Жылу конвекцияның кері есебінің шешімінің алгоритмін параллельдеу

 

2.1-Параболалық типті теңдеулері  айырымдылық схемалары  

Параболалық типті теңдеудің классикалық  мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі  болып табылады(диффузияя).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады

. (2.1)

Егер де шекараларда  х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына u(x,t) түрде берілсе

 

(2.2)

Яғни бірінші  тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген

u(x,0)=ψ(x), 0≤x≤l, t=0,                         (2.4)

онда  (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).

Жылу  алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3)  ϕ₀(t), ϕ_l(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.

Егер  де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін  кеңістіктік мәні берілсе

(2.5)                                                           (2.6)

Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) есептерді (2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік шарты дейді.Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары берілген.

Егер  кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы іздестірілетін функция берілсе 

                               (2.7)

                                     (2.8)

Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (2.1), (2.7), (2.8), (2.4)   жылу өткізгіштің үшінші  алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды (2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (2.7), (2.8) шекаралық шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t), u(l,t).

Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші  алғашқы-шектік  шарт мынандай түрде  болады

Сол сияқты (2.9) – (2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары  екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.

Практикада  әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас шектік шарттармен  қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі тектері беріледі.

2.1.2.Соңғы әр түрлі  әдіс түсініктері.Параболойдтық типті теңдеуде соңғы әдісте қолдану.Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан, (2.1)-(2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі  шешімдердің бірінші алғашқы-шектік  шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-уақыттық  ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω _hτ

(2.12)

Кеңістіктік қадаммен h=l/N және уакыт бойынша қадаммен τ=T/K (рис 2.1).

         Екі қабатты уақытты енгіземіз:

t^k=kτ -дың астындағы, u(x_j,t^k) іздестірілген функциясы,  ( k=0 бөлінуі (2.4) (x_j,t⁰)=ψ(x_j)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және    t^k+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт,         u(x_jj,t^k+1), j=0,1,…,N  іздестірілген функциясы анықталуға жарайды. 

2.1(сурет). Соңғы әр түрлі тор

  (2.1.)-(2.4) (анықтамасы) есептерінің торлық  функциясын  j, k  бүтін аргументтердің  бірмәнділік көрсетулері         функциясының мәні.

(2.12) берілген  функцияға     бірінші белгілі тордың функциясы, ал екіншісі – анықталуға жарайтын торлық функциясын енгіземіз.Оның анықталуы үшін

  (2.1.)-(2.4) есептерінде (аппроксимациялаймыз)  дифференциалдық операторлардың  орнына ауыстырамыз.(«Сандық дифференциалдау»  тақырыбын қараймыз),

                                        (2.13)

                            (2.14)

(2.13) формуланы  аламыз.  (2.1.)-(2.4)-не (2.13),(2.14) қойсақ,соңғы әр түрлі жүйені аламыз.Мұндай есепке форма

 

 

(2.15)

  j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту есептемей (2.15) байланысында анықталады.  (2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.

Егер  (2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,

                    (2.16)

онда (2.13), (2.16)-ны (2.1)-(2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.

 

(2.17)

Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын  СЛАУ (2.17) үшдиагональды матрицаның шешімін табуға болады.Бұл СЛАУ  формасы, жарамды өткізу әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді. Соңғы әр түрлі жүйенің шаблоны деп оның соңғы әр түрлі түрінің геометриялық мағаналануын (түсіндірме) айтады.

 

 

 2.2.сурет.Жылу өткізгіштіктің теңдеуінің соңғы әр түрлі схеманың белгілі және белгісіз шаблонына арналған.

 2.2суретінде (2.15) белгілі және (2.17) белгісіз шаблондары берілген (2.1)-(2.4) есептерін соңғы әр түрлі схемамен аппроксимациялау.

(2.15) белгілі соңғы әр түрлі схемасының жазылған формасы

(2.18)

Үстіңгі уақыттық қабаттың шешімі (САТЖ шешімінсіз) шығарылады торлық функцияның астыңғы уақыттық қабаттың уақыттық шешімінен шығарылады да,шығарылуы белгілі ( k=0 шешімі торлық функциямен формаланып,бастапқы(2.4.) шартпен шығарылады). Бірақ бұл сұлбада заттық жеткіліксіздік бар,сондықтан ол тұрақты шарт болып табылады, оны τ және h торлық мінездемеден аламыз.

Басқа жағынан,белгісіз (2.17) соңғы әртүрлі схемасы осындай формада жазылған.

(2.19)

 СЛАУ –ды шығару керек екендігіне алып келеді,бірақ бұл схема абсолютті-тұрақты.

(2.18), (2.19) схемаларды анализдейміз. Сол дұрыс шешімі белгісіз болсын,ол уақыт бойынша өседі,басқаша айтқанда . Сонда,(2.18) белгілі схемамен байланысты шығарылуының әр түрлілігі түсірілген салыстырудың дұрыстылығымен,сондай-ақ меншікті торлық йункцияның мәні келесі уақыттық қабатпен анықталады,яғни шығарылу уақыт бойынша өсетіні байқалады.

(2.19) белгісіз функцияның өсетін шығарылымы,керісінше,шығарылу дұрыстығына қарағанда көтерілген,яғни торлық функцияның үстіңгі уақыттық қабатымен анықталады.

Сурет түсудің  шығарылуымен ауысады,яғни қарама-қарсы  бейнемен: белгілі соңғы әр түрлі  схеманың шығарылуымен көтеріледі,ал белгісіз түседі. ( 2.3 суретті қараңыз).

2.3 сурет. Аппроксимацияның екі жақты әдісі

Бұл анализдің  негізінде құрудың нақты белгілі  – белгісіз соңғы әр түрлі схемаладың таразыларымен кеңістіктік соңғы  әр түрлі операторлармен, сондай-ақ ұсақталған τ және h қадамымен нақты (белгісіз) шығарылуы ″вилканы″ алған,егер белгілі және белгісіз схемалар дифференциалдық есептерді және бұл тұрақты схемаларды аппроксимациялайды,онда сеткалық мінездемеге бағытталу және h нөлге ұмтылуы,белгілі және белгісіз схемаладың шығарылуы әр түрлі жақтан нақты шешімге ұмтылады.

 

Белгілі және белгісіз сұлбаның жылуөткізгіштік  теңдеуінің оңай түрімен қарастырайық. (2.20)    Қайда θ – шекті-әртүрлігінің барлық бөлшек сұлбасы, 1−θ – барлық белгілі бөлшек үшін, 0≤θ≤1. θ=1 тең болғанда толық белгісіз сұлба, θ=0 – барлық белгілі сұлба, ал θ=1/2 - Кранк-Николсон сұлбасы болады. Кранк-Николсон (θ=1/2) сұлбасына аппроксимация реті құрылады,яғни т.с.с. уақыт бойынша бір ретке жоғары болады, жай белгілі және белгісіз сұлбаға қарағанда.

Белгісіз  және белгілі сұлбаның уақытқа абсолютті  орнықты (2.20), яғни 1/2≤θ≤1 және орнықты шарттарға сәйкес 0≤θ<1/2 белгіленеді.

Сонымен, Кранк-Николсон сұлбасы (2.20) және θ=1/2 абсолютті орнықты және уақыт бойынша екінші ретті аппроксимацияға және кеңістіктегі х айнымалыға сәйкес келеді. 2.1.3. Құрамында туындысы бар шекаралық шарттың аппроксимациясы.

Математикалық физика есептерінде және жылуөткізгіштік  есептердің дербес жағдайында, яғни шекараның  есептелінетін облысының байламында шекаралық шарттың бірінші реті аппроксимацияланады. Екінші және үшінші ретті шекаралық шарттардың айырмашылығы, олардың айнымалы кеңістік бойынша ізделінетін функцияның бірінші ретті туындысы қатысады. Сондықтан, түрлі-шекті сұлбаның түйілісіне аппроксимация қажет. Бірінші ретті аппроксимация туындысының бағыты қарапайым нұсқа ретінде алынады:

Онда шекаралық  жалпы жағдайының үшінші ретінің  (2.7), (2.8) теңдеуі, түрлі сұлбаның екі шектік байламда ізделінетін функция мәні байланысады, сонда келесі өрнек түрінде беріледі:

Шекті-әр түрлілігінің аппроксимациялық ішкі байламда белгілі теңдеуді аламыз, үшінші алғашқы-шектік есеп үшін белгілі әр түрлі сұлбаны аламыз (2.1), (2.4), (2.7), (2.8).

Жаңа  уақыттық қабатқа  алгоритмдік өтуін белгілі сұлбаның көмегімен аламыз:

Яғни, алғашқы  ізделінетін функцияның барлық ішкі жаңа уақыттық қабаты есептелінеді, содан  соң шекарадағы мәндер анықталады.

Белгісіз  соңғы-түрлі сұлбаны қолданып, дифференциалдық  есепті аламыз:

Нәтижесінде жаңа уақыттық қабаттың шешімін табу үшін сызықтық алгебра теңдеуінің үш-диагональді  матрицалар жүйесін қолданамыз. Белгілі  және белгісіз сұлбаны қолданған  кезде осыған ұқсас болады.

Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының  аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы  орындалады. Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын  глобальді аппроксимациялық  реті деп аламыз.

Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық  шартының белгілі бір әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:

Егерде, белгілі  сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі  жаңа уақыттың қабаты мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.

Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын   күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қтынастың бйланыс саны. Иллюстрациялық  подходты мынандай түрде көреміз.

Мысалы 2.1.

Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында конвекцияланған мүшелерінің  құрамдамасы,(туындының пропорционалы  ), іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды

(2.21)-(2.24) Шешімі.

Шекті-әртүрлігі  сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):

(2.25)

Егер,бірінші  тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын  (2.22) және (2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-әртүрлігін қою-арқылы)

Онда шекаралық  шарттар бірінші тәртіп бойынша  аппроксимацияланады және глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең , барлық қалған байланыс аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді. Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық байланысуда дәл есептелінген  теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін , - аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз(функциясының жазылуы бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х бойымен аламыз):

(2.26)

. (2.27)

Әрі қарай  екінші мәннің туындысын шекаралық  байлануына қоямыз, дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):

Алынған өрнектен шығады (2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық ретімен, аламыз(2.27)

Қою аркылы яғни (2.22),  және (2.23) аппроксимациялық кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз(осыдан алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысындаекеуі белгісіз болады:

(2.28)

(2.29)

Осылайша,(2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық теңдеуінің үш түрі белгілі (2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яағни (2.29) - Шекті-әртүрлігінің  аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің он жақ шекарада (2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясы (2.25) және дифференциалдық теңдеуінде де (2.21).

Жаза  отырып шекралық Шекті-әртүрлігінің теңдеуінде (2.28), (2.29)  сетканың функцияснда екінші мәнді ұстанады, алгебралық теңдеу (2.25), 

(2.30)

 САТЖ аламыз және үш-диоганальді матрицамен шығарылады.

                             (2.31)

(j = N, N-1, ... , 0.) (2.32)

Қабылдаған  әдіс аппроксимациялық шеттік шарт, туынды бойынша кеңістіктегі орын ауыстыру, аппроксимацияның тәртібін көтеріп қана қоймай  консерванттық соңғы-түрлі аппроксимацияда сақталу заңдары қолданылады,   (2.21)-(2.24) дифференциалдық сәйкес есептер көрсетілген.

Аналогтық жақындауда шеттік есептерде  дифференциалдық  теңдеудің 

кез-келген түрінде қолдануға болады.

1.3 Сызықты жылу конвекция теңдеулер  жүйесіне интегралдық,

қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есеп.

Бұл бөлімде  сызықты жылу конвекция теңдеулер  жүйесіне интегралдық, қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есебін зерттейміз. Бұл кері есепте сұйықтың жылдамдығы, қысымы, сұйықтың температурасы, сыртқы күштері жəне жылу көзі белгісіздері ретінде қарастырылады.