Теории упругости

Теория упругости (т.у.) – это  один из основных разделов механики деформируемого твёрдого тела, где изучается напряжённо-деформированное  состояние тел при силовых  и температурных воздействиях. Разрабатывает  методы, используемые при расчётах прочности и проектировании инженерных сооружений. Использует более тонкие методы, нежели сопромат, позволяющие решать значительно более сложные задачи.

Напоминание из сопротивления материалов:

него часть так же находится  в равновесии.

Просуммировав действующие в месте  отсечения напряжения, получим внутреннюю силу. В сопротивлении материалов они назывались:

 N – продольная сила (кН);

 Q_… - поперечная (перерезывающая) сила (кН);

 М_… - изгибающий момент (кН * м);

 М_кр – крутящий момент (кН * м).

Выделим бесконечно малый элемент  из тела, принадлежащий поперечному  сечению. Увидим, что на его поверхности  действует полное напряжение Р, которое  можно разложить на нормальную и  касательную составляющие.

Правило знаков формируется, как правило, только для нормальных напряжений:

σ > 0, если оно соответствует большей  линии размеров. Деформации тела характеризуются  величинами, определяющими изменение  его линейных размеров – линейной деформации; и угловых размеров (угловой деформации) – угол сдвига.

 

 

 

 

 

 

Абсолютная деформация обозначается ΔL (см)

Относительная деформация обозначается: (безразмерная)

Изменение угловых размеров характеризует  деформацию сдвига. Обозначается γ (безразмерная), причём γ > 0, если уменьшается прямой угол.

 

 

 

Между напряжениями и деформациями существует связь, определяемая законом  Гука.

При растяжении	При сдвиге
Это прямая форма закона Гука. Обратная форма имеет вид:

Здесь Е и G – физические постоянные, характеризующие данный материал:

Е – модуль продольной упругости  ≡ модуль упругости 1 – го рода ≡  модуль Юнга.

G – модуль сдвига ≡ модуль упругости 2 – го рода.

Между ними существует связь:

                                                                

где ν – коэффициент Пуассона.

Для стали: Е = 2*10⁴ кН/см² (=…МПа)

                   G = 8*10³ кН/см² (=…МПа)

                    ν = 0.25

Диаграмма деформированного материала:

Подразделяется на первичную (в  осях Р – Δl – снята с испытательной машины); условную (в осях σ – ε – обработанную первичную) и истинную (в осях σ_ист – ε учитывающую изменение размеров при деформации)

Условная диаграмма деформированного пластичного материала:

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория упругости и пластичности оперирует с идеализированными  диаграммами деформированного материала:

                                                  

                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Диаграмма идеально-упругого материала;

б) Диаграмма идеально-пластичного  материала;

в) Диаграмма идеально-упруго-пластичного  материала;

г) Диаграмма идеально-упруго-пластичного материала с линейным упрочнением.

 

Предпосылки, принятые в теории упругости.

1. Материал считается идеально-упругим, если после снятия нагрузок все деформации исчезают, и тело возвращается к своему первоначальному состоянию.
2. Материал считается сплошным, если тело целиком заполняет занимаемый им объём без пустот и разрывов – перемещения и деформации являются непрерывными функциями координат.
3. Предполагается отсутствие предварительных напряжений в материале: до приложения внешних сил напряжения в теле отсутствуют.
4. Предполагается линейная зависимость между напряжениями и деформациями: справедлив закон Гука.
5. Материал считается однородным, если механические свойства в двух любых точках идентичны – при одинаковых напряжениях точки тела деформируются одинаково.
6. Материал считается изотропным, если механические свойства не зависят от направления.
7. Перемещения, деформации, углы сдвига считаются малыми, если перемещения малы по сравнению с линейными размерами тела, а деформации много меньше 1.

При этом предполагается выполнение принципа независимости действии сил:

Результат действия нескольких сил равен сумме результатов  действия от каждой силы в отдельности  и не зависит от порядка их приложения.

Считается справедливым принцип Сен-Венана:

Результат действия системы  сил на некотором расстоянии от точки их приложения не зависит от способа приложения, а определяется лишь равнодействующей (местные напряжения, возникающие на малой части тела, быстро убывают по мере удаления от места их приложения).

 

 

 

 

Дифференциальное  уравнение равновесия.

 

Ранее отмечалось, что если тело находится  в равновесии, то и любая его  часть также будет находиться в равновесии.

Вырежем из объёма тела бесконечно малый  элемент (параллелепипед)

 

 

 

 

 

 

По боковым  поверхностям действуют составляющие напряжений: нормальных и касательных, а «внутри» элемента – составляющая массовых сил, то есть сил, приложенных в каждой точке тела.

 

 

X, Y, Z – проекции массовых сил, приложенных к телу на оси координат их единицы измерения

 

 

 

 

 

Рассмотрим  элемент в упрощённой постановке:

 

 

 

 

 

 

 

Обозначения:   d – дифференциал

                         - полная производная (если функция зависит от одной переменной)

                         - частная производная (если функция зависит от нескольких переменных, а

                                   произведение берётся по одной  из них).

Вычислим равнодействующие силы, с  целью составления уравнения  равновесия.

Напряжение – умножение силы на площадь действия

Объёмные силы – умножение силы на объём, по которому она распределена

Проекция на ось Х:

Раскрывая скобки получим:

      

Так как dV – величина малая, но не равная нулю, то, сокращая на неё, получаем для данного случая дифференциальное уравнение равновесия:

               

Рассмотрим более общий случай, когда все напряжения действуют на выделенный бесконечно малый элемент:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t_…,… - для обозначения касательных напряжений используется 2 индекса: первый из которых указывает, какой оси они параллельны, а второй – какой оси параллельна нормаль площадки действия.

Нормальные напряжения обозначаются одним индексом, который указывает какой оси оно параллельно.

При составлении уравнения равновесия – а их всего 6:

 

следует учитывать размеры элемента: dx, dy, dz, а так же действующие массовые силы, имеющие проекции на оси координат X, Y, Z.

Составим первое уравнение Sx = 0:

Приводя подобные:

                                        

 

Учитывая, что объём элемента мал: dV = dx*dy*dz, но не равен нулю, и, сокращая на эту величину, из уравнения Sx = 0 получаем:

    

Расписывая оставшиеся 2 уравнения  проекций, получаем группу статических  уравнений (уравнений равновесия) вида:

                              (1)

1. – это уравнения Навье º уравнения равновесия.

Здесь X, Y, Z – проекция массовых сил на оси координат.

Закон парности касательных напряжений.

Рассмотрим оставшуюся группу уравнений  равновесия SМ_х = 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например: t_zx Þ

Составим:

 

Пренебрегая величинами 3-его и 4-ого  порядка малости, получаем:

- закон парности.

Расписывая оставшиеся 2 уравнения  моментов, получаем соотношения:

, выражающие закон парности касательных напряжений:

• касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны между собой по величине и противоположнонаправлены.

Итак, напряжённое состояние в  точке тела характеризуется 9 компонентами напряжений:

s_x…,t_xy, t_yx,………, 3 из которых попарно равны, то есть шестью неравными.

В дифференциальное уравнение (1) входит 6 неизвестных, уравнений всего 3, то есть задача для бесконечно малого элемента является 3 раза статически-неопределимой.

Пример: Проверить выполнение дифференциального уравнения равновесия, если:

Из трёх д.у. равновесия:

   при отсутствии массовых  сил (Y=0), элемент, в котором действуют указанные напряжения, находится в равновесии.

 

Тензор напряжений и его разложение.

Матрица, составленная из компонентов  напряжений, образует тензор:

он является симметричным относительно главной диагонали и его можно  разложить на составляющие:

 

где Т_s^шар – шаровая составляющая тензора напряжений, ответственная за изменение объёма

                   тела.

       Т_s^дев – девиаторная составляющая тензора напряжений, ответственная за изменение формы

                  тела.

       Е – единичная  матрица 3-его порядка.

- средние напряжения (гидростатические)

Пример: Разложить на составляющие при одноосном нагружённом состоянии.

 

                          , тогда

                         

 

 

Напряжение в наклонных  площадках.

 

Для исследования напряжённого состояния  точки в теле необходимо знать  напряжения на любых площадках, наклоненных  к координатным осям.

Рассмотрим бесконечно малый тетраэдр, боковая поверхность которого имеет нормаль (перпендикуляр) – вектор единичной длины n с направляющими косинусами  l,m,n.

l = cos (n,x), m = cos (n,y), n = cos (n,z)

  

 

 

 

Напомним, что размеры рёбер  dx, dy, dz, объём – dV/2 и действуют объёмные силы X, Y, Z.

На рисунке X_n, Y_n, и Z_n - проекции на оси координат полного напряжения, действующего в указанной площадке.

Составим уравнение проекции на оси координат.

Пример:

 

Пренебрегая величиной более высокого порядка малости и сокращая на получаем:

В итоге получаем систему уравнений:

- условие на поверхности

 где X_n, Y_n, и Z_n - проекции поверхностной силы или полного напряжения на оси координат в площадке с нормалью n, имеющей направляющие косинусы l, m, n. Эти соотношения связаны между собой:

1. Напряжения, действующие на боковых поверхностях и любой наклонной поверхности.
2. Если наклонная поверхность совпадает с границами тела, то они указывают на связь поверхностных сил, действующих на этой площадке, и напряжений – тогда могут рассматриваться в качестве дополнения к уравнениям Навье, усилий, позволяющих при интегрировании дифференциальных уравнений равновесия находить произвольные постоянные.

 

Исследование напряжённого состояния в точке тела.

Можно привести другие формулы для  вычисления нормальных и касательных  напряжений, действующих на любой  наклонной площадке с нормалью n по известным 9-и (6-и неравным) компонентам тензора напряжений.

-полное напряжение

Величина касательного напряжения: -формула даёт величину, но не направление касательного напряжения.

h - вектор нормали, перпендикулярный вектору n, поэтому скалярное произведение должно быть равно нулю.

Распишем:

Вывод: Зная компоненты тензора напряжений, можно вычислить как нормальные, так и касательные напряжения в любом направлении.

 

Главные напряжения. Инварианты напряжённого состояния.

При вращении элементарного параллелепипеда, на его боковых поверхностях нормальные касательные напряжения изменяют свои величины и при каком то его  положении касательные напряжения исчезнут и останутся только нормальные. Они принимают экстремальные (наибольшее и наименьшее) значения и называются главными.

Главные напряжения – это нормальные напряжения, возникающие в площадках при отсутствии касательных. Из определения главных напряжений:

   тогда:

Распишем первое выражение:

, тогда

то есть, получена система трёх однородных алгебраических уравнений. Она имеет 2 решения:

а. Тривиальное (очевидное) l = m = n = 0, не подходит, так как направляющие косинусы связаны соотношением l² + m² + n² = 1