Момент силы, относительно центра

Федеральное Бюджетное Государственное  Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального Образования

«   Чувашский Государственный  Педагогический Университет   им.И.Я.Яковлева»

 

 

           Курсовая работа  

             по дисциплине: Теоретическая механика

             на тему: Момент силы, относительно центра

 

Регистрационный                                      Выполнил: Алексеев А.В.

№______________                                   

 

 

 

Дата сдачи:                                                  Отделение : очное

__________                                                  Проверил : Купташкин В.Я.

                                                                        

 

 

                                                    

                                                                  Чебоксары – 2013г.

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение

1. Проекция силы на  ось и на плоскость.

2. Геометрический способ  сложения сил.

3. Равновесие системы  сходящихся сил.

4. Момент силы относительно  центра или точки.

5. Теорема Вариньона о  моменте равнодействующей.

6. Пара сил. 

7. Момент пары.

8. Свойства пар.

9. Сложение пар.

10. Теорема о параллельном  переносе силы.

11. Приведение плоской  системы сил к данному центру.

12. Условия равновесия  произвольной плоской системы  сил.

13. Случай параллельных  сил.

14. Практическая часть.

15. список используемой литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Сила — это мера механического действия одного тела на другое Численно она определяется произведением массы тела на его ускорение, вызванное данной силой:

Измерение силы, так  же как и массы, основано на втором закон! Ньютона. Сила, приложенная к  данному телу, вызывает его ускорение Источником силы служит другое тело; следовательно, взаимодействуют два тела. Таким образом, имеется «действие» второго тела на первое и «противодействие» первого тела, приложенное ко второму; Поскольку действие и противодействие приложены к разным телам их нельзя складывать, заменять равнодействующей.

По третье закону Ньютона — «Действию всегда существует равное и противоположно направленное противодействие» — действия двух тел друг на друга всегда равны и противоположны по направлению. этот закон справедлив только для инерциальных систем отсчета. При применении неинерциальных систем отсчета помимо взаимодействия тел учитывают еще «фиктивные» силы инерции (см. гл. IV ).

Момент силы — это мера вращающего действия силы на тело; он определяется произведением модуля силы на ее плечо :

Момент силы считают  положительным, когда сила вызывает поворот тела против часовой стрелки, и отрицательным при повороте тела по часовой стрелке (со стороны  наблюдателя).

Момент силы —  величина векторная: сила проявляет  свое вращающее действие, когда она приложена на ее плече (рис. 8, а). Иначе! говоря, линия действия силы не должна проходить через ось вращения.   Если сила лежит не в плоскости, перпендикулярной к оси, находят составляющую силы, лежащую в этой плоскости (рис. 8, б); она и вызывает момент силы относительно оси. Остальные составляющие на него не влияют. Понятно, что сила, совпадающая с осью или параллельная ей, также не имеет плеча относительно оси, а следовательно, нет и ее момента.    

Тяга каждой мышцы  образует момент силы относительно оси  соответствующего сустава. Силы, извне  приложенные к телу во время движения, обычно не проходят через его центр  масс, так что возникают моменты  сил относительно ЦМ. Силу, не проходящую через точку (например, через ЦМ), в твердом теле можно привести к этой точке.

 

 

 

 

 

 

 

            

 

Проекция силы на ось и на плоскость.

Перейдем к рассмотрению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус - если в отрицательном. Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычислении проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой.

                                                                              Рисунок 1 

Обозначать проекцию силы на ось Ох будем символом . Тогда для сил, изображенных на рис. 1, получим:

,    .

Но из чертежа видно, что  , .

Следовательно,

, ,

т. е. проекция силы на ось  равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой; если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Рис.2    

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис.2). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Оху. По модулю , где — угол между направлением силы и ее проекции .

В некоторых случаях для  нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось.  Например, в случае, изображенном на рис. 13, найдем таким способом, что

 

Геометрический  способ сложения сил.

Решение многих задач механики связано с известной из векторной  алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным  вектором этой системы сил. Понятие  о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой  системы сил.

Геометрическая сумма (главный  вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил , , …, (рис. 14, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 14, б) вектор Oa, изображающий в выбранном масштабе cилу F₁, от точки a откладываем вектор , изображающий силу F₂, от точки b откладываем вектор bc, изображающий силу F₃ и т. д.; от конца m предпоследнего вектора откладываем вектор mn, изображающий силу F_n. Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор = , изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

   или  

От порядка, в котором  будут откладываться векторы  сил, модуль и направление  не зависят. Легко видеть, что проделанное построение представляет собою результат последовательного применения правила силового треугольника.

Рис.3 

 

Фигура,  построенная на рис. 3,б, называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким образом, геометрическая сумма или главный вектор нескольких сил изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (правило силового многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора - в сторону противоположную.

Равнодействующая  сходящихся сил. При изучении статики мы будем последовательно переходить от рассмотрения более простых систем сил к более сложным. Начнем с рассмотрения системы сходящихся сил. Сходящимися  называются  силы,  линии  действия которых пересекаются в одной точке (см. рис. 3, а). 

По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое  тело, эквивалентна системе сил, приложенных  в одной точке (на рис. 14, а в точке А).

Последовательно применяя аксиому  параллелограмма сил, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы , , …, сходятся в точке A (рис. 14, а), то сила, равная главному вектору , найденному построением силового многоугольника, и приложенная в точке А, будет равнодействующей этой системы сил. 

 

Равновесие  системы сходящихся сил.

Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода: 1) Условиям равновесия статики  удовлетворяют силы, действующие  как на покоящееся тело, так и  на тело, движущееся «по инерции». 2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил.

Для равновесия приложенной  к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1. Геометрическое условие  равновесия. Так как равнодействующая  сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.

2. Аналитические условия  равновесия. Аналитически равнодействующая  системы сходящихся сил определяется  формулой

.

Так как под корнем стоит  сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , , , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

   

Равенства выражают условия  равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы  сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил  на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие  на тело сходящиеся силы лежат в  одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два  условия равновесия

 

Равенства выражают также  необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Пример 1. На рис.15 показаны три силы. Проекции сил и на оси х, у, z очевидны:

         

Рис.4 

 

Рис. 2.4. 

А чтобы найти проекцию силы на ось х нужно использовать правило двойного проектирования.

Проектируем силу сначала  на плоскость хОу, в которой расположена ось (рис.15), получим вектор , величиной а затем его проектируем на ось х:

Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у: .

Проекция на ось z находится проще: .

Нетрудно убедиться, что проекции сил на ось V равны:

 

При определении этих проекций удобно воспользоваться рис.16, видом  сверху на расположение сил и осей.

Рис.5 

 

Вернёмся к системе  сходящихся сил (рис. 17). Проведём оси  координат с началом в точке  пересечения линий действия сил, в точке О.

Мы уже знаем, что равнодействующая сил  . Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проекции равнодействующей на оси x, y, z:

       

Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного параллелепипеда или

.   

Направление вектора  найдём с помощью направляющих косинусов (рис.17):

 

Рис.6 

 

Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоскости и привязанный к ней нитью АВ, действует сила F (рис.18). Определим реакции связей.

Рис.7