Теории упругости

Максимальное значение напряжений реализуются на верхней или  нижней поверхностях пластины.

z = z_max

При этом все напряжения распределены линейно по высоте сечения.

Дифференциальное уравнение равновесия изогнутой

срединной поверхности  пластинки (º д.у. равновесия).

Вырежем из пластинки бесконечно малый  элемент и составим для него уравнение  равновесия.

Внешняя нагрузка q даёт проекцию на вертикальную ось: .

Учитывая, что все внутренние усилия являются погонными, при проектировании их интенсивности требуется домножить на длину действия.

Например: Вертикальная проекция Q_x*dy (момент не даёт), а момент относительно оси х

Изгибающий момент относительно оси  y:

 

Составим уравнение равновесия (учитывая, что действует «q»)

Первое уравнение:

В итоге:

Площадь элемента мала, но не равна  нулю, поэтому 

 

Уравнение моментов.

 

Пренебрегая величинами более высокого порядка малости    и , в итоге получим соотношение:

 или, поделив на dxdy ¹ 0, из уравнения равновесия получаем:

Из второго уравнения моментов получим:

Подставляя значения поперечных сил  в уравнение  ,получаем:

   или

Учитывая, что внутренние усилия:

Подставляем:

Окончательно  получается д.у. равновесия пластинки:

- уравнение Софи-Жермен.

 

Условия на контуре пластинки.

При интегрировании ДУ равновесия появляющиеся произвольные постоянные определяются из краевых условий – условий  опирания контура пластинки. Они  подразделяются на:

1. геометрические- если заданы перемещения и углы поворота .
2. статические- если на контуре заданы усилия .
3. смешанные- если на торцах заданы перемещения и усилия.

Уравнения торцов:

Пусть пластина закреплена

 

Расчёт пластинки  на упругом основании.

Рассматривается прямоугольная пластинка  на сплошном упругом основании, на пластинку действуют реактивные силы- давления упругого основания или отпор P(x,y) является неизвестной функцией координат.

К таким задачам сводятся прикладные задачи расчёта днищ, резервуаров, фундаментов  бетонных покрытий и тп.

При этом предполагается:

• справедливы гипотезы Кирхгоффа- Лява
• реализуется непрерывный контакт пластины с упругим основанием
• отсутствуют силы трения и скольжения, ДУ Софии Жермен (для прямоугольной пластины на упругом основании) принимает вид

Из теории выведена формула:

Где υ₀, Е₀ параметры упругого основания. Задача существенно упрощается если ввести некоторые предпосылки о поведении упругого основания

Ещё большее упрощение можно  сделать при принятии  гипотезы Винклера: Отпор прямо пропорционален прогибу пластины

Такое упругое основание называется простым или винклерово состояние.

Применение гипотезы позволяет  решать достаточно широкий круг задач, однако решение не всегда согласуется  с опытным результатом.

К- коэффициент упругого основания.

ДУ пластинки лежащей на винклеровом  основании 

Примеры:

1. Пластинка постоянной длины:

Где

Максимальный отпор (под силой):

Максимальное нормальное напряжение возникает на нижней поверхности  пластинки (под силой):

где b – характерный размер пластинки: b = 0.325 * h

2. Нагрузка распределена по квадрату со стороной с^|:

 

В вышеприведённой формуле принимаем значение характерного размера b = 0.57 * с^|

 

 

 

3. Нагрузка распределена по кругу с радиусом с.

В вышеприведённой формуле принимаем  значение характерного размера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Балка конечной длинны на упругом основании.

Рассматривается балка прямоугольного поперечного сечения, покоящаяся на винклеровом основании (или простом - отпор прямопропорционален прогибу) упругом основании.

Задача может быть рассмотрена  по методу начальных параметров. Выражение перемещения для любой точки имеет вид:

EI-изгибная жёсткость

W₀,j₀- начальные параметры (прогиб и угол поворота в начале координат)

 - функции Крылова, имеют вид  : 
 
 
 
где ch и sh гиперболические косинус и синус, представляющие собой: 

 

Для вычисления углов поворота и  внутренних усилий по функции перемещений, требуется вычислить производные от функций Крылова

Функции
	-4	-4	-4
		-4	-4
			-4

Замечание

Задачу о балке (бесконечной, конечной) длинны на упругом основании, также  можно решить с помощью функций  Крылова.

 

 

 

Задача расчёта  зачёта замкнутой  круговой, цилиндрической оболочки.

 

Рассматривается задача нагружения замкнутой кривой цилиндрической оболочки находящейся под действием распределённого давления.

ДУ равновесия подобно ДУ балки  на винклеровом основании и имеет  вид:

 

где -

 ДУ равновесия цилиндрической  оболочки.

  - (цилиндрическая жёсткость  )

где a- параметр.

Переходя к безразмерной переменной x=ax, можно свести ДУ равновесия к:

 

Это неоднородное ДУ имеет решение:

 

Где C_i – произвольная постоянная.

        - функции Крылова ,

частное решение неоднородного  уравнения 

Это выражение для перемещений и внутренних усилий запишется :

Погонный изгибающий момент

Поперечная сила (погонная)

И продольная (круговая) [погонная]

Внутренние усилия являются погонными, т.е. соотнесёнными к единице длинны

 

Расчёт стенки цилиндрического  резервуара.