Шпаргалка по "Математическое моделирование химико-технологических процессов"

Нарушение адекватности возникает в силу ряда различных причин, например, из-за неэквивалентного преобразования моделей. При неадекватности модели применяются специальные приемы корректирования моделей, начиная с параметрического уровня с последующим переходом на структурный уровень.

Параметрическое корректирование модели заключается в целенаправленном изменении вектора параметров, так как считается, что структура модели сформирована правильно, исходя из знаний о структуре моделируемой системы, прошлого опыта, интуиции и т.п. Тогда корректирование модели на этом этапе состоит в поиске "оптимального" вектора параметров (параметрическая идентификация модели), при этом должна использоваться по возможности доступная информация.

Если после того, как  найден оптимальный вектор параметров, R остается достаточно большим , то есть модель по-прежнему нельзя считать адекватной, то проводят структурную идентификацию модели, то есть изменяют структуру, после чего вновь возвращаются на этап параметрической идентификации.

 

7. Непрерывный    способ    организации    технологических    процессов. Стационарные режимы работы.

 

Химико-технологическую систему (ХТС) непрерывного действия образуют взаимодействующие технологические аппараты, работающие в непрерывном режиме. В аппаратах протекают непрерывные технологические процессы, а взаимодействия аппаратов заключаются в непрерывном транспорте массы из одних аппаратов в другие и их взаимном обмене энергией, чаще всего — в форме теплоты. Нормальным режимом работы аппаратов является стационарный, при котором значения параметров технологических процессов не изменяются во времени. Изменения последних возможны только в периоды вывода системы на рабочий режим, ее останова или в предаварийных режимах. Структура системы, под которой понимается совокупность взаимодействий аппаратов, остается неизменной в течение всего срока работы системы.

 

8. Структурные   типы   химико-технологических   систем   непрерывного действия: разомкнутые и замкнутые системы.

 

Важной характеристикой систем непрерывного действия является тип их структуры. По этому признаку различают разомкнутые и замкнутые системы.

В разомкнутых системах входы следующих по ходу технологического потока аппаратов являются выходами только предыдущих аппаратов. В замкнутых системах, то есть содержащих рециклы, некоторые входы некоторых предыдущих аппаратов являются некоторыми выходами некоторых последующих. В системах непрерывного действия рециклические потоки присутствуют довольно часто, так как получить достаточно высокую степень завершенности какого-либо технологического процесса (например, конверсию исходного реагента) можно, либо увеличив размеры аппарата, либо организовав рецикл, причем второму способу отдается явное предпочтение.

Разомкнутые и замкнутые  системы могут иметь последовательную или разветвленную структуру. У систем с последовательной структурой входы произвольного аппарата являются выходами непосредственно предшествующего ему аппарата, а в системах с разветвленной структурой  связи между аппаратами более сложные.

Тип структуры системы  имеет принципиальное значение, так  как непосредственно влияет на метод ее расчета. В разомкнутых системах расчет аппаратов возможен непосредственно, так как к моменту расчета произвольного аппарата известны  все его входы. Трудность расчета замкнутых систем состоит в том, что для расчета некоторых предшествующих аппаратов необходимо знать выходы некоторых последующих, а для расчета этих последних требуется знать выходы некоторых предшествующих. Поэтому расчету систем, содержащих рециклы, должна предшествовать процедура их преобразования в эквивалентные разомкнутые.  Разомкнутая система S’ называется системой, эквивалентной замкнутой системе S, если при всех значениях входов обе системы имеют одинаковые значения выходов.

 

9. Технологические  аппараты  непрерывного   действия  с сосредоточенными и распределенными параметрами.

 

Технологические аппараты по признаку зависимости режимных параметров от пространственных координат могут быть отнесены к одному из следующих двух типов: аппараты с сосредоточенными параметрами и аппараты с распределенными параметрами. В первых значения режимных параметров одинаковы во всех точках объема аппарата, во вторых — изменяются по координатам: одной, двум или трем. Наиболее часто применяются аппараты с осевой симметрией (трубчатые реакторы, теплообменники, колонные аппараты для разделения), в которых изменение параметров происходит по одной (иногда — двум) координатам. Примером аппарата с сосредоточенными параметрами может служить реактор идеального смешения (РИС), аппарата с распределенными параметрами — реактор идеального вытеснения (РИВ). Модели технологических аппаратов состоят из систем уравнений балансов и физико-химических законов.

 

10. Структура и состав модели  химико-технологических систем непрерывного действия. Модели структуры системы и образующих ее технологических аппаратов.

 

математическая модель системы  должна состоять из математических моделей  образующих ее технологических аппаратов  или, что для аппаратов непрерывного действия не имеет значения, — протекающих в них технологических процессов, а также координирующей модели взаимодействия аппаратов или, иначе, — модели структуры системы. Структуру модели ХТС непрерывного действия можно представить в виде, изображенном на рис.1.

Математические  модели технологических аппаратов  связывают входы, выходы и состояния аппаратов и представляют собой совместные системы уравнений материального и энергетического (обычно - теплового) балансов и уравнений, выражающих физико-химические законы.

Математическая  модель структуры ХТС отображает взаимодействия аппаратов.

 

 

12. Анализ   статических   режимов   замкнутых   химико-технологических систем.     Преобразование     замкнутых     систем     в     эквивалентные разомкнутые.

 

 

Непосредственный расчет статических режимов ХТС, содержащих рециклы, невозможен, так как входы предшествующих аппаратов, являющиеся выходами последующих аппаратов, неизвестны до тех пор, пока не будет выполнен их расчет. Он же, в свою очередь, невозможен, так как их входы остаются неизвестными до тех пор, пока не будут рассчитаны все аппараты, им предшествующие. Для расчета статических режимов ХТС с рециклами производится их преобразование в эквивалентные им разомкнутые ХТС с последующим итерационным расчетом последних.

Для того, чтобы преобразовать  систему с рециклами в эквивалентную ей разомкнутую систему, нужно размыкать те потоки, суммарная размерность которых минимальна. Размерность потока – число его компонентов. Произвольно задаем вход, ставший неизвестным рослее размыкания, и проводим расчет. По окончании расчета проверяем соответствие заданного входа с полученным выходом в ходе расчета. При несовпадении задаемся новым значением входа и рассчитываем все заново до совпадения.  
13. Исследование динамических свойств химико-технологических систем непрерывного действия. Функциональные операторы – динамические модели химико-технологических систем.

 

Динамическую модель ХТС можно представить в виде функционального оператора , который ставит в соответствие множеству функций входа x₁(t), x₂(t), ..., x_m(t) множество функций выхода y₁(t), y₂(t), ..., y_n(t). Например, интегральный оператор ставит в соответствие каждой функции x(t) функцию y(t) согласно следующему правилу:

где функция Q(t,t), называемая ядром функционала, является характеристикой моделируемого объекта. Функция Q(t,t) получается в результате действия оператора А на функцию P(t,t).

зная реакцию линейной системы на произвольное стандартное  возмущение P(t,t), можно определить ее реакцию на входное возмущение произвольного вида x(t), для чего достаточно представить его в виде интеграла , что достигается подбором S(t).

В качестве функции P(t,t) выбираются стандартные функции, наиболее просто реализуемые экспериментально: d-функция (функция Дирака), h-функция (ступенчатое возмущение)

 

14. Линейные функциональные  операторы. Общий   и   интегральный принцип суперпозиции.

 

Методы исследования динамики хорошо разработаны только для линейных систем, то есть для таких, для которых справедлив принцип суперпозиции

при любых n,c₁,...,c_n; x₁(t),...,x_n(t) , где A — функциональный оператор. Выражение,  приведенное выше, означает, что воздействие оператора A на сумму функций x_i(t) равно сумме воздействий оператора A на функции x_i(t).

Для линейных систем справедливо выражение, называемое интегралом суперпозиции:

Выражение j(t,t) называется переходной матрицей (фундаментальной матрицей, характеристической матрицей или матрицантом). В скалярном случае j(t,t) называется переходной (характеристической) функцией линейной системы. Элемент j_ij(t,t)  переходной матрицы моделирует переходный процесс по i переменной состояния Z_i(t) от единичного начального условия по j переменной состояния Z_j(t₀)=1 при нулевых начальных условиях по остальным переменным состояния. Интеграл суперпозиции моделирует реакцию Z(t) на входной сигнал f(t) системы, описываемой уравнением состояния:

Таким образом, реакция линейной системы на любые входные возмущения при любых начальных условиях может быть определена следующим выражением:

а автономной системы, то есть не испытывающей внешнего воздействия, - выражением:

.

Интеграл суперпозиции справедлив для неавтономной (открытой) системы при нулевых начальных  условиях (Z₀=0).

 

15. Характеристические    функции    линейных    стационарных    систем: 
весовая, переходная и передаточная. Их связь.

 

Смысл принципа суперпозиции состоит в том, что, зная реакцию линейной системы на произвольное стандартное возмущение P(t,t), можно определить ее реакцию на входное возмущение произвольного вида x(t). В качестве функции P(t,t) выбираются стандартные функции, наиболее просто реализуемые экспериментально: d-функция (функция Дирака), h-функция (ступенчатое возмущение).

Реакция Q(t,t) линейной системы на стандартное возмущение P(t,t) характеризует динамические свойства системы и называется характеристической функцией. Вид характеристической функции зависит от вида стандартного возмущения. Реакция системы на d-функцию называется весовой; на h-функцию — переходной функцией. Передаточной функцией называется отношение преобразованных по Лапласу выхода к входу .

 

16. Виды и источники нелинейности функциональных операторов. Их линеаризация.

 

Так как принцип суперпозиции справедлив только для линейных систем, а ХТС, как правило, нелинейны, то необходимо выполнить линеаризацию исходных нелинейных операторов, то есть их замену линейными операторами. Нелинейность функциональных операторов может быть обусловлена либо ненулевыми начальными условиями, либо содержанием неизвестных функций в степени, отличной от единицы. Если нелинейность обусловлена ненулевыми начальными условиями, то линеаризация состоит в их замене нулевыми начальными условиями; если нелинейность обусловлена наличием нелинейных зависимостей между переменными, то необходимо заменить нелинейный оператор эквивалентным линейным.

Линеаризация нелинейного  оператора  – процедура его замены эквивалентным линейным оператором в том смысле, что каждая функция выхода оператора с помощью точного соотношения выражается через соответствующую выходную функцию линейного оператора . Любой оператор , задаваемый линейными дифференциальными уравнениями с ненулевыми начальными условиями можно свести к линейному оператору , задаваемому теми же самыми уравнениями, но с нулевыми начальными условиями

где - вектор-функция входа; - вектор-функция выхода; - нелинейная функция, являющаяся результатом воздействия оператора на нулевой вход.  
17. Модели химико-технологических систем в виде совместных систем обыкновенных дифференциальных  и  конечных  уравнений.  Индекс системы уравнений. Методы решения.

 

Статические модели аппаратов  с параметрами, распределенными  по одной координате и динамические модели аппаратов с сосредоточенными параметрами имеют вид совместных систем конечных и обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящих из двух подсистем, которые определим соответственно как “дифференциальную” и “конечную” подсистемы. Система имеет вид:

  

где z₁(t), z₂(t) — неизвестные вектор-функции состояния, x(t) — вектор-функция входа, являющаяся известной функцией времени t, z₁₀ –начальное состояние, f,g – известные функции.

Наиболее простой класс  совместных систем дифференциальных и  конечных уравнений соответствует  случаю, когда алгебраическая подсистема аналитически разрешима относительно “алгебраических” переменных, а дифференциальная подсистема — относительно производных  “дифференциальных” переменных. В этом случае может быть применен следующий метод решения совместной системы уравнений. Алгебраическая подсистема разрешается относительно алгебраических переменных, и полученное решение подставляется в дифференциальную подсистему. Таким образом, решение совместной системы сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.