Дифференциальные уравнения в экономических моделях

у = Y/L = F(K, L)/L = F ( K/L,1) = F(k, 1),

а если обозначим последнюю  функцию f(k), то получим y = f(k).

  

  Далее найдем производную от k по t:

 

dk/dt = d(K/L)dt = (K’L – KL’)/L² =  K’/L – K(L’/L²) = (ρY – μK)/L – Kv/L = ρy –

– (μ+ υ)k.

 Окончательно:

dk/dt = ρ f(k) - (μ + υ)k,    k(0) = k_o = K₀/L₀.                             (4)

 

   Поведение макропоказателей  модели (3) целиком определяется уравнением (4) и динамикой трудовых ресурсов L =L₀e^vt.

   Уравнение (4) —  это уравнение с разделяющимися переменными и начальным условием, поэтому оно имеет единственное решение. Исследуем некоторые специальные решения этого уравнения.

   

 

1.2.2. Стационарные  траектории в модели Солоу

    Рассмотрим стационарную траекторию, т.е. такую, на которой фондовооруженность к постоянна и равна своему начальному значению: k(t)= const = k⁰ ( поскольку таким постоянным значением может быть не всякое начальное)

   Такое  значение фондовооруженности называется  стационарным и на стационарной траектории dк/dt = 0.

   Рассмотрим, как на стационарной траектории  ведут себя макропоказатели К, L, С, I, К.

   Согласно  уравнению (4), если  dк/dt = 0 , то ρ f(k) - (μ + υ)k = 0, то есть k⁰ есть решение уравнения

ρ f(k) - (μ + υ)k = 0                                                   (5)

   Докажем, что это уравнение имеет решение.  Так как  f(k) = F(k, 1), то f’(k ) > 0, но f’(k) → 0 при k → ∞ (это следует из требований к производственной функции), то  f(k) — возрастающая функция, но темп ее роста замедляется. В то же время (μ + υ)k возрастает с постоянным темпом. Значит, если  ρ f’(0) >(μ + υ), то уравнение (5) имеет единственное решение  k⁰ при k> 0.

   Каковы же К, L, С, I, на стационарной траектории? Поскольку L (t)=L₀e^vt , a

 k = K(t)/L(t) , то  K(t) = k⁰L(t) = k⁰ L₀e^vt .

  Аналогично Y(t) = f(k⁰) L (t) = f(k⁰) L₀e^vt. 

   Далее, С(t) = (1-p) f(k⁰) L₀e^vt, I(t) = ρ f(k⁰) L₀e^vt.

   Сведем все вместе:

L (t) = L₀e^vt

K(t) = k⁰ L₀e^vt

Y(t) = f(k⁰) L₀e^vt

С(t) = (1-p) f(k⁰) L₀e^vt

I(t) = ρ f(k⁰) L₀e^vt

 

 

   Получаем вывод: на стационарной траектории все основные макропоказатели растут экспоненциально, пропорционально трудовым ресурсам(рисунок 2).

 

^{Рисунок 2.}

 

 

  Конкретизируем описанный общий случай применительно к производственной функции Кобба-Дугласа

F(K, L) = AK^αL^l-α ,    0 <α< 1.

  Поскольку при этом f(k) =F(k, 1) = Ak ^α , то уравнение (4) принимает вид:

dk/dt = ρAK^α   – (μ+ υ)k,  k (0) = k₀. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение приведено в приложении. Сделав замену переменной,  ввели новую функцию u(t).

   Таким образом,  окончательно, u(t)= ( k₀^{1- α} + A/(μ+υ)[e ^{(1- α) ( μ+υ)t} - 1] )^{1/(1- α )} . Следовательно, k(t) = u(t) e ^{- ( μ+υ ) t}

Видно, что lim k(t) = [ρA/(μ+υ)] ^{1/(1- α )} .  Но в нашем случае уравнение (5), т.е 

                    ^t→∞

 ρ f(k) - (μ + υ)k = 0 имеет вид ρAk ^α = (μ+υ)k и стационарное значение фондовооруженности для функции Кобба-Дугласа равно k ⁰ = [ρA / (μ+υ)] ^{1 / (1- α )}.

   Следовательно, при любом начальном значении k₀ фондовооруженность k(t) сходится к стационарному значению k⁰.

   Поскольку y(t) = Ak ^α то и производительность труда сходится к стационарному значению y⁰ = A [ρA / (μ+υ)] ^{α / ( 1- α )}.

 

 

 

   Поэтому и удельное потребление (на одного работающего) также сходится к стационарному значению:

      lim С(t)/L(t)  = lim (1 - ρ)y(t) = (1 - ρ ) A[ρA / (μ+υ)] ^{α /( 1- α )}.                                                                                                            

^{t→∞ t→∞}

   При исследовании модели в качестве критерия успешности развития экономики принимается величина удельного потребления. Найдем, при каком значении нормы накопления ρ предельное удельное потребление, равное, как мы увидели, удельному потреблению в стационарном режиме, максимально. Для этого продифференцируем эту величину удельного потребления:

(1 – ρ) A[ρA/(μ+υ)] ^{α /(1- α)}  по ρ и приравняем производную нулю:

 

((1 – ρ) A [ ρA / (μ+υ)] ^{α /(1- α)} )’_p = 0 ,

((1 – ρ) ρ ^{α /( 1- α)})’ = 0 .

Получим р* = α.

    Итак, оптимальная норма накопления в стационарном режиме равна коэффициенту эластичности по фондам («Золотое правило» экономического роста). Но это справедливо для производственной функции Кобба-Дугласа. Для

других производственных функций это правило, может быть другим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях

2.1.  Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений

  Класс дифференциальных уравнений, интегрирующихся в квадратурах, т.е. решения которых можно записать в виде интегралов, крайне узок, и, поэтому нужды теории и практики потребовали развитии методов нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений. Приведем некоторые основополагающие моменты этих методов.

  Надо отметить, что нахождение приближенного решения вручную весьма трудоемко, точность приближения получается недостаточной, и использование компьютера представляется неизбежным.

  Отметим также, что теперь, с развитием вычислительной техники, часто целесообразно применять приближенные методы даже в теx случаях, когда уравнение интегрируется в квадратурах. Более того, это целесообразно даже в тех редких случаях, когда решение выражается в элементарных функциях, так как использование таблиц значений этих функций (показательной, логарифмической, тригонометрических) оказывается более трудоемким, чем приближенное интегрирование уравнения на быстродействующем компьютере.

   Рассмотрим метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений. Это — один из самых старых и простых методов приближенного решения дифференциального уравнения dy/dx = f(x,y).

   Суть метода в том, что искомая интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку (х₀, у₀), заменяется ломаной линией, состоящей из прямолинейных отрезков и каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих точек (рисунок 3).

 

_{Рисунок 3}

 

   При применении этого метода для приближенного вычисления интегральной кривой на отрезке [a, b], а < b, этот отрезок разбивается на п равных частей точками а = х₀ < ... < х_п = b и h = - (b - а)/п является шагом вычисления. Будем обозначать приближенные значения искомого решения в точке х_i через у_i , а значение f(x_i , y_i) через у’_i .

   Для вычисления y_i заменим на отрезке [х₀, х₁] искомую интегральную кривую отрезком ее касательной в точке х₀ . Следовательно, y₁ = y₀ + y’₀h  , аналогично              y₂ = y₁ + y’₁h и так далее. Окончательно y_n = y_n-1 + y’_n-1h.

  Получается так называемая ломаная Эйлера. Естественно ожидать, что при

h → 0 ломаные Эйлера приближаются к графику искомой интегральной кривой и, следовательно, с уменьшением шага метод Эйлера дает все более точное значение решения на отрезке [a, b]. Это действительно так, если функция f(x,y) удовлетворяет некоторым, не очень ограничительным с практической точки зрения  условиям. Из-за своей простоты метод Эйлера довольно часто применяется на практике — ведь самым сложным в нем является вычисление значений у’_i= f(x_i , y_i). Однако при систематической нужде в нахождении приближенных решений приходится применять более точные методы.

 

 

2.2. Теорема существования и единственности решения

   Если в уравнении dy/dx = f(x, y) функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике

 

   D: {x₀ - а ≤ х ≤ x₀ + a, y₀ - b ≤у ≤y₀ + b} и удовлетворяет в прямоугольнике D условию Липшица³: | f(x, y₁) – f(x, y₂)| ≤ N • |y₁ – y₂|, где n — константа, то в некоторой окрестности точки х₀ существует единственное решение уравнения, проходящее через эту точку.

     Теорема гарантирует существование и единственность решения лишь в некоторой окрестности точки х₀. Однако если в граничной точке этой окрестности условия теоремы опять выполнены, то это решение может быть продолжено еще на некоторую окрестность уже этой граничной точки; в целом получится еще больший отрезок, чем первоначальный, и так далее.

    Что касается условия Липшица, то оно удовлетворяется, если, например, функция f(x, y) имеет в прямоугольнике D ограниченную частную производную по у.

  Доказательство этой теоремы основано в сущности на том, что в условиях теоремы ломаные Эйлера в пределе дадут интегральную кривую.

  В силу практической важности теория дифференциальных уравнений развита весьма хорошо. Примером теоремы о свойствах решений дифференциального уравнения является  теорема о дифференцируемости решений. Она говорит о том, что если некоторой окрестности точки f(x, y), т.е. в некотором прямоугольнике вокруг этой точки, функция у(х, у) имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно, то решение у(х) уравнения dy/dx = f (х, у), удовлетворяющее условию y(x₀) = y₀ (это решение существует по только что рассмотренной теореме), в некоторой окрестности точки x₀ имеет непрерывные производные до п-го порядка включительно.

 

2.3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения.

    Для возможности математического описания какого-нибудь реального явления неизбежно приходится упрощать его, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно ли выбраны упрощающие предположения. Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют на изучаемое явление, значительно меняя его количественные или даже качественные характеристики.

  Рассмотрим дифференциальное уравнение dy/dx = f (x, y) с начальным условием у(x₀)=у₀. Подобные начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью. Возникает вопрос о влиянии этих погрешностей на искомое решение.

   Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то такое решение обычно не имеет никакого прикладного значения и его нельзя применить для описания изучаемого явления. Если же малые изменения начальных данных лишь незначительно меняют само решение, то говорят, что имеет место непрерывная зависимость решений от начальных данных. Вопрос о непрерывной зависимости является практически важным.

В данном вопросе важное значение имеет теорема о непрерывной зависимости решения. При выполнении условий теоремы существования и единственности решения решение уравнения непрерывно зависит от начальных данных в некоторой окрестности точки (x_0, y₀).

  Обозначим через у (х, x₀ , y₀) единственное решение уравнения dy/dx = f(x, y), которое при х = x₀ принимает значение у₀; соответственно у(х, х , у ) обозначает решение, которое при х принимает значение у  ( ( х , у ) — точка, близкая к

(x_0, y₀).

   Из теоремы существования и единственности решения можно вывести, что найдется такая окрестность К точки (x_0, y₀), т.е. некоторый прямоугольник K, содержащий точку (x_0, y₀) внутри себя, и такая окрестность  I точки х₀ (т.е. отрезок I точки x₀ (т. е. отрезок I, содержащий точку x₀ внутри себя), что для любой точки ( х , у ) ∈ K), существует единственное решение у (х, х, у), проходящее через эту точку и определенное на окрестности I.

  Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных утверждает, что для любого  ε > 0 найдется такой прямоугольник Р ⊆ К, что как только ( х, у ) ∈ Р, то | y(x, x₀, y₀)-y (x, x, y)| < ε на всем отрезке I. То есть [если точка (х , у ) будет близка к точке (x_0, y₀), то соответствующие интегральные кривые тоже будут близки друг к другу на всем интервале I.

  Эта теорема о непрерывной зависимости решений от начальных условий  устанавливает такую зависимость на некотором интервале конечной длины вокруг начальной точки x₀. Если же исследуются подобные вопросы на бесконечном промежутке, то говорят об устойчивости решения. Понятие устойчивости является практически важным, неустойчивые решения в редких случаях представляют интерес на практике.

 

 

4. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков и системах дифференциальных уравнений

  Дифференциальные уравнение n-го порядка имеют вид F(x, у, у’, .,. , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 или, если они решены относительно старшей производной:

   y ^{(n) =} f (x, у, у’, .,. , y ^(n-1) )                                                (6)