Соударение тел. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО Уральский государственный  экономический университет

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

По курсу: Физика

на тему: Соударение тел. Удар абсолютно упругих и неупругих тел. 

 

 

 

 

Исполнитель: Н.П. Владимирович

Студент группы: УНу-12 Сб

 

Научный руководитель: С.А.Упоров

Дата сдачи: 01.06.2013

Оценка:________________________

 

 

 

 

 

Екатеринбург 2013

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

 

1 ПОДХОДЫ В ТЕОРИИ УДАРА……………………………………………..5

 

2 УПРУГОЕ СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ………………………………………………7

 

   2.1  ЦЕНТРАЛЬНОЕ УПРУГОЕ СТОЛКНОВЕНИЕ ТЕЛ………………….8

 

   2.2  НЕЦЕНТРАЛЬНОЕ УПРУГОЕ СТОЛКНОВЕНИЕ ТЕЛ……………..10

 

3  НЕУПРУГОЕ СОУДАРЕНИЕ  ТЕЛ………………………………………….16

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….22

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

         Столкновения движущихся тел присущи всем уровням Мироздания: от

микроскопического - до космического, поэтому ударные явления весьма многообразны.

         С явлением удара каждый человек знакомится с первых своих шагов, что свидетельствует о важности этого явления. На определенном уровне развития человечества появилась необходимость в изучении теории удара. У истоков научной теории ударов стояли Гютгенс, Валлис, Рене и другие.

        Правильный учет явления удара невозможен без задания физических свойств соударяемых тел. Этим объясняется многообразие теорий удара – от простейших, основанных на ньютоновском восстановлении и кулоновской теории, до более реалистических моделей динамической теории упругости. Выбор модели для решения конкретных задач связан с компромиссом между простотой и реалистичностью, достигнуть которого трудно.

       В задачах динамики важно исследование поведения системы в течение значительных промежутков времени, за которые может произойти большое число соударений. При этом безударное движение описывается дифференциальными уравнениями, а удар – разностными, что делает невозможным применять метод анализа. Традиционный метод «припасовывания» граничных условий может применяться при решении простых задач, но не позволяет получить результаты общего характера, описывающие качественные свойства движения в системах с односторонними связями.

      Движение материальных тел под действием тех или иных тел происходит в соответствии с законами Ньютона. Ударные силы характеризуются кратковременностью действия и значительной величиной. В результате координаты рассматриваемой механической системы за время удара не изменяются, а скорости получают конечные приращения.

      Под действием ударной силы  происходит лишь изменение скоростей без заметных перемещений. Если ударные импульсы заданы или каким-то образом определены, то расчет новых значений скорости производится чисто алгебраически.

      Существует два типа задач на явление удара: одни из них сводятся к определению приращения скоростей по заданным ударным импульсам, в других ударные импульсы подлежат определению в зависимости от заданных приращений скоростей. В обоих случаях решения описываются одними и теми же алгебраическими соотношениями.

     С механической точки зрения явление удара характеризуется тем, что скорости точек механической системы (количество движения системы) за весьма малый промежуток времени, в течение которого происходит соприкосновение тел, изменяются на конечную величину. Поскольку при этом ускорения тел оказываются очень большими, то и силы, возникающие при ударе, оказываются большими. Хотя эти силы действуют на соударяющиеся тела в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток являются конечными величинами.¹

     Силы, возникающие при ударе и действующие на соударяющиеся тела в течение времени соударения, называются ударными силами. Главной особенностью ударной силы является именно кратковременностью действия. За время действия  ударных сил действием обычных сил, как правило, можно пренебречь. Импульсы ударных сила за время  удара называются ударными импульсами . Ударные импульсы  зависят не только от масс и скоростей соударяющихся тел, но и от их упругих свойств. Поэтому полностью описать явление удара можно, лишь применяя теорию упругости. Однако задача теории удара в теоретической механике не облегчается тем, что здесь не исследуется характер деформации, а определяются изменения скоростей точек системы, обусловленное уже совершившимся ударом.

    В данной работе  изучены подходы в теории удара,  рассмотрены понятия ударов –  упругого и неупругого.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ПОДХОДЫ В ТЕОРИИ УДАРА

 

 

     С физической точки зрения ударные силы – отклик на деформации, возникающие вблизи площадки контакта и волнообразно распространяющиеся в данных телах. Математические модели отражают этот процесс с большей или меньшей полнотой. В классической теории удара деформации не учитываются и проблема сводится к определению интегральных характеристик ударных сил – их импульсов. В основе этой теории лежат законы механики и некоторые дополнительные гипотезы.

     Рассмотрим для примера простейшую задачу о прямом ударе двух шаров с

массами m₁ и m_2.

    На рисунке шары массой m₁ и m_2. до соударения имеют скорости v₁^- и v₂^- требуется найти их скорости после удара.

    

 

 

         Закон сохранения импульса выражается формулой:        

     m₁ v_1i    +   m₂ v_2i   =   m₁ v₁   +   m₂ v₂

где v_1i и v_2i ; v₁ и v₂  соответствуют до – и послеударным значениям скоростей. Этого единственного уравнения недостаточно для определения двух неизвестных v₁  и v_2.

      Чтобы построить единственное решение, можно принять одну из следующих гипотез: суммарная кинетическая энергия при ударе сохраняется (абсолютно упругий удар), шары после удара  не разделяются, т.е. v₁   =  v₂ (абсолютно неупругий удар). Можно выбрать более общую гипотезу Ньютона, согласно которой

     v₂ -    v₁     =   e ( v_1i    -    v_2i )

 

     Коэффициент восстановления e, как экспериментально установил Ньютон, зависит от материала шаров и лежит в  пределах от нуля до единицы.                     

     Волновая теория удара, восходящая к Б. Сен – Венану, наиболее полно описывает напряженное состояние соударяемых тел. В ее основе лежит довольно сложные уравнения математической физики, допускающие точное решение лишь в исключительных случаях. В общем случае использование волновой теории нецелесообразно, в частности, с ее помощью не удается решить рассмотренную задачу об ударе шаров.

     Компромиссом между этими двумя крайними подходами служат модели, частично учитывающие деформации. Идею таких методов предложил Даламбер, который мысленно помещал маленькую пружинку (деформируемый элемент) в точку ударного контакта. С математической точки зрения проблема удара сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, что не представляет принципиальных трудностей. В вышеприведенном примере идеальная пружинка не рассеивает энергию, поэтому удар будет абсолютно упругим.²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 УПРУГОЕ СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ

 

 

 

     При упругом соударении тел тела претерпевают упругую деформацию. При этом кинетическая энергия движущихся тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

      Взаимодействующие тела представляют собой замкнутую систему, если на них не действуют силы со стороны других тел. В замкнутых системах выполняются законы сохранения энергии и импульса. Зная движение тел до столкновения, и применяя законы сохранения, можно определить движение тел после столкновения. Но при этом мы ничего не узнаем о том, как происходит само столкновение. Для решения же ряда задач о столкновении микрочастиц, как правило, достаточно знать об их движении после взаимодействия. "Моделью" для задач подобного рода служит задача о столкновении шаров. Если шары катаются по гладкой горизонтальной поверхности, и если силой трения качения можно пренебречь, то систему из двух шаров можно считать замкнутой. Существует два предельных вида удара: абсолютно неупругий и абсолютно упругий.

       Столкновение (соударение) - это кратковременное взаимодействие, при котором тела непосредственно касаются друг друга. Анализ явлений, имеющий место при ударе упругих сплошных тел, довольно сложен, поэтому рассмотрим самый простой случай - центральное соударение двух однородных шаров. Соударение называется центральным, если векторы скорости шаров до удара направлены по прямой, проходящей через их центры.

       Абсолютно упругие и неупругие столкновения - это идеальные случаи. На практике они могут быть реализованы лишь с определенной степенью приближения.

     В произвольном случае соударения шаров справедливы законы сохранения импульса и энергии.

     Абсолютно упругим называется такой удар, после которого во взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и суммарная кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, равна кинетической энергии тел после удара.

    Чтобы удар был абсолютно упругим, взаимодействующие тела должны обладать определенными свойствами. А именно, силы, возникающие при ударе, должны зависеть от величины деформации и не зависеть от ее скорости. Наиболее близкими к этим свойствами обладают хорошие сорта стали, слоновая кость.

     Соударение таких тел происходит следующим образом. При ударе возникают деформации соударяющихся тел, а значит и силы, сообщающие ускорения обоим телам, в противоположных направлениях. В какой-то момент времени скорости шаров становятся равными, деформации достигают максимального значения, силы продолжают действовать, изменяя скорости в тех же направлениях, что и раньше.

    Поэтому шары будут "отодвигаться" друг от друга, а деформации уменьшаться, пока совсем не исчезнут. К этому моменту времени упругие силы, возникающие в телах, совершат такую же работу, какая была затрачена на деформацию. В результате вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, снова перейдет в кинетическую энергию тела после удара. Для определения скорости тел после упругого взаимодействия рассмотрим удар двух шаров (материальных точек), образующих замкнутую систему.³

 

 

 

2.1 Центральное упругое столкновение тел

 

    

    Имеются два сферических объекта (шарика) с массами m₁ и m₂. Предположим, что эти шарики движутся без вращения по одной оси и испытывают центральное упругое соударение. В этом случае закон сохранения импульса запишется в виде:

     m₁v_1i + m₂v_2i = m₁v₁ + m₂v₂

где v_1i и v_2i - начальные скорости каждого объекта, а v₁ и v₂ – их конечные скорости. Закон сохранения энергии записывается в виде:

     m₁v_1i² / 2 + m₂v_2i² / 2 = m₁v₁² / 2 + m₂v₂² / 2

    Векторы скоростей шаров после упругого удара будут лежать на линии центров шаров, потому что силы взаимодействия во время удара вследствие симметрии будут направлены по этой же прямой.

   Закон сохранения импульса может быть преобразован следующим образом:

     m₁ (v_1i - v₁) = m₂ (v₂ - v_2i)

   Также преобразуем выражение для закона сохранения энергии

     m₁ (v_1i² - v₁²) = m₂ (v₂² - v_2i²)

    Если разница между начальной и конечной скоростями не равна нулю (то есть столкновение действительно произошло), мы можем разделить второе из двух последних уравнений на первое, что дает:

     v_1i + v₁ = v₂ + v_2i

                                       или                                      

     v_1i - v_2i = v₂ - v₁

    Другими словами, в одномерном случае упругих столкновений относительная скорость движения объектов после столкновения равняется относительной скорости движения до столкновения.

    Чтобы получить конечные скорости движения объектов через их начальные скорости и массы, нужно выразить v₂ из последнего уравнения и подставить его в уравнение для закона сохранения импульса. Окончательно получаем: