Соударение тел. Удар абсолютно упругих и неупругих тел

     v₁ = v_1i (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂) + v_2i (2 m₂) / (m₁ + m₂)

    Таким же способом находим выражение для v₂

     v₂ = v_1i (2 m₁) / (m₁ + m₂) + v_2i (m₂ - m₁) / (m₂ + m₁)

     Далее предположим, что сталкиваются объекты с одинаковой массой, т.е. m₁= m₂ = m. В этом случае:

     v₁ = v_1i (m - m) / (m + m) + v_2i (2 m) / (m + m)

     v₂ = v_1i (2 m) / (m + m) + v_2i (m - m) / (m + m)

Окончательно получаем, что

     v₁ = v_2i и v₂ = v_1i

    Это означает, что в случае центрального упругого соударения объектов с

равными массами, они будут  просто обмениваться скоростями. Если один из

объектов до столкновения покоился, то после столкновения он остановится, а

второй объект начнёт движение. При этом скорость движения второго объекта будет равна скорости первого объекта до столкновения.

   В общем случае центрального и абсолютно упругого столкновения объектов с разными массами, один из которых до столкновения покоился (v_2i =0), можно записать следующие выражения для скоростей после удара:

     v₁ = v_1i (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)

     v₂ = v_1i (2 m₁) / (m₁ + m₂)

    Если масса налетающего шара m₁ больше массы покоящегося шара m₂ , то v₁ и v₂  будут положительными и оба шара после столкновения будут двигаться в одном направлении, совпадающем с направлением начального движения налетающего шара.

   Если же масса налетающего шара m₁ меньше массы покоящегося шара m₂ , то v₁ будет отрицательной, а v₂ - положительной, и шары после столкновения будут разлетаться в противоположных направлениях. При этом, т.к. 2 m₁ 

>  m₁  -  m₂ , то маленький шарик отразиться с большей скоростью.

     Такова картина удара двух любых тел, если начальная скорость направлена вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел, и если силы взаимодействия направлены вдоль этой же линии центров. В противном случае удар будет представлять сложное явление.

     При нецентральном ударе шаров картина соударения будет иная.⁴

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Нецентральное упругое столкновение тел

 

            

      Здесь во время удара имеет место как приближение центров шаров друг к другу вследствие их деформации, так и скольжение поверхности одного шара по поверхности другого. Очевидно, что вследствие скольжения поверхностей

возникнут силы трения, которые  вместе с упругими силами взаимодействия

определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения

вызовут вращение шаров относительно их центров масс.

    Для того чтобы представить механизм удара, разложим векторы скоростей обоих шаров до удара на направление линии центров шаров и на направление, перпендикулярное к этой линии.

 

     V_1ц

    

 

                                        

V_1i                                                                                                             

F'_Т

               V_1п

     F'_y                                                          F_y

    

 

     V_2i                    v_2п

     F_T

    

 

     V_2ц

     Вследствие "скольжения" поверхности шаров возникнут силы трения F'_T

и F_T , которые вместе с упругими силами взаимодействия F'_y  и F_y  определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров вокруг центра. Только в том случае, когда силы трения F_T  очень малы по сравнению с упругими силами F_y, т.е. F_T    <<   F_y, можно пренебречь действием сил трения.

    В этом случае задача о нецентральном столкновении шаров решается достаточно просто. Действительно, соединяя центры масс сталкивающихся шаров прямой и разложив скорость каждого шара на нормальную составляющую, направленную вдоль линии центров, и тангенциальную составляющую, перпендикулярную к ней. Так как согласно нашему предположению силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные же составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии таким же путем, как и при центральном ударе.

Запишем уравнения:

     m₁ v_1ц    +    m₂ v_2ц    =    m_1ц v' _1ц + m₂  v'_2ц

     m₁ ( v²_1п   +   v²_1ц )   +   m₂ (v²_2п   +   v²_2ц)   =   m₁ ( v'²_1п   +   v²_1ц )   +   m₂ (v'²_2п   +   v²_2ц )

здесь неизвестны только две  величины: v'_1ц  и v'_2ц.

     Общие закономерности нецентрального удара шаров в этом случае можно найти следующим путем. Предположим, что до удара шар 2 покоится, а шар 1 движется.

    Сила взаимодействия в момент удара проходит через центры шаров (нет трения), и ее направление зависит от "прицельного" расстояния δ, равного

расстоянию центра покоящегося  шара от линии полета центра другого шара (до удара). Плоскость чертежа совпадает с плоскостью, проходящей через центры шаров и вектор скорости шара 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                        F

    

                                                                                   2

                                                                       r2

    

 

     δ

                                                                           r1

    

 

 

     Р

                                                                        1

    

 

                                                               F'

    Удар произойдет при условии δ  < r1   +   r2,  где r1 

и  r2 – радиусы шаров. Угол θ зависит от δ и r1   +   r2. Составляющая количества движения шара 1 (ударяющего), нормальная к F (сила взаимодействия), остается неизменной.

    Составляющие количеств движения шаров по направлению силы F изменяются в соответствии с законами центрального удара.

    По закону постоянства количества движения:

                P   =   P₁   +    P₂               

где P – количество движения шара 1 до удара, P₁ и

P₂ – количества движения шаров 1 и 2 после удара соответственно.

    

                                                  P₂

     P₁

                                                                    θ

    

                                                                        P

Закон сохранения энергии  можно записать так:

     P²/m₁  =  P²₁/m₁  +  P²₂/m₂

Так как P  =  m v     и     mv²  =  P² / m  для любого тела.

Вектор P₂ составляет угол θ с вектором P , покоившийся шар отскочит под углом θ к начальной скорости первого шара, тогда из треугольника векторов следует:

     P²₁   =   P²₂   +   P²   -   2 P P₂  cos θ

Учитывая постоянство  энергии, исключаем P₁ и получаем

     P₂   =  2  m₂   P  cos θ  /  (m₁  +  m₂)  = β P cos θ

      β  =  2 m₂ / (m₁  +  m₂)     

Отсюда видно, что общее  соотношение между Р₂ и Р зависит от угла θ и соотношения масс m₁/m₂

Следует различать два  случая: m₁  >  m₂ и m₁  <  m₂. В первом случае β < 1, тяжелый шар ударяет легкий. Конец вектора Р₂ описывает окружность

диаметром βР. Оба шара после удара летят в сторону начального движения первого шара. Величина угла θ изменяется от 0 до π/2. Угол отклонения первого шара может изменяться от 0 до некоторого φ_макс.. Одному значению φ соответствуют два значения θ.

                                                                                                  

β < 1

     Р₂

                                                            Р₁

                     А

                                                          В             Р

     φ

     βР

    

 

    Точка В представляет центральный удар, оба шара летят после удара по одному направлению. Точка А  представляет промах (шары не задели друг друга).

    Во втором случае, при m₁  <  m₂, легкий шар ударяет тяжелый. Здесь β > 1 и шар 1 после удара может лететь назад. Угол отклонения налетающего шара φ изменяется от 0 до π.

    

 

                                                   

А                                                     В

                                                                  βР

    

 

Точка В представляет центральный удар. Каждому значению φ соответствует только одно значение θ.

При одинаковых массах шаров m₁  =  m₂ картина возможных количеств движения показана на рисунке.

    

 

                                            Р₂

    

 

                                             

А                                            В

                                                                   φ

Угол φ изменяется от 0 до π/2. При центральном ударе шар 1 останавливается, а шар 2 с той же скоростью движется далее (точка В).

Угол разлета шаров θ + φ всегда равен π/2. Угол θ нетрудно связать с прицельным расстоянием δ и показать, что

         (r₁  +  r₂)sin θ   =  δ        

Зная δ, диаметры шаров и их массы, найдем θ и β, по данным Р определим Р₂ и Р₁, которые в свою очередь определяют скорости и направления шаров после удара.⁵

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. НЕУПРУГОЕ СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ

 

 

       Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми. Чтобы это стало возможным, соударяющиеся тела должны обладать такими свойствами, что силы, возникающие при их деформации, зависят не от величины деформации, а от скорости изменения деформации. Такие свойства присущи, например, мягкой глине, пластилину. При неупругом соударении происходит следующее. В начальный момент удара скорость деформации велика (шары сжимаются), поэтому возникают значительные силы, сообщающие обоим шарам ускорения, направленные в противоположные стороны. По мере развития удара, скорости деформации шаров уменьшаются, а сами деформации увеличиваются до тех пор, пока скорости шаров не окажутся равными. В этот момент деформации шаров перестанут изменяться, исчезнут силы, и оба шара будут двигаться с одинаковой скоростью. При абсолютно неупругом ударе выполняются законы сохранения импульса и полной энергии. Механическая же энергия тел до удара больше механической энергии после удара, так как она частично (или полностью) переходит во внутреннюю энергию тел и расходуется на работу по деформации тел. Для определения скорости тел после взаимодействия рассмотрим удар двух шаров (материальных точек), образующих замкнутую систему. Массы шаров