Теории упругости

Методы решения задач теории упругости:

1. Прямой метод – выполняется путём интегрирования дифференциальных уравнений с выполнением условий на поверхности.
2. Обратный метод – задаются видом функций перемещений или напряжений такими, которые удовлетворяли бы д.у. равновесия, после чего проверяются условия на поверхности.
3. Полуобратный метод Сен-Венана – делаются упрощённые допущения в виде некоторых из функций напряжений и перемещений, что существенно упрощает решение задачи основных д.у.

 

Плоская задача теории упругости.

Ранее рассматривался общий случай – трёхмерная задача – когда все величины зависимы от трёх координат x, y, z. Рассмотрим более простой случай зависимости лишь от 2-ух координат x,y. При этом рассматриваются 2 различные постановки, сводящиеся, однако, к одинаковым разрешающим уравнениям.

1. Плоская деформация:

Рассматривается бесконечно длинная  плотина. Деформации в направлении  оси z отсутствуют: . Их возникновению препятствуют нормальные напряжения в направлении оси z: . При этом все деформации происходят в плоскости параллельной осям x, 0, y. (перпендикулярно оси z).

Плоская деформация – это такой вид деформации, при которой перемещения всех точек тела параллельны одной плоскости.

При этом все плоскости перпендикулярные другой оси остаются плоскими, а точки, принадлежащие им, деформируются в этой плоскости.

Примеры задач, сводящихся к плоской  деформации, приведены на рисунке.

Рассмотрим 3-е уравнение прямой формы закона Гука:

Откуда:

Тензор напряжений принимает вид:

Тензор деформаций:

Вектор перемещений:

Из 15-и неизвестных остаётся лишь 8:

Для их определения имеются 8 основных и ряд вспомогательных уравнений:

1. Д.у. равновесия:

2. Условие на поверхности:

3. Геометрические уравнения:

               

4. Условие совместности деформаций.

 

5. Физические уравнения:

Рассмотрим 1-е уравнение прямой формы закона Гука:

где , а

Здесь Е₁, n₁ – новые физические постоянные: модуль упругости 1-ого рода и коэффициент Пуассона применительно к задаче по плоской деформации.

Тогда физические уравнения принимают  вид:

Таким образом, для определения  8-и неизвестных имеется группа из 8-и основных уравнений (равновесия, геометрические, физические) и дополнительных (на поверхности, совместности деформаций), причём в физические уравнения введены иные физические постоянные Е₁, n₁.

 

Обобщённое плоское  напряжённое состояние.

 

 

Рассматривается тонкая пластинка, нагружённая  в срединной плоскости силами, к этим силам сводятся равнодействующие внешней нагрузки. На верхней и нижней поверхностях внешние силы отсутствуют, поэтому , кроме того ввиду малости толщины и внутри пластины , а нормальные и касательные напряжения распределены равномерно по толщине.

При этом все величины будут зависеть лишь от двух координат x и y.

Плоским напряжённым состоянием называется такое состояние тела, при котором напряжения по всем элементарным площадкам, параллельным одной из координатных плоскостей, равны нулю, а напряжённое состояние во всех точках, лежащих на нормали к этой плоскости одинаково.

Из 3-его уравнения прямой формы  закона Гука:

Тензор напряжений имеет вид:

Тензор деформаций имеет вид:

 

 

Вектор перемещений:

, с учётом 

Не зависит от z, поэтому

Таким образом, для определения 8-и  неизвестных задачи ,

имеется 8 основных:

• 2 уравнения равновесия (Навье)
• 3 уравнения Коши (геометрические)
• 3 уравнения закона Гука ( физические в прямой или обратной форме)

И ряда вспомогательных:

• 2 условия на поверхности
• 1 условие совместности деформаций

Причём все уравнения, за исключением  физических, как для плоской деформации, так и плоского напряжённого состояния, абсолютно одинаковы, а физические уравнения имеют одинаковый вид и различаются лишь физическими постоянными.

Плоская деформация	Плоское напряжённое состояние

 

В результате решения задачи получаются напряжения, осреднённые по толщине  пластинки, поэтому напряжённое  состояние называется обобщённым (плоским) напряженным состоянием.

 

Решение плоской задачи через функцию напряжений.

Рассмотрим уравнение Ламе (уравнение равновесия в перемещениях):

Предположим, что массовые силы, имеющие  проекции на оси X и Y, постоянны по объёму тела, тогда их произведение равно нулю.

,   

или

То есть при постоянстве объёмных сил, объёмная деформация q, есть функция гармоническая.

Преобразуем:

 тогда,

То есть сумма нормальных напряжений в плоской задаче есть функция гармоническая.

 

Функция напряжений Эри.

Пусть функция  выбирается так, что:

где X, Y – проекции объёмной силы на оси координат.

Рассмотрим уравнения равновесия:

Вывод: Д.у. равновесия выполняются автоматически, если функция j выбирается указанным образом.

Подобранная таким образом функция  напряжения j является решением плоской задачи теории упругости и называется функцией напряжений Эри.

 

Бигармоническое уравнение  плоской задачи.

Подставим в уравнение совместности деформаций плоской задачи выражение напряжений:

То есть функция Эри удовлетворяет  уравнению  и является функцией бигармонической.

   или   

Здесь дифференциальный оператор :

 

Расчёт подпорной  стенки прямоугольного профиля.

Использование функции Эри – подбор функции, удовлетворяющей д.у. равновесия с последующей проверкой граничных условий – есть обратный метод решения задачи теории упругости.

Аналогично решается задача по расчёту  подпорной стенки прямоугольного профиля;

К этой же задаче сводится расчёт плотины прямоугольного профиля на гидростатическую нагрузку.

 

 

Здесь g - удельный вес жидкости (для воды )

          g_к – удельный вес материала плотины .

Решение плоской задачи в указанной постановке можно выполнить с выбором функции Эри: так, чтобы напряжения выражались:

Решается задача без учёта собственного веса.

Рассмотрим аналогичную постановку задачи, но с позиций сопротивления  материалов:

 

 

 

 

 

Тогда:      

Нормальные напряжения:

Полученное значение является основой  формулы для  , получена через функцию Эри.

Построим эпюры распределённых напряжений и проверим равновесие выделенного элемента.

       

       

Аналогично вычисляются значения для касательных напряжений:

увидим, что при x = - c (левая кромка) и x = c (правая кромка) касательные напряжения

А на верхней и нижней кромках  имеются касательные напряжения (см. рисунок).

В действительности в постановке задачи верхняя кромка плотины свободна от нагрузок, то есть в то время как на эпюре имеются и не равны нулю (но очень незначительные!) напряжения, которыми можно пренебречь.

Вывод: Граничные условия выполняются, то есть функция Эри с указанными значениями напряжений является решением задачи.

 

Расчёт плотины  треугольного профиля.

Аналогично предыдущей задаче обратным методом с помощью функции  Эри решается задача по расчёту бесконечной (по ширине и высоте) плотины треугольного профиля на гидростатическую нагрузку.

g - удельный вес жидкости (для воды )

          g_к - удельный вес материала плотины .(это объёмная нагрузка: Y - проекция на

                 вертикальную ось)

Если функцию Эри выбрать  в виде полинома 3-ей степени:

, то выражение для напряжений  примет вид:

Произвольные постоянные можно определить из удовлетворения условию на поверхности.

В соответствии с условиями на поверхности:

Расписывая выражение поверхностных  сил на вертикальной и наклонной  гранях можно получить выражение  для постоянных ; ; ; , тогда напряжения вычисляются:

Если рассмотреть эпюры напряжений на нижние грани, полученные через записанные формулы, и методом сопротивления  материалов (для случая ):

 

Из сопоставления эпюр видно, что  одинаковыми являются лишь , а и различны как количественно, так и качественно.

Вывод: Решение задач методом сопротивления материалов не приемлемо.

Это такой угол при гребне платины, меньше которого в её теле возникают растягивающие ( положительные- опасные для бетона) нормальные напряжения

Следовательно положительные напряжения, возникают при 

 

Изгиб тонких пластинок.

Пластина- тело имеющее форму  прямой призмы или прямого цилиндра, высота которого (толщина) меньше размера основания.

Срединной плоскостью, называется плоскость, делящая высоту пополам.

Срединная поверхность срединная  плоскость после деформации.

Контур- линия пересечения боковой  поверхности о срединной плоскостью

Прогиб- перемещение точки срединной  плоскости в направлении перпендикулярном ей.

 

Классификация пластинок.

В зависимости от отношения толщины  h к характерным размерам основания b (характерный размер- наименьший размер срединной плоскости)

Пластинки подразделяют на толстые, тонкие и мембраны.

 толстая пластинка (плита)

 тонкая пластинка 

 пластинка называемая гибкой  или мембраной.

Пластины находят широкое применение в качестве настилов, бетонных и ж\б плит, плит фундаментов зданий.

Рассмотрим приближённая (техническая) теория тонких пластин, основанная на гипотезах Кирхгоффа-Лява – теория изгиба.

1. Гипотеза прямых нормалей- любой линейный элемент, нормальный к средней плоскости до деформации, остаётся прямым и нормальным к срединной поверхности после деформации, а его длина неизменной. При этом прямые углы остаются прямыми- сдвиг отсутствует. Используя гипотезы, приводим  упрощённому соотношению:
2. Гипотеза о не растяжимости срединной плоскости. Срединная плоскость остаётся нейтральной, т. е. В ней отсутствуют деформации растяжения- сжатия сдвига. Это ведёт к  упрощениям:
3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки - в виду малости давления между слоями параллельными средней плоскости, нормальные напряжения в направлении оси Z отсутствуют. Это ведёт к упрощению:

Упрощающие гипотезы для тонкой пластины, позволяют записать тензор напрядений:

;

тензор деформаций:

 

 

Перемещения в пластинке:

Учитывая , что  - не зависит от Z, а зависит лишь от W(x,y)

Учитывая, что

  Здесь - производная функции, определяемая из условий: Z=0; U=U₀

Вывод: перемещения пластинки 

Перемещения в пластинке можно  выразить через функцию W- вертикальный прогиб срединной плоскости.

Деформации пластинки.

Вывод

Деформация в пластинке так  же является функцией прогиба срединной  плоскости 

 

Напряжения в пластинке.

Из прямой формы закона Гука

 

Напряжения в пластинке могут  быть выражены через функцию прогиба  срединной плоскости.

Нормальные и касательные напряжения распределены линейно по толщине  пластинке (по высоте сечения), причём на срединной плоскости обращается в нуль. Остальные напряжения ввиду применения гипотез Кирхгоффа-Лява равны нулю, однако это противоречит условиями равновесия (рассмотрим далее).

 

Внутренние напряжения в пластинке.

Являются погонными, т.е. отнесёнными к единице длины.

Нормальная сила ( погонная)

Изгибающий момент (погонный)

цилиндрическая жёсткость является её физической и геометрической характеристиками.

Сдвиговая сила (погонная)

Погонный крутящий момент в пластинке 

Прогонные поперечные силы из-за принятых гипотез равны нулю, однако ввиду  нарушений условий равновесия, они  не равны нулю, но малы.

Все внутренние усилия так же зависят от функции прогиба W

 

Вычисление напряжений через внутренние усилия.

 

- осевой момент инерции в  сечении единичной ширины.