции на эту ось.

 

m= -Q –R;             Vx=V

2* =-6-0,4V;

=-3-0,2V;   =-(0,2V+3);            

=0,2(V+15)

Разделим переменные

= - *dt;

= - *dt;

ln ׀ V+15 ׀ = - +c ; при t0=0;   V0=20 м/с.

Определим С

ln ׀ 20+15 ׀ = - + с → с= ln 35

ln ׀ V+15 ׀ = - + ln 35

ln ׀ V+15 ׀ – ln35 =- ;

ln = - ;

=    при t= 2,5 с (груз в точке В)

Определим  значение VB

V+15=   →   V=21,8-15=6,8 м/с.

VB=6,8 м/с – начальная скорость  для участка ВС.

2.Рассмотрим  движение на участке ВС.

m= Fх + Pcos60° - FТР;

FТР=N*f;  N= P cos30° → FТР = mg * *0,2 =3,4 (Н)

2* = 2 sin (4t) +10+ 3,4;

= sin (4t) +6,7;

Vх = - cos 4t + 6,7t + 6,8;

Х = - sin(4t) + 6,7 + 6,8t +C2;

если С2 = 0 – начало отчета в точке В

Х = 0,0625sin (4t) + 3,35 + 6,8t

 

Ответ : Х = 0,0625sin (4t) + 3,35 + 6,8t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     Задача Д5

Механическая система состоит из трёх, тел соединенных нитями: груза 1 массой m1, однородного диска 2 массой m2 радиусом r2 и ступенчатого шкива 3, в зависимости от варианта задания. Масса тела 3 –m3, радиусы R3 и r3 соответственно. (R3=2r3=r2=0,2м). Радиус инерции третьего шкива относительно центральной оси равен p. Система движется из состояния покоя под действием сил тяжести и постоянной силы Fприложенной к центру шкива или однородного диска, как показано на рис. 5.1, а также постоянного момента М. Коэффициент трения груза 1 о плоскость f=0,1. Качение происходит – скольжения. Значения масс тел, радиуса инерции p, силы F и момента приведены в таблице.

Определить Указанную в столбце «Найти» таблицы величину, где угловая скорость обозначена ω, угловое ускорение – ε, линейная скорость V, линейное ускорение – α. (Под α3 понимается ускорение центра масс тела 3)

 

№	m1, кг	m2, кг	m3, кг	p, м	F, Н	M, Нм	Найти
0	2	4	8	0,2	200	3	V1=f (s1)

 

                                                             Рис. Д5.1

 

 

 

 

 

 

                                                                            Решение

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящих из весомых тел 1,2,3 соединенных нитями.

Силы, действующие на систему:

активные: Р1; Р2; Р3; F; Fупр.

силы реакции: N1; N2; JА;  Х А.

момент внешний: М.

Для определения  V1, как функции от  S1, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Т-Т0= ΣА + ΣА/ ;

0 – сумма  работ внутренних сил системы (идеальные связи);

Т0 = 0 – в начальный момент времени система неподвижна

Т= ΣА ;

Т= Т1 +Т2 + Т3;

Т1 =   - поступательное движение

Т1 = =;                

Т1 =

(Дж)

 

Т3 = – вращательное движение.

ω3= = = 5V1  (рад/с)

J3= m3= 8*0,2 = 0,32 (кг*) – момент инерции в блоке 3.

T3 = = 4 (Дж)                    

T3= 4

 

Т2 = +         где:

                                                      Vc - скорость центра масс

                                                      J2 – момент инерции блока 2

                                                      ω2 – угловая скорость блока2.

ω3 = = → V2 = = 0.5V1

ω2 = = → Vc = = 0,5 * V2 = 0,5 (0,5V1) = 0,25V1

ω2 = = 1,25V1

J2 = – однородный диск.

J2 = = 0,08 (кг )

Т2 = + = 0,125 + 0,0625 = 0,1875

ΣT = + + 0,1875 = 5.1875  (Дж)

Т = 5.1875  (Дж)

 

 

   2. Определяем работу внешних сил на том перемещении, которое будет иметь система, когда тело 1 пройдет путь равный    S1.

 

Σ = A(P1) + A(Fтр) + A(N1)  + A(P3) +   A(ХАΥА) + A(F)  + A(M) +A(N2) + A (P2) ;

    A(N1)  = 0    = N1   S1          

A (F тр) = - F тр *S1 = - P1 cos 45° *f*S1 = - mg *   *0.1*S1= -20*0.707*0.1 * S1 = - 1.4 S1  
    A (F тр) = - 1.4 S1

 A (P1) =   - P1 sin 45° * S1 = - mg *  * S1 = - 1.4 S1

         - силы приложенные к неподвижной опоре

  A(N2)  = 0       -  сила приложенная в мгновенном центре скоростей   

А (F) = F*Sc = F * 0.25*S1  т.к Sc = 0.25 S1; Vc = 0,25V1 – скорости связаны между собой также как перемещения.

А (F) = 200*0,25S1 = 50 S1

A (P2) = 0 ( P2 ⊥ Sc )

A(M) = M* = 3*5S1 = 15 S1           т.к = = = 5S1;

Σ А = 50 S1 + 15 S1    -  1.4 S1  - 1.4 S1   = 49,5 S1

5.1871 = 49.5 S1

V1=

Ответ :    V1=

 

 

 

 

 

 

Задача Д 6

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиусом R или прямоугольная со сторонами  R и 2R, где R= 1,2м) массой m1 =24кг вращается с угловой скоростью ω0 = 10 рад/с вокруг вертикальной оси Z, отстоящей от центра масс С платформы на расстояние ОС = b.

В момент времени t0 =0 по желобу платформы начинает двигаться ( под действием внутренних сил) груз D массой m2 = 8 кг по закону s= AD = F(t), где s выражено в метрах, t- в секундах. Одновременно на платформы, начинает действовать пара сил с моментом М ( задан в ньютон- метрах; при М< 0 его направление противоположно показанному на рисунке).

Определить: для платформ, изображенных на рис. 0-4, зависимость ω = f (t), т.е. угловую скорость платформы как функцию времени. Форма жёлоба на рис. 0 – 4 – прямолинейная (желоб КЕ ). На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А ). Изображая чертёж решаемой задачи, провести ось Z на заданном расстоянии ОС = b от центра С.

Номер условия	m1, кг	m2, кг	b=R=OC, м	S, м	M	ω0, 1/с	Наити
0	24	8	1,2	0,6cos (2t) (с)	8	10	ω = f (t)

 

                                                          Рис Д 6.1

 

 

                                                               Решение

Для определения ω = f (t) применяем теорему об изменении кинетического момента Кz в проекции на ось Z.

=

= 8 ; т.к          – силы װ оси

                                 -  силы пересекают ось

1. Определяем кинематический момент системы при t0 = 0.

Kz0 = Kzпл + Kzг

а) платформы:

Kzпл = Jz0 *ω0 ;    где

                             Jz0 – момент инерции платформы относительно оси, проходит через точку 0.

 Jz0 = + O* m1 = + *24 = 51.8 кг

Kzпл = 51,8*10 = 518 кг /с

- кинетический  момент платформы при t0 = 0

 

Kz = 51,8* ω =51,8 ω – в произвольный момент времени

  б) груза:

Kzг = mz (m2*Vz) + mz (m2*Ve) – момент количества движения;       (g = mV)

                                            где: Vz – относительная скорость

Vz= = - 0.6sin (2t) *2 = -1.2sin (2t)

при   t=0;  sin0 = 0; →Vz =0

mz (m2*Vz) = 0 – момент от количества движения g = m2V2 относительно Z равен 0.

Ve = ω0*ОА

ОА = =1,9 м 
Ve = 10*1,9=19м/с

(m2*Ve)=g2 = 19*8 = 152 м/c

mz (m2*Ve) = 152*1,9= 288,9 кг /с

Kzг=0+288,9=288,9 кг /с

Kz0 = 518+288,9=806,8 кг /с

2. Определяем кинематический момент системы в произвольный момент времени

Kz = Kzпл + Kzг

Kzпл = Jz0 *ω

Kzпл = 51,8 ω

Kzг = mz (m2*V2) + mz (m2*Ve)

V2= = - 0.6sin (2t) *2 = -1.2sin (2t)

g1= m2*V2 = -1.2sin (2t)*8 = -9.6sin (2t)

h=0.6

mz (m2*V2) = 0.6* (-9.6sin (2t))= -5.76sin (2t) – момент количества движения от относительной скорости

Ve = ω*ОА

ОА = =1,9 м

Ve = 10*1,9=19м/с

(m2*Ve)=g2 = 19*8 = 152 м/c

mz (m2*Ve) = 152*1,9= 288,9 кг /с

Kzг=-5.76sin (2t) +288,9 кг /с

Kz =51,8 ω - 5.76sin (2t) +288,9

ω=

Ответ : ω=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача Д7.

Механическая система состоит из зубчатой или  ремённой передачи (колёс 1и 2 ) и груза 3. Схема этих систем представлены на рис. Д7.1. К колесу 1 приложен ведущий постоянный момент  М. Момент сил сопротивления ведомого колеса 2 равен Мс. Массы колёс, их радиусы и радиусы инерции заданы в табл. Колесо, для которого не задан радиус инерции считать сплошным однородным диском.

Приняв значение ускорения свободного падения равным g=10м/, определить угловое ускорение, указанное в столбце «найти». Определить также натяжения в нитях и окружное усилие в зубчатой передаче, (если она есть механизме).

Рисунок	m1,кг	m2, кг	R1, м	R2, м	r2,	p2, м
Д 7.1.	10	30	0,2	0,6	0,3	0,4

 

Номер условия	М, Н*м	Мс, Н*м	m3, кг	Найти
0	500	100	50

     

                                                            Рис 7.1

 

 

                               

 

 

 

                                                Решение .

Для определения углового ускорения  разобьём механическую систему на отдельные части.

Тело 1 совершает вращательное движение

Диф-ное уравнение вращательного движения.

 

J1x1 = ;               где: J1x1- момент инерции блока гтносительно оси Х1.

                                                   - угловое ускорение тела 1

                                                    - сумма моментов внешних сил.

J1x1 = = = 0,2 кг

= М- Т1*0,2

0,2 = 500-0,2 Т1

Тело 2 совершает вращательное движение.

                                                   

 J2x2 * = Т1 * R2 – T3*r3 - Mc

J2x2 = m2 = 30*4.8 кг

Выразим через

=     →      V1 = * R2

 

=    →      V1 = * R1

(*R2) = (*R1)      →        (*R2) = (*R1)

 

*0.5 = * 0.2

 
= = 0.4   →    = 0.4

4,8*0.4= Т1* 0,5 – 0,3 *Т3 – 100

1,92 = 0,5Т1 - 0,3 *Т3 – 100

Тело 3 совершает поступательное  движение.

m3Z3 = T3 – P3         P3 = М

Z3 = *r2 = 0.4 r2 = 0.4 *0.3 = 0.12

50 * 0.12 = T3 – 50

6 = T3 – 500

 

0,2 = 500-0,2 Т1

1,92 = 0,5Т1 - 0,3 *Т3 – 100

6 = T3 – 500

*30 
(6 = 15000-6T1) – (6 = T3 – 500) = 15000- 6T1 - T3 – 500 = 0

Т1= = 2583 - 0,17Т3

= = 0,17 Т3 – 83

1,92 (0,17 Т3 – 83) = 0,5 (2583 - 0,17Т3) - 0,3 *Т3 – 100

0,33 Т3 – 159 = 1292 – 0,085 Т3 - 0,3 *Т3 – 100

0,715 Т3 = 1351

Т3 = 1889

Т1 = =2268

= = 231 рад/

 

Ответ : = 231 рад/

 

 

 

 

 

 

Задача Д9

Вал АВ равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси. К валу в одной плоскости жёстко прикреплены два стержня: СЕ и DF. Стержень СЕ однородный, его масса равна m1, угол, образуемый стержнем с осью вращения, равен α. Другой стержень – DF образует угол β с вертикалью; весом его пренебречь.(Углы надо отчитывать от вертикали: положительные значения – против хода часовой стрелки, отрицательные – по ходу). На конце стержня укреплён точечный груз массой m2 . Численные значения геометрических параметров a, b,с (в метрах), углов α и β приведены в табл. Д9. В табл. Д 9а приведены величины  угловой скорости ω (в рад/с), длины стержней СЕ и DF (в метрах) и массы стержня СЕ (m1) и точечного груза (m2) в кг.