Соударение тел. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

m₁ и m₂, скорости до удара V_1i и V_2i. Согласно закону сохранения суммарный импульс шаров до удара должен быть таким же, как после удара:

     m₁  V_1i    +    m₂  V_2i    =   (m₁   +   m₂) U

где U - скорость после удара, одинаковая для обоих шаров. Из уравнения следует, что:

     U  = ( m₁  V_1i    +    m₂  V_2i )  / (m₁   +   m₂)

    Закон сохранения энергии для неупругого удара рассматриваемых шаров имеет следующий вид:

     m₁ V_1i² / 2  +    m₂ V_2i² / 2    =   (m₁  +   m₂ ) U²  +  W

где W - изменение внутренней энергии системы.

Кинетическая энергия  тел до удара имеет следующую  величину:

     W₁  = m₁ V_1i² / 2  +    m₂ V_2i² / 2

А  кинетическая энергия  после удара:

     W₂ = (m₁  +   m₂ ) U²/2 = ( m₁  V_1i    +    m₂  V_2i )² /2 (m₁   +   m₂)

    Потери механической энергии, или часть энергии, которая перешла в тепловую форму составляет:

     W = W₁ - W₂ = m₁ m₂ (V_1i – V_2i)² / 2 (m₁  +   m₂ )

     Величина V_1i – V_2i представляет относительную скорость движения тел до удара. Поэтому энергия, перешедшая в тепло, зависит от соотношения масс соударяющихся тел m₁ m₂ /(m₁  +   m₂) и относительной скорости движения их до удара.

      Энергию потерь можно рассматривать как кинетическую энергию некоторой эффективной массы:

     m₀ = m₁ m₂ / (m₁  +   m₂)

движущихся с относительной скоростью V'_i  =V_1i – V_2i.

    Для конкретных расчетов скорости нужно спроектировать соотношение импульсов на выбранные направления. Если до удара скорости шаров направлены вдоль прямой, проходящей через их центры, удар называют центральным. Скорость шаров после такого удара будет направлена по той же прямой. Поэтому уравнение сохранения импульсов можно рассматривать как скалярное. Но скорости при этом надо считать совпадающими по знаку, когда они направлены в одну сторону и противоположными по знаку, когда они направлены в противоположные стороны.⁶

     Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Шары движутся в одном  направлении. Удар возможен, если  скорости V₁

_i и V_2i различны. Например, V_2i   >  V_1i, т.е. второй шар догоняет первый. После удара шары будут двигаться в ту же сторону со скоростью большей, чем скорость первого шара и меньшей, чем скорость второго. Если при этом массы шаров одинаковы, то

                   U =(V_1i + V_2i) / 2                  

2. Шары движутся навстречу  друг другу. После удара шары  будут двигаться

вместе в ту сторону, в  которую двигался шар, обладающий большим  импульсом.

      Если импульсы обоих шаров равны по величине, то после удара оба шара

остановятся.

3. В случае нецентрального  удара (рис.3.6.2а) скорости V_1i и V_2i можно разложить на составляющие V_1X и V_2X в направлении линии, соединяющей центры шаров (ось Х), и состaвляющие V_1Y и V_2Y в перпендикулярном направлении (ось У). Для составляющих V_1X , V_2X и V_1Y ,V_2Y записать закон сохранения импульса в том же виде, как и при центральном ударе и определить составляющую результирующей скорости.

       Рассмотрим неупругий удар более подробно. При неупругом ударе часть кинетической энергии налетающего шара теряется с выделением тепла. В предельном случае абсолютно неупругого удара налетающее тело слепляется с покоящимся телом, кинетическая энергия их относительного движения обращается в ноль и они продолжают движение, как единое тело. В большинстве практических случаев мы имеем дело с частично упругим ударом, когда в теле после столкновения возбуждаются деформационные колебания, затухающие со временем. Возбуждение таких колебаний можно смоделировать при помощи двух одинаковых шариков, соединённых пружиной. Предположим, что абсолютно упругий шар сталкивается с пружинным осциллятором. Массы шаров одинаковы и равны m. Так как в момент удара пружина ещё не действует, налетающий шар останавливается, а левый шар осциллятора приводится в движение со скоростью налетающего шара v. При этом центр масс осциллятора движется со скоростью v/2. Со временем колебания осциллятора затухнут и он будет продолжать поступательное движение со скоростью v/2, а суммарная энергия всей системы составит лишь половину от энергии налетающего шара. Другая половина выделится в виде тепла в осцилляторе.

     Удар обычных неупругих тел соответствует промежуточному случаю между идеально упругим и полностью неупругим ударами. Ему аналогичен удар двух шаров через неупругую пружину, которая сжимаясь за первую половину времени удара до некоторой величины, не примет своих первоначальных размеров после удара; или расталкивающая сила во время сжатия будет больше, чем во вторую половину времени удара при расширении пружины. Часть потенциальной энергии сжатия пружины перейдет в тепло и не будет обращена в кинетическую энергию движения. Следовательно, закон сохранения механической энергии в этом случае нельзя применять. Условие равенства скоростей после удара также не будет иметь места, как это было при полностью неупругом ударе, так как после удара оба тела движутся с различными скоростями.

      Неупругий удар можно характеризовать той долей энергии деформации, которая обращается в тепло за время удара. Но еще Ньютоном было найдено, что при неупругом ударе шаров из определенного материала величины относительных скоростей до и после удара находятся в постоянном отношении, и такой удар характеризуется коэффициентом восстановления относительной скорости после удара:

     е  =  |V₂ – V₁| / |V_2i – V_1i|

где V_2i – V_1i – относительная скорость до удара, а V₂ – V₁ – после удара. Опыт показывает, что с некоторой степенью точности можно считать величину е постоянной и зависящей только от материала соударяющихся шаров.

При идеально упругом ударе  относительная скорость остается той же самой по величине, но меняет свой знак:

  V_1i – V_2i  =  - (V₁ – V₂) 

    Коэффициент восстановления всегда меньше единицы, ибо при упругом ударе он равен единице, при полностью неупругом ударе равен нулю, так как в этом случае

                    V₂ – V₁  = 0                   

    Зная коэффициент е, можно подсчитать скорости движения шаров после удара и потери энергии.

 

    Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью   попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика  с застрявшей в нем пулей через   Тогда по закону сохранения импульса 

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии: 

Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы: 

Эта формула применима  не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При m << M   почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M   – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение 

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии: 

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует: 

Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.⁷

Рисунок 1  Баллистический маятник

       Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

       Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

      При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

      Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 2).

      Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

Рисунок 2 Абсолютно упругий центральный удар шаров

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии 

Здесь υ₁ – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ₂ = 0, u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде: 

m1υ1 = m1u1 + m2u2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

        Основы  теории удара излагаются в  большинстве учебных курсов по  теоретической механике. Это объясняется  большой практической значимостью  этого явления. Однако, несмотря  на это, до сих пор не существует  универсального подхода к вычислению  импульсной реакции при соударении  тел. На практике продолжительность  удара составляет 10^-3 – 10^-12 с, а силы взаимодействия в точках контакта достигают весьма больших значений. В силу этого удар может привести к значительной деформации или даже к разрушению тел, появлению ударных волн и звуковых колебаний, нагреванию тел и т.д.

       В динамике изучают влияние соударений на движение механических систем. Эта задача привлекала внимание многих известных ученых, включая Х. Гюйгенса, И.Ньютона, Ж. Даламбера, С. Пуансона, Г. Дарбу, Э. Дж. Рауса, А.М. Ляпунова, Н.Е.Жуковского, С.П. Тимошенко и многих других. Специфика ударов состоит в их интенсивности и скоротечности. Данное свойство может оказаться и полезным, как при забивке свай, добыче руды или игре в мяч, и опасным, как при транспортных происшествиях. Следовательно, проблема удара важна не только для теоретиков, но и для конструкторов, автолюбителей, спортсменов и др.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

 

 

1. Д.В.Сивухин, "Общий курс физики. Механика", Наука, 1979. – 312 с.

2. О.Д.Шебалин, "Физические  основы механики и акустики", Высш. школа, 1981. – 269 с.

3. С.П.Стрелков, "Механика", Наука, 1975. – 215 с.

4.  К.Шварц, Т.Гольдфарб, "Поиски закономерностей в  физическом мире", пер. с англ., Москва, Мир, 1977. – 127 с.

5. А.И. Иванов, "Закономерности удара в механических системах", Природа,

1999, №10. – 38 с.

6. Аппель П. Теоретическая механика. Т 2. – М.: Физматиз, 1960. – 487 с.

7. Даламбер Ж. Динамика – М., Л.: Гостехиздат, 1950. – 343 с.

¹ Д.В.Сивухин, "Общий курс физики. Механика", Наука, 1979. – 312 с.

² О.Д.Шебалин, "Физические основы механики и акустики", Высш. школа, 1981. – 269 с.

³ С.П.Стрелков, "Механика", Наука, 1975. – 215 с.

⁴ К.Шварц, Т.Гольдфарб, "Поиски закономерностей в физическом мире", пер. с англ., Москва, Мир, 1977. – 127 с.

⁵ А.И. Иванов, "Закономерности удара в механических системах", Природа, 1999, №10. – 38 с.

⁶ Аппель П. Теоретическая механика. Т 2. – М.: Физматиз, 1960. – 487 с.

⁷ Даламбер Ж. Динамика – М., Л.: Гостехиздат, 1950. – 343 с.