Методы расчета сложных трубопроводов. Формулировка задачи и изложение их решения

3. При аналитическом решении  системы уравнений (2.7) удобно заменить пучок параллельных труб одной эквивалентной трубой, которая пропускает весь расход, проходящий через параллельные трубы, при потерях напора, равных потерям напора на разветвленном участке.

Размеры эквивалентной трубы (диаметр d и длина Lэ) связаны с размерами параллельных ветвей соотношением

       (2.8)

(При этом dэ и λэ можно выбрать, как средние величины, или, как dэ и λэ в подводящей или отводящей ветвях, а Lэ найти.)

4. При расчете этим  способом схема трубопровода  с параллельными ветвями приводится  к схеме простого трубопровода, в который эквивалентная труба  входит как один из последовательных  участков.  Для схемы трубопровода, показанной на рис. 2.1, уравнение баланса напоров в этом случае имеет вид  
 
Н = (2.9) 

 

2.4 Графический метод решение системы уравнений

для трубопровода с заданными размерами. 

 

2.4.1. Последовательность решения системы уравнения при графическом методе решения.

1. Построение характеристик  всех труб с использованием  уравнения (2.1). При построении в зависимости от ламинарного или турбулентного режима движения жидкости в трубе выбирается показатель степени при Q и величина коэффициента λ. При турбулентном течении в трубе ее характеристика является квадратичной параболой; при ламинарном течении в длинной трубе — практически прямой зависимостью. Характеристика представляет собой зависимость потерь напора в трубе от расхода.

1.1 Для турбулентного режима

-парабола,     (2.10)

Li = l_i +l_iэ, здесь  l_iэ=Σ_k ξ_ikd_i/ λ_i   ,

1.2.Для ламинарного движения  Формула Вейсбаха—Дарси

где  λ - коэффициент потерь на трение в трубе, для ламинарного  режима λ_л =64/Re, скорость через расход: Q= V*(π/4)d², выражение для потерь при ламинарном движении

                                           (2.11).

Характеристики параллельно  работающих ветвей затем суммируют  согласно уравнениям (2.6) и (2.7), т.е. путем сложения абсцисс кривых (расходов) при одинаковых ординатах (напорах). Полученную в результате такого суммирования характеристику разветвленного участка можно рассматривать как характеристику эквивалентной трубы, заменяющей данные параллельные. 

На рис. 11.2 построена характеристика разветвленного участка трубопровода, со- стоящего из двух параллельных труб.  h_п1 и h_п2 –графики потерь в параллельных ветвях, построенные по формулам (2.11).

 

 

В параллельных ветвях потери равны hп1 = hп2, следовательно и у разветвленного (эквивалентного) заменяющего их участка трубопровода, потери такие же hп1 = hп2= hп.

1.3.  Откладываем на  оси абсцисс величину потерь  hп1 = hп2= hп, точка - 0

1.4  Проводим линию параллельную оси ординат, в точках 1 и 2 получаем значения расходов: Q₁, Q₂, суммируем их и получаем точку -3 для построения графика  потерь эквивалентного участка, точку - 4. Также строим и другие точки.

            2.4.2.  Построение характеристики сложного трубопровода.

Характеристику эквивалентного участка суммируют с характеристиками подводящей и отводящей труб  и получают характеристику сложного трубопровода

Нслж = hп.подв +hрэ +hп.отв     (2.12).

2.1 На график следует нанести характеристики: подводящей, эквивалентной и отводящей  магистралей.

2.2 На оси ординат откладывают величину расхода, выходящего из питателя – Q₁, точка - 0.

2.3.  По расходу Q1  определяют потери в подводящем трубопроводе – точка -1, напор - hп.подв , в эквивалентном – точка -2 - hэ, в отводящем – точка – 3, hп.отв .

2.3. Сложением ординат  (напоров) hп.подв +hэ +hп.отв       при одинаковом расходе – Q1,  получим характеристику сложного трубопровода – точка 4 (рис. 11.3).

hслж = hп.подв +hэ +hп.отв

Остальные точки можно  получить при значениях Q < Q₁.

2.4.3. Пример использования графического расчета сложного трубопровода с двумя параллельными ветвями показан на рис. 11.4.

Определение потребного напора сложного трубопровода  по характеристикам  сложного трубопровода по заданному  расходу в одной из ветвей, например, подводящей, отводящей или по расходу  в одном из параллельных участков.

 Для задачи известный расход в одной из параллельных ветвей, например, в первой -  Q₁, нужно отложить на оси абсцисс и через полученную точку А провести вертикаль до пересечения с характеристикой первой ветви, точка B₁. Ордината h_п1, точки В_1, выражает потери напора в параллельных ветвях :  h_п1 = h _п2 = h _п.

рис.11.5

Через точку В₁ провести горизонталь до пересечения с характеристикой второй параллельной ветви разветвленного участка, то получим точку В₂, абсцисса которой равна расходу Q₂ .

Складывая расходы, получаем суммарный расход Q = Q₁ + Q₂ через параллельный участок.

На пересечении абсциссы Q и ординаты hп, получаем точку С - это точка совместной характеристики разветвленного участка.

Восстановив вертикаль до пересечения с характеристикой сложного трубопровода, получим точку D, ордината которой выражает искомый потребный напор Н.

2. Определение расходов  во всех трубах по заданному  располагаемому напору определить.

2.1 На оси ординат отложить известный напор Н - точка Е.

2.2. Через точку Е провести горизонталь до пересечения с суммарной характеристикой сложного трубопровода точка - D. Абсцисса этой точки D выражает суммарный расход

Q₂=Q₁+Q₂.  

2.3.Через точку D провести вертикаль до пересечения с характеристикой разветвленного участка, ордината полученной точки С будет соответствовать потерям напора в каждой из параллельных ветвей.

2.4 Через точку С провести горизонталь до пересечения с характеристиками ветвей, то получим точки В₂ и В₁, абсциссы которых являются расходами Q₂ и Q₁ в ветвях.

Если характеристики построены  с учетом коэффициентов сопротивления  трения и коэффициентов местных  сопротивлений в зависимости  от режимов течения жидкости в  трубопроводах, то отпадает необходимость  в последовательных приближениях, что  является значительным преимуществом  графического метода.

2.5. Трубопроводы с концевой раздачей.

Соотношения (2.2) и (2.4) могут быть использованы не только для расчета сложных трубопроводов с параллельными ветвями, но и для расчета сложных трубопроводов с концевой раздачей в тех случаях, когда перепады напоров в ветвях, расходящихся из одного узла, оказываются равными. На рис. 11.5 показаны некоторые схемы таких трубопроводов.

2.7. Аналитический метод решения.

В трубопроводах этого  типа жидкость, поступающая к узлам  из питателей, распределяется между  несколькими ветвями, по которым  она направляется к приемникам с  различными напорами жидкости, см. рис. 11.6, где жидкость, подводимая к узлу А, раздается по трубам в приемники с напорами Нв, Н_C., Н_D.

Расчет трубопровода с  концевой раздачей рассмотрим на простейшей схеме трубопровода, соединяющего три  резервуара и  имеющего один узел (рис. 11.7). Особенностью рассматриваемой  схемы является то, что система  расчетных уравнений получается различной в зависимости от направления  потока в трубе, соединяющей узел со средним резервуаром 2.

Верхний резервуар 1 всегда является питателем, и жидкость поступает из него к узлу. Нижний резервуар 3 всегда является приемником, и жидкость поступает к нему от узла.

Резервуар 2 может быть как приемником, так и питателем.  Направление потока в трубе 2 определяется соотношением между напором у в узле и напором Н₂ в среднем резервуаре. В зависимости от этого соотношения возможны три случая распределения расходов в трубах и в соответствии с этим три различные системы расчетных уравнений.

1. Если напор у в  узле меньше напора Н2 в резервуаре 2 (у < Н2), то жидкость из резервуаров 1 и 2 перетекает в резервуар 3, и система уравнений для решения задачи имеет вид,

случай   у < Н2: }  (2.13)

2.Если напор  у > H2, то жидкость из резервуара 1 перетекает в резервуары 2 и 3 , и расчетная схема принимает вид

у > H2    (2.14)

3. Если у = Н₂, расход Q₂ = 0,  Q₁=Q₂ =Q  и жидкость перетекает из резервуара 1 в резервуар 3.

Расчетная система уравнений  имеет вид 

} (2.15) 
 

Если  система включает трубы, которые  оканчиваются сходящимися насадками, открытыми в атмосферу, то при  составлении уравнений баланса  напоров для таких труб следует  учитывать скоростные напоры на выходе из насадков. 

Системы расчетных  уравнений выбирают в зависимости  от постановки задачи. Направление  потока в трубе 2 может быть наперед задано условиями задачи или же, если оно заранее неизвестно, должно определяться в процессе самого решения. 

Рассмотрим  случай, когда известными в задаче являются напоры в резервуарах и размеры всех труб; требуется определить расходы в трубах. 

Решение следует  начинать с определения направления  потока в трубе 2, для чего используется специальный прием «выключения ветви».

При этом вычисляют  напор у’ в узле при выключенной трубе 2, т.е. когда Q₂ = 0 и Q1=Q3. Составляя уравнения Бернулли для труб 1 и 3 и, решая их относительно у’, получаем

(2.16)

3.1.Если это уравнение  дает значение у’ < Н2, то при включении трубы 2 работа сложного трубопровода будет соответствовать рассмотренному выше первому расчетному случаю, и для решения задачи нужно воспользоваться системой уравнений (2.13).

3.2.  Если у’> Н2, то при включении трубы 2 имеем второй случай, и для решения задачи используются уравнения системы (2.14).

3.3. Если  у’ = Н2, то при включении трубы 2 расход в ней равен нулю, и расчет производится соответственно третьему случаю по уравнениям (2.15).

Так как расходы в трубах являются в этой задаче искомыми неизвестными и, следовательно, значения коэффициентов  сопротивлений труб заранее точно  определить нельзя, аналитическое решение  проводится методом последовательных приближений.

2.5. Трубопроводы с концевой раздачей.

2.5.1. Графический метод решения.

Рассмотренная задача может  быть решена и графическим методом, т.е. путем графического решения  приведенных выше расчетных систем уравнений.

Идея графического решения  заключается в определении напора у в узле, при котором удовлетворяется условие баланса расходов. 

1. Сначала определяют  напор у’ в узле при выключенной трубе 2, для чего строят кривые у = f(Q) для ветвей 1 и 3 у' = f(Q) согласно уравнениям

Q₁=Q₃ = Q

2. Ордината точки А пересечения кривых дает напор у’ (рис. 10.9).

2.1.Если у’ = Н₂, то абсцисса точки А дает величину действительного расхода в ветвях 1 и 3 (Q₁ = Q₃=Q ). Расход Q₂=0 при этом равен нулю.

 
 

2.2  Если у’ <  Н2, то имеет место распределение потоков в ветвях, соответствующее первому расчетному случаю: Q1+Q2 = Q3. 

2.2.1 Для определения расходов в этом случае следует построить кривую у = f(Q) для ветви 2 согласно второму уравнению системы (11.13)

,

H₂-y =0,0827λ₂(L²/d₂⁵)Q₂²

2.2.2 Затем сложить кривые, построенные для ветвей 1 и 2 согласно последнему уравнению той же системы(т.е.Q3 = Q1+Q2 (рис. 11.9).

2.2.3.Ордината и абсцисса  точки В пересечения суммарной кривой ветвей 1 и 2 с кривой ветви 3 дают  действительный напор в узле "Y" и расход Q3, равный в этом случае Q1 + Q2.

2.3. Если у’> Н2 (рис. 11.10), то имеет место распределение потоков в ветвях, соответствующее второму расчетному случаю Q1 = Q2+ Q3.

2.3.1 Для определения расходов  следует построить кривую у  = f(Q) для ветви 2 согласно второму уравнению системы y - H₂=0,0827λ₂(L²/d₂⁵)Q₂² и сложить кривые для ветвей З и 2 согласно последнему уравнению этой же системы.

2.3.2 Ордината и абсцисса  точки В пересечения суммарной кривой ветвей З + 2 и кривой, построенной для ветви 1, дают соответственно напор в узле "Y" и расход (2, равный в данном случае Q1=Q2 + Q3.

При графическом решении  отпадает необходимость в последовательных приближениях, так как характеристики можно строить с учетом изменения  коэффициентов сопротивлений в  зависимости от режимов движения жидкости в трубах.

Заметим, что в практике расчетов возможны такие постановки задач, при которых расчетная  система уравнений оказывается  неопределенной, и решение приобретает  неоднозначный характер.

Такой, например, является задача проектирования трубопровода с концевой раздачей (см. рис. 11.7), когда требуется определить размеры ветвей (обычно их диаметры) так, чтобы при заданных напорах в резервуарах обеспечить подачу из верхнего резервуара 1 в нижние резервуары 2 и 3 заданных расходов жидкости.

При этом можно видеть, что  в расчетной системе уравнений (2.13) число искомых неизвестных больше числа уравнений. Для решения задач такого типа используют дополнительные условия технико-экономического характера.