Жылу конвекцияның кері есебінің шешімінің алгоритмін параллельдеу

 

Q = [0,T], R цилиндрінде сызықты жылу конвекция теңдеулер жүйесіне қойылған кері есебін қарастырайық. Төмендегі (1.4.1) – (1.4.3) жүйелерін

 

 

                   (1.4.1)

 

                            (1.4.2)

 

                                                                              (1.4.3)

 

бастапқы  шарттарын

                                                       (1.4.4)

 

шекаралық шарттарын  

                                                                  (1.4.5)

 

жəне  келесі локалдік емес шарттарын

 

                                                              (1.4.6)

 

                                                                (1.4.7)

 

қанағаттандыратын және функцияларын анықтау керек. Мұндағы - сұйықтың жылдамдығы, р- сұйықтың қысымы, - сұйықтың температурасы, және с - сəйкесінше тұтқырлық, жылу өткізгіштік жəне жылу сыйымдылық коэффициенттері ( жəне с − теріс емес тұрақтылар), β − кубтық кеңею коэффициенті, g − ауырлық күш үдеуінің векторы, - сыртқы күштері жəне - жылу көзі.

      - берілген функциялар.

        (1.4.1) – (1.4.7) кері есебінің жалпылама  шешімінің анықтамасын берейік.

Анықтама 1.4.1. Егер       жəне функциялары мына

интегралдық тепе – теңдіктерді

 

                             

                                                     (1.4.8) 

              

                  

                                                      (1.4.9)

 

кез-келген

 

                 

                                                                                 (1.4.10)

                                                                                      (1.4.11)

қанағаттандырса, мұндағы

 

 

 үшін 

 

 

 үшін 

онда  және функцияларын (1.4.1) – (1.4.7) кері есебінің

жалпылама шешімі деп айтамыз.

 

Лемма 1.4.1. Егер (1.4.1) – (1.4.7) кері есебінің шешімі жеткілікті тегіс болса, онда (1.4.1) – (1.4.7) кері есебі (1.4.1) – (1.4.5), (1.4.10), (1.4.11) есеп қойылымына, берілгендері бірдей болған жағдайда, эквивалентті, сонымен қатар және функцияларын айқын түрде табуға болады, яғни

 

 

                                                               

 

 

                                                               

 

       Теорема 1.4.1. (1.4.12) шарты орындалсын, онда (1.4.1) – (1.4.7) кері

есебінің жалпылама

шешімі бар жəне ол жалғыз.

 

Дəлелдеу. Осы теореманы дəлелдеу үшін де тізбектей жуықтау əдісін

қолданамыз. Нөлдік жуықтауда    деп алайық жəне барлық m =1,2,...

үшін    жуықтауларын келесі өрнектерден анықтаймыз:

 

 

                  (1.4.13)

  

                 (1.4.14)

 

                   (1.4.15)

 

                     (1.4.16)   

 

                                                                                       (1.4.17)

 

 

                                                                                      (1.4.18)

 

                                                                                        (1.4.19)

 

Айталық, жəне функциялары белгілі болсын, себебі олар жəне функциялары арқылы өрнектеледі, жəне функцияларын сəйкесінше (1.4.15), (1.4.16) теңдеулерге қояйық, сонда біз сызықты жылу конвекция теңдеулер жүйесінің (1.4.15) – (1.4.19) тура есебін аламыз. (1.4.15) – (1.4.19) тура есебінің жалпылама шешімінің анықтамасын берейік.

Анықтама 1.4.2.   функциялары төмендегі

интегралдық тепе – теңдіктерді 

 

                                                (1.4.20)

 

 

                                             (1.4.21)   

 

    үшін қанағаттандырса, мұндағы     онда жəне функцияларын (1.4.15) – (1.4.19) есебінің жалпылама шешімі деп айтамыз. (1.4.15) – (1.4.19) есебінің шешімі бар жəне жалғыз болатынына келесі тұжырым орынды.

Лемма 1.4.2. Кез – келген          

 үшін (1.4.15) – (1.4.19) есебінің шешімі бар жəне ол жалғыз.

  кеңістіктерінде тізбектері фундаменталді тізбектер екенін дəлелдейік. кеңістіктері толық болғандықтан, онда жұбтары тізбектерінің шегі           болады, яғни да олай болса жұбтары (1.4.1)-(1.4.7) кері есебінің ізделінді əлсіз шешімі болады.

 

Енді  белгілеулерін енгізсек, онда (1.4.13), (1.4.14) өрнектері жəне (1.4.15) – (1.4.19) есебі мына түрде жазылады:

 

                                                                           (1.4.22)

 

                                                                              (1.4.23)

                    (1.4.24)

                   

                                           (1.4.25)

 

                                                                                                  (1.4.26)

 

                                                                                  (1.4.27)

 

                                                                                (1.4.28)     

 

(1.4.22) өрнегі былайша бағалайық

 

 

 

 

 

 

 

 

 таңдап алсақ, онда төмендегі  бағалауға келеміз

Соңғы алынған  теңсіздіктің екі жағын квадратқа  көтеріп, t бойынша интегралдайық, онда келесі бағалауды аламыз

                                                             (1.4.29)

Дəл осылай айырмасы да, бағаланады

                                                              (1.4.30)

 

мұндағы жəне коэффициенттері жəне t шамаларға тəуелсіз.

Енді (1.4.24) теңдеуді ал (1.4.25) теңдеуін шамаларға скаляр

 кеңістікте көбейтейік, нəтижеде  мынадай тепе – теңдіктерді  аламыз

 

 

 

                                                   

                                                                                                                     (1.4.31)

 

                                                                           

(1.4.31) теңдеулер  жүйесінің оң жақтарына Гельдер  теңсіздігін жəне лемма

2 пайдаланып, бағаласақ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теңсіздіктерге  келеміз.

 

Бұл алынған  бағалауларды (1.4.31) апарып койып, содан  кейін, екі теңдеулерді бір –  біріне сəйкес мүшелерін қосайық  жəне таңдап алсақ, онда қарапайым түрлендіруден кейін, біз төмендегі дифференциалдық теңсіздікті аламыз:

 

 

             (1.4.32)

 

мұндағы облысының ені, ал коэффициенттері жəне t шамаларға тəуелсіз. (1.4.32) теңсіздікке Гронуолла теңсіздігін пайдалансақ, төмендегі бағалауды аламыз

 

                                   (1.4.33)

 

(1.4.29), (1.4.30) жəне (1.4.33) бағалауларды бірге қарастыра  отырып,келесі бағалау орынды  болады

 

                         

                      (1.4.34)          

 

 

 Егер  жəне тұрақтыларын төмендегі шарттарды қанағаттандыратындай, таңдап алуымыз керек                   

                                                                                                               (1.4.35)   

 

             

 

Демек, (1.4.34) жəне (1.4.35) бағалаулары кез келген m = 1,2,... үшін келесі түрге келеді

 

                                       (1.4.36)       

 

                                         (1.4.37)   

 

мұндағы

(1.4.35) шарттары  орындалғанда (1.4.36), (1.4.37) бағалауларынан, кеңістіктерінде сəйкесінше   тізбектері фундаменталді екендігі шығады. Жоғарыдағы талқылаулардан соң кеңістіктерінде сəйкесінше жалғыз ғана жұбтары бар, сонымен қатар төмендегі тізбектерде шекке көшу орынды

 

 кеңістігінде

 

 кеңістігінде

 

кеңістігінде 

 

Сонымен,   тізбектерінің əлді жинақталуынан (1.4.13), (1.4.14), (1.4.20) жəне (1.4.21) теңдіктерде m →∞ ұмтылғанда шекке көшсек, (1.4.1) – (1.4.7) кері есебінің цилиндрде жалпылама шешімін аламыз.

Енді  есептің шешімінің жалғыздығын  дəлелдейік. Əдеттегідей, (1.4.1) –

(1.4.7) кері  есебінің  цилиндрінде k=1,2 екі шешімі бар болсын, онда (1.4.35) – (1.4.37) теңсіздіктерден, келесі бағалауларды табамыз

 

 

 

бұдан келіп шығады.

 

жəне  тұрақтылары бастапқы берілген  жəне функцияларынан тəуелсіз, сондықтан t ≥σ болғанда жағдайда

 

 

деп аламыз, мұндағы жəне локалді шешімнің болғандағы

мəні. Кері есептің локалді шешілуіне байланысты жоғарыда көрсетілген əдісті ақырлы уақыт үшін, ақырлы рет қолдансақ, бүкіл цилиндрде жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз екендігі шығады.

Жоғарыда көрсетілген əдісті ақырлы уақыт үшін, ақырлы рет қолдансақ,

бүкіл цилиндрде жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз

болатындығын дəлелдейміз.

Кері есептердің орнықтылық мəселелері жуықтап берілген шарттарының негізінде, ізделінді шешімдеріне өте жақын, жуықтау шешімдерін табу əдістерін құруға байланысты зерттелінеді. Алғашқы рет кері есептердің шешімдерінің орнықтылық мəселелерін А.Н. Тихонов [19] қарастырған. (1.4.1) – (1.4.7) кері есебінің шешімі бастапқы шарттарынан жəне қосымша анықталған, шарттарынан орнықтылығы келесі тұжырымнан шығады.

 

Теорема 1.4.2. (1.4.1) – (1.4.7) кері есебінің (k=1,2) сəйкес (k=1,2) жалпылама шешімдері болсын, онда осы жалпылама шешімдерінің айырмалары үшін төмендегі бағалау орынды

 

(1.4.38)

 

мұндағы C(T) тұрақтысы (k=1,2) шамаларға тəуелсіз.

Дəлелдеу. (1.4.1) – (1.4.7) кері есебінің (k=1,2) шамаларға

сəйкес (k=1,2) жалпылама шешімдері болсын. (1.4.1) – (1.4.7) кері

есебін олардың айырмасы үшін жазайық. (1.4.12), (1.4.35) шарттары орындалса, онда (1.4.8) – (1.4.11) өрнектерден цилиндрінде келесі теңсіздіктерді аламыз

 

 

                                                                         (1.4.39)