Нахождение минимального коэффициента скоростной обратной связи

Содержание

 

Введение 3

1 Задание 4

2 Описание работы системы 7

3 Определение передаточных функций элементов системы 8

3.1 Сельсинная пара 8

3.2 Усилитель 8

3.3 Двигатель 9

3.4 Редуктор 10

4 Построение структурной схемы системы 12

5 Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы 13

5.1 Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика 13

5.2 Логарифмическая фазочастотная характеристика 16

6 Определение устойчивости и запаса устойчивости по амплитуде и фазе 18

7 Определение критического значения добротности с помощью критерия Гурвица 19

8 Введение скоростной обратной связи 21

9 Нахождение минимального коэффициента скоростной обратной связи 23

Заключение 26

Список использованных источников 27

 

 

 

Введение

 

Целью преподавания дисциплины является получение студентами знаний по вопросам:

– основные положения теории управления, модели и методы исследования линейных непрерывных и цифровых систем управления;

– использование основных положений теории управления, методов расчета динамических систем в технике и других областях применения систем управления техническими объектами и процессами;

Задачи изучения дисциплины:

– изучение основных положений  теории управления, методов анализа  и синтеза систем управления, принципов  построения и особенностей проектирования аналоговых и цифровых систем управления;

– овладение навыками анализа, синтеза и машинных методов исследования систем управления различных классов.

Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для  изучения данной дисциплины:

– информатика

– высшая математика

– теория автоматов

 

 

1 Задание

 

1. Описать работу системы.

2. Определить передаточные функции элементов системы.

3. Составить структурную схему системы.

4. Построить логарифмические характеристики разомкнутой системы.

5. Определить устойчивость и запас устойчивости по амплитуде и фазе.

6. С помощью критерия Гурвица определить критическое значение добротности системы без обратной связи.

7. Ввести скоростную обратную связь.

8. Найти минимальное значение коэффициента скоростной обратной связи, необходимого для устойчивости системы.

 

Исходная схема системы изображена на рисунке 1.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.1 – Исходная схема системы

 

 

Обозначения на рисунке 1.1: 

СП – сельсинная пара;

Р – редуктор;

Д – двигатель;

ОУ – объект управления;

У – усилитель;

КО – командная ось;

ИО – исполнительная ось;

α – угол поворота сельсин-датчика (это командное воздействие);

β – угол поворота двигателя;

γ – угол поворота редуктора  (это исполнительное воздействие);

U₁ – выходной сигнал СП;

U₂ – выходной сигнал У;

U_max – максимальное напряжение на выходе сельсин-трансформатора;

k_У – коэффициент усиления У;

T_У – постоянная времени У;

U_У – номинальное напряжение на обмотке управления двигателя;

N_XX – число оборотов в минуту при холостом ходе двигателя и при номинальном напряжении двигателя;

T_Д – постоянная времени Д;

i – передаточное число редуктора;

S_ТГ – крутизна выходной характеристики тахогенератора.

 

Исходные данные:

k_У = 1200;

T_У = 0,01 с;

T_Д = 0,048 с;

i = 1500;

U_max = 5 В;

U_У = 30 В;

N_XX = 10000 об./мин;

S_ТГ  = 0,001 В × с/рад.

 

2 Описание работы системы

 

Из схемы системы, приведённой  в задании видно (рисунок 1.1), что задающим устройством является командная ось, вращаемая сельсин-датчиком по произвольному закону α = α(t). Тот же самый закон угла поворота во времени α(t) = γ(t) должен быть автоматически воспроизведён на выходе системы, т.е. на объект управления и на исполнительную ось. Если углы поворота командной и исполнительной оси не равны, (α(t) ¹ γ(t)), то на выходе сельсинной пары возникает напряжение рассогласования U₁. Величина U₁ зависит от величины углов поворота командной и исполнительной осей. Напряжение U₁ поступает на вход усилителя, на выходе которого возникает напряжение U₂, поступающее на обмотку управления двигателя. В результате этого начинает вращаться ротор двигателя в сторону уменьшения ошибки рассогласования (θ = α – γ) до согласования двух осей. То есть поворот ротора двигателя через редуктор задаёт новый закон угла поворота исполнительной оси. Ротор двигателя будет вращаться до тех пор, пока ошибка рассогласования не будет сведена к нулю, после чего он остановится. Таким образом, система охвачена отрицательной обратной связью.

 

3 Определение передаточных функций  элементов системы

 

Для нахождения передаточных функций элементов системы, приведенной  в задании, определим сначала  их дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения составляем на основе принципа действия.

3.1 Сельсинная пара

 

Сельсинную пару можно  с достаточной для практики точностью  считать безынерционной. Поэтому её дифференциальное уравнение имеет вид:

где – ошибка рассогласования, равная разности углов поворота КО и ИО;

 – коэффициент передачи  СП.

Передаточная функция  СП имеет вид:

;

3.2 Усилитель

 

Усилитель – апериодическое звено первого порядка, поэтому  его дифференциальное уравнение имеет вид:

;

,

где – оператор дифференцирования.

;

Передаточная функция  усилителя имеет вид:

T_У = 0,01 с, .

3.3 Двигатель

 

Двигатель – интегрирующее  звено с замедлением, так как  в качестве выходной величины двигателя рассматривается угол поворота, а не угловая скорость. Угол поворота является интегралом от угловой скорости.

Данное звено описывается  следующим дифференциальным уравнением:

;

.

Передаточная функция  звена имеет вид

,

где – коэффициент передачи двигателя по скорости.

Определим по формуле

,

где – угловая скорость двигателя, определяемая по формуле

Тогда имеем

;

3.4 Редуктор

 

Редуктор – безынерционное звено, поэтому оно описывается  следующим дифференциальным уравнением:

,

где – коэффициент передачи редуктора.

Передаточная функция  редуктора:

 определим по следующей  формуле:

 

4 Построение структурной схемы  системы

 

При построении структурной  схемы системы, приведенной в  задании, воспользуемся передаточными функциями элементов, которые были получены в разделе 3. Полученная структурная схема системы изображена на рисунке 4.1.

 

 

 

 

 

 – элемент сравнения  для отрицательной обратной связи.

 

Рисунок 4.1 – Структурная схема системы

 

5 Построение логарифмических частотных  характеристик разомкнутой системы

 

Для построения логарифмических  частотных характеристик необходимо найти передаточную функцию всей системы. Так как данная система  состоит из включенных последовательно  звеньев, то передаточная функция разомкнутой  системы будет равна произведению передаточных функций отдельных  звеньев:

,                    (5.1)

где k – общий коэффициент усиления разомкнутой цепи:

Параметры имеют числовые значения, определенные условием задания:

5.1 Логарифмическая амплитудно-частотная  характеристика

 

Логарифмическая амплитудно-частотная  характеристика (ЛАЧХ) следящей системы  с передаточной функцией (5.1) имеет следующий вид:

Учитывая, что наибольшей постоянной времени соответствует  наименьшее значение частоты, определяем сопрягающие частоты, начиная с  меньшей:

,

,

Переходя к декадам, получаем:

;

.

Наносим сопрягающие частоты  на график (рисунок 5.1), находим точку: и наносим её на верхний график.

Учитывая, что  (где – число, указывающее на порядок астатизма системы), т. к. в знаменателе равенства (5.1) стоит p, проводим низкочастотную асимптоту с наклоном до точки, соответствующей

 

Рисунок 5.1 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы без обратной связи

 

, с таким расчётом, чтобы эта  асимптота пересекала ось ординат  в точке 42,9 дб.

Так как постоянная , определяющая частоту , стоит в знаменателе передаточной функции (5.1), то увеличиваем наклон следующего участка характеристики на (отклоняем характеристику вниз) и проводим его с наклоном до точки, соответствующей .

Постоянная времени  , определяющая частоту , стоит в знаменателе выражения (5.1), поэтому наклон следующего участка увеличиваем на и проводим её последний участок с наклоном

Полученная ЛАЧХ изображена на рисунке 5.1 (верхний график).

5.2 Логарифмическая фазочастотная  характеристика

 

Формула логарифмической  фазочастотной характеристики (ЛФЧХ) следящей системы с передаточной функцией (5.1) имеет следующий вид

.

Это выражение позволяет  построить  двумя способами:

– по точкам;

– как сумму ординат  ЛФЧХ двух апериодических звеньев с  постоянными времени  , и интегрирующего звена.

Построим ЛФЧХ по точкам.

Наносим сопрягающие частоты  , рассчитанные для ЛАЧХ, на график (рисунок 5.1). Далее строим ЛФЧХ по значениям, приведенным в таблице 5.1.

 

 

Таблица 5.1 – Значения ЛФЧХ

с–1	дек	град	рад		с–1	дек	град	рад
1	0	–93,3	–1,63		60	1,78	–191,8	–3,35
2	0,3	–96,6	–1,69		70	1,85	–198,4	–3,46
3	0,48	–99,9	–1,74		80	1,9	–204,1	–3,56
4	0,6	–103,2	–1,80		90	1,95	–209,0	–3,65
5	0,7	–106,4	–1,86		100	2	–213,2	–3,72
6	0,78	–109,5	–1,91		110	2,04	–217,0	–3,79
7	0,85	–112,6	–1,97		120	2,08	–220,3	–3,85
8	0,9	–115,6	–2,02		130	2,11	–223,3	–3,90
9	0,95	–118,5	–2,07		140	2,15	–226,0	–3,94
10	1	–121,4	–2,12		150	2,18	–228,4	–3,99
20	1,3	–145,1	–2,53		160	2,2	–230,6	–4,02
30	1,48	–161,9	–2,83		170	2,23	–232,5	–4,06
40	1,6	–174,3	–3,04		180	2,26	–234,3	–4,09
50	1,7	–183,9	–3,21		190	2,28	–236,0	–4,12
					200	2,3	–237,5	–4,15