Момент силы, относительно центра

 

Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме, в определённом порядке.

Продемонстрируем ее на примере  решения этой задачи.

1. Надо выбрать (назначить)  объект равновесия – тело, равновесие  которого следует рассмотреть, чтобы найти неизвестные.

В этой задаче, конечно, объект равновесия – шар.

2. Построение расчётной схемы. Расчётная схема – это объект равновесия, изображённый отдельно, свободным телом, без связей, со всеми силами, действующими на него: реакциями и остальными силами.

Показываем реакцию нити и нормальную реакцию плоскости – (рис.18). Кроме них на шар действуют заданные силы и .

3. Надо установить какая  получилась система сил и составить соответствующие уравнения равновесия.

Здесь получилась система  сходящихся сил, расположенных в  плоскости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно):

  ,

 

4. Решаем систему уравнений  и находим неизвестные.

 

По условию задачи требовалось  найти давление шара на плоскость. А  мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что  эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз.

Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис.19). Определим усилия в стержнях.

Рис.8 

 

В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с грузом. Он нарисован отдельно с реакциями, усилиями в стержнях , , , и весом . Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем три уравнения равновесия:

 

 

 

Из первого уравнения  следует: S₂ = S₃. Тогда из третьего:

 а из второго: 

Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта  равновесия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень: на растяжение или на сжатие. 

 

Момент силы относительно центра (или точки).

Опыт показывает, что под  действием силы твердое тело может  наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или  иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом

Рассмотрим силу , приложенную в точке А твердого тела (рис. 20). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы , называется плечом силы относительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуля силы F и длины плеча h; 2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу F; 3) от направления поворота к этой плоскости.

Рис.9 

 

Ограничимся пока рассмотрением  систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и  в дополнительном задании не нуждается.

Тогда для количественного  измерения вращательного эффекта  можно ввести следующее понятие  о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Момент силы относительно центра О будем обозначать символом m₀(F). Следовательно,

В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус, - если по ходу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на рис.20,а, момент относительно центра О имеет знак плюс, а для силы, показанной на рис.20,б, - знак минус.

Отметим следующие свойства момента силы:

1) Момент силы не изменяется  при переносе точки приложения  силы вдоль ее линии действия.

2) Момент силы относительно  центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

3) Момент силы численно  выражается удвоенной площадью  треугольника ОАВ (рис. 20,б)

Этот результат следует  из того, что

 

 

Теорема Вариньона  о моменте равнодействующей.

Докажем следующую теорему  Вариньона: момент равнодействующей плоской  системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Рис.10 

 

Рассмотрим систему сил , , …, , сходящихся в точке А (рис.21). Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О.

Для доказательства теоремы  найдем соответствующие  выражения  моментов m₀( ), m₀( ), … . По формуле . Но, как видно из рисунка, , где F_1x - проекция силы на ось Ох; следовательно 

.              

Аналогично вычисляются  моменты всех других сил.

Обозначим равнодействующую сил  , , …, , через , где . Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим . Умножая обе части этого равенства на ОА, найдем:

или,

. 

 

Пара сил. Момент пары.

Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис.22). Очевидно, , и .

Рис.11 

 

Несмотря на то, что сумма  сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:

.

Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары.

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается  положительным (как на рис.22), если по часовой стрелке – отрицательным.

Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 23).

Нетрудно доказать, что  вектор момента пары – есть вектор этого векторного произведения (рис. 23). И заметим, что он равен вектору момента силы относительно точки А, точки приложения второй силы:

.

О точке приложения вектора  будет сказано ниже. Пока приложим его к точке А.

Рис.12 

 

Свойства пар

1) Проекция пары на  любую ось равна нулю. Это следует  из определения пары сил.

2) Найдём сумму моментов  сил  и составляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.24).

Рис.13 

 

Покажем радиусы-векторы точек А₁ и А₂ и вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О

.

Но  . Поэтому .

Но  , а .

Значит  .

Момент пары сил относительно любой точки равен моменту  этой пары.

Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары .

Поэтому можно сформулировать ещё два свойства.

3) Пару можно перемещать  в пределах тела по плоскости  действия и переносить в любую  другую параллельную плоскость.

4) Так как действие  на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил  на плечо, то у пары можно  изменять силы и плечо, но  так, чтобы момент пары остался  прежним. Например, при силах F₁=F₂=5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H×см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не изменится.

Все эти свойства можно  объединить и, как следствие, сделать  вывод, что пары с одинаковым вектором момента и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.

Исходя из этого, на расчётных  схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление  вращения, и рядом пишут величину момента m. Или, если это пространственная конструкция, показывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары – свободный вектор.

И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары на эту ось:

, 

где – угол между вектором и осью z. 

 

 

 

 

 

Сложение пар

Пусть даны две пары с  моментами m₁ и m₂, расположенные в пересекающихся плоскостях (рис.25).

Сделаем у пар плечи  одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны: , а образующих вторую пару: .

Эти пары показаны на рис.25, где  , . И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересечения плоскостей.

Рис.14 

 

Рис. 4.4. 

Сложив силы, приложенные  к точкам А и В, построением параллелограммов, получим их равнодействующие и . Так как , то эти силы и будут образовывать пару, момент которой , где – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ.

Так как  , то момент полученной пары

.

Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, получится пара сил. Момент её будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар.

При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоскостях, получим пару с моментом

.     

Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоскости перпендикулярной вектору .

Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие  на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие равновесия пар

.  

Если пары расположены  в одной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно определить как алгебраическую сумму моментов пар.

Рис.15 

 

Например, пары, показанные на рис.26, расположены в одной  плоскости и моменты их:

m₁=2 Hсм , m₂=5 Hсм, m₃=3 Hсм. Пары уравновешиваются, потому что алгебраическая сумма их моментов равна нулю:

. 

 

Теорема о параллельном переносе силы.

Равнодействующая системы  сходящихся сил непосредственно  находится с помощью аксиомы  параллелограмма сил. Для двух параллельных сил эта задача была решена путем  приведения их к сходящимся силам. Очевидно, что аналогичную задачу легко будет решить и для произвольной системы сил, если найти и для них метод приведения к силам, приложенным в одной точке.

Ранее мы установили, что  вектор силы можно переносить по линии  действия в любую точку тела.

Попробуем силу (рис. 27) перенести в какую-нибудь точку О, не расположенную на линии действия.

Рис.16 

 

Приложим к этой точке  две уравновешивающиеся силы и , параллельные силе и равные ей по величине:

В результате получим силу , приложенную к точке О. То есть мы как бы перенесли заданную силу из точки А в точку О, но при этом появилась пара, образованная силами и . Момент этой пары , равен моменту заданной силы относительно точки О.

Этот процесс замены силы равной ей силой и парой называется приведением силы к точке О.

Точка О называется точкой приведения; сила , приложенная к точке приведения, – приведённой силой. Появившаяся пара – присоединённой парой. 

 

Приведение плоской  системы сил к данному центру.

          Пусть на твердое тело действует  какая-нибудь система сил  , , …, , лежащих в одной плоскости. Возьмем в этой плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, перенесем все силы в центр О (рис. 28, а). В результате на тело будет действовать система сил приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны:  

 

Рис.17 

 

Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой , приложенной в том же центре; при этом или

Точно так же, по теореме  о сложении пар, все пары можно  заменить одной парой, лежащей в  той же плоскости. Момент этой пары или

Величина , равная геометрической сумме всех сил системы, называется, как известно, главным вектором системы; величину М_о, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О, будем называть главным моментом системы относительно центра О. В результате мы доказали следующую теорему: всякая плоская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М₀, равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 28, в).