Дифференциальные уравнения в экономических моделях

  Для таких уравнений также имеет место теорема существования и единственности решения.

  Уравнение (6) имеет единственное решение у(х), удовлетворяющее условиям если в окрестности начальных значений функция/является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго.

   Эта теорема есть точное обобщение соответствующей теоремы для дифференциальных уравнений 1-го порядка.

  Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется компактная запись всех решений уравнения. Для уравнения n-го порядка в этой записи будут присутствовать п параметров произвольных постоянных. В качестве этих параметров могут быть выбраны, например, значения при х = x₀ самой функции у и ее производных у', ..., y ^(n-1). В частности, общее решение уравнения 2-го порядка у" = f(x, у, у’) зависит от двух параметров с₁ и с₂, например, значений у и у' при х = х₀. Если же эти значения фиксировать, т.е. задать точку (x_0, y₀) и направление касательной к искомой интегральной кривой в точке x₀, то этими условиями определится единственная интегральная кривая исходного уравнения.

   Дифференциальное уравнение n-го порядка можно свести к системе  n дифференциальных уравнений 1-го порядка. В самом деле, обозначим у '  через у₁, у" через y₂, … , у^(n-1) через у_n-1  . Получим систему дифференциальных уравнений:

у ' = у₁

у '_{1 =} y₂

    _.

  _.

  _.

y’_n-1    = f (x, у, у₁, .,. , y _n-1 )

 

   Для этой системы также можно ввести понятие частного и общего решений, а также начальных условий. Начальные условия можно задавать значениями всех функций у, у₁, .,. , y _n-1 в некоторой точке х₀ т.е. это просто начальные условия исходного уравнения n-го порядка. Когда такое частное решение системы будет найдено, то функция у   будет искомым частным решением исходного уравнения n-го порядка.

   Верно и обратное: если дана произвольная система (3) дифференциальных уравнений 1-го порядка:

у '₁ = f₁(x, у, у₁, .,. , y _n )

у '_{2 =}  f₂ (x, у, у₁, .,. , y _n )

    _…

  _…

y’_n    = f_n (x, у, у₁, .,. , y _n )

 

то ее можно, исключив все неизвестные функции, кроме одной, свести к одному уравнению соответствующего порядка, которое, возможно, решить окажется проще.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

  В данной работе были рассмотрены экономические модели: Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара и динамическая односекторная модель Солоу экономического роста. Приведены их решения, при помощи аппарата дифференциальных уравнений.

   Надо отметить, что использование математического моделирования в экономике и управлении позволяет сделать более глубоким количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчёты. Математическая модель отличается по своей природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели удобнее, является более дешёвым, занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием, которое используется в технике (т.е. имеет ту же природу, что и оригинал). Более того, целый ряд экономических систем невозможно изобразить с помощью физических моделей.

    Так же в работе приведены некоторые сведения о дифференциальных уравнениях, в частности, был рассмотрен метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений. В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.

   Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи не следует существование решения соответствующей математической задачи. В работе рассмотрены значимые теоремы теории дифференциальных уравнений – существования, единственности решения, а так же дифференцируемости, устойчивости и непрерывной зависимости решений уравнения.  

   В заключение хотелось бы отметить, теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими науками и с ее приложениями.

 

 

Список использованной литературы

1. Малыхин В. И. Математика в экономике. Учебное пособие // Инфра – М –2000 – с.192-203.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения.

 

1. Решение уравнения (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решение уравнения (4) применительно к функции Кобба-Дугласа

¹Функция Кобба—Дугласа [Cobb—Douglas production function] — производственная функция, примененная американскими исследователями Ч. Коббом и П. Дугласом при анализе развития экономики США в 20—30-х гг. ХХ века.

Функция представляет собой зависимость  объёма производства  от создающих его факторов производства — затрат труда L  и капитала K. Общий вид функции:

Q = A • L ^α •K ^β

Где А — технологический коэффициент, α — коэффициент эластичности по труду, а β — коэффициент эластичности по капиталу.

²Предполагается, что производственная функция удовлетворяет двум аксиомам:

1) хотя бы на части  ее области определения, называемой  экономической областью Е, эта функция неубывающая, в этой области производная F'(x) неотрицательна. Она называется предельным продуктом;

2) существует выпуклое  подмножество S экономической области, для которой подмножества {х ∈ S: F(x) ≥ а} также выпуклы для всех а. В этом подмножестве вторая производная неположительна.

³ Липшицево отображение — отображение между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение f  метрического пространства (X, p_x) в метрическое пространство  (Y, p_y) называется липшицевым, если найдётся некоторая константа L (константа Липшица этого отображения), такая,  что

p_y(  f(x),  f( y ) ) ≤ L p_x ( x, y ) при любых x,y ∈X.

Это условие называют условием Липшица.