Динамические линейные модели экономики

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РОБОТОТЕХНИКИ

КАФЕДРА «ФИНАНСЫ,  ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

(1310.2.ЕН.Ф.01.03.03)

 По дисциплине «Математическое моделирование»

Динамические линейные модели экономики

 

 

 

 

 

 

ВЫПОЛНИЛ:

Студент гр.ЭФ-301                                                                     Ахмадуллина А.З.

 

РУКОВОДИТЕЛЬ:                                                                          Туктарова П.А.

 

 

 

Уфа 2014

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Кафедра Финансы, денежное обращение и экономическая безопасность

ЗАДАНИЕ

на курсовое проектирование по дисциплине  «Математическое моделирование»

Студент      Ахмадуллина А.З.    Группа ЭФ-301         Консультант Туктарова П.А.

1.Тема курсовой работы:  Динамические  линейные модели экономики  

__________________________________________________________________2.Основное содержание: Динамические линейные модели экономики и типы задач, решаемых с их помощью; Динамическая модель межотраслевого баланса , Модель Неймана, Численная реализация моделей.

3. Требования к оформлению

3.1. Пояснительная записка  должна быть оформлена в редакторе  Microsoft ® Word  в соответствии с требованиями                 ГОСТ

ЕСКД, ЕСПД, ГОСТ, СТП, др

В пояснительной записке должны содержаться следующие разделы:

1. Динамические линейные модели, и задачи решаемые с помощью их

2. Динамическая модель межотраслевого баланса, модель Неймана

3. Численная реализация  моделей 

3.2. Графическая часть  должна содержать:

□ текст программ

□ результаты расчетов

□ графическую интерпретацию результатов расчетов

Дата выдачи  06.03.2014                            Дата окончания  28.05.2014   

Руководитель ___________________________

План–график выполнения курсовой работы

 

Наименование этапа работ	Трудоем-кость выполнения, час.	Процент к общей трудоемкости выполнения	Срок предъявления консультанту
Получение и согласование задания	0,3	1	5 неделя
Анализ теоретических основ исследуемой темы	6	20	8 неделя
Выполнение задания к теме курсовой работы	9	30	10 неделя
Численная реализация исследуемых моделей	6	21	12 неделя
Анализ полученных решений	2	7	13 неделя
Оформление графических материалов	3,7	12	14 неделя
Составление и оформление курсовой работы и подготовка к защите	2,7	9	15 неделя
Защита	0,3	1	16 неделя
Итого	30	100

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………….5

1.Динамические линейные модели экономики…………………………..7

1.1.Примеры линейного динамического  программирования……………8

2.Динамическая модель межотраслевого баланса …………………….15

2.1.Модель Неймана……………………………………………………...17

3.Численная реализация моделей………………………………………24

Заключение………………………………………………………………30

Список использованной литературы……………………………………31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Динамические модели экономики — модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

В общем виде динамические модели экономики сводятся к описанию следующих экономических явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый “способ” говорит о том, что из набора ресурсов x можно в течение единицы времени произвести набор продуктов y), а также критерия оптимальности.

Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрела динамическая модель фон Неймана. Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики, к которым относятся динамические модели межотраслевого баланса, а также производственная функция, теория экономического роста.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Динамические линейные модели экономики

Исследование свойств общей системы линейных неравенств ведется с XIX в., а первая оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными ограничениями была сформулирована в З0-е годы XX в. Одним из первых зарубежных ученых, заложивших основы линейного программирования, является Джон фон Нейман, широко известный математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх. Среди отечественных ученых большой вклад в теорию линейной оптимизации внесли лауреат Нобелевской премии Л.В. Канторович, Н.Н. Моисеев, Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин и многие другие.

Линейное программирование традиционно считается одним из разделов исследования операций, который изучает методы нахождения условного экстремума функций многих переменных.

В классическом математическом анализе исследуется общая постановка задачи определения условного экстремума, однако в связи с развитием промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского сектора традиционных результатов математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем. Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование, т.е. формализованное описание изучаемого процесса и исследование его с помощью математического аппарата.

Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно более широкий спектр факторов, влияющих на поведение объекта, используя при этом по возможности несложные соотношения. Именно в связи с этим процесс моделирования часто носит многоэтапный характер. Сначала строится относительно простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются данной формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. При этом во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что значительное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями, а следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.

1. Примеры моделей линейного программирования:

Ниже будут рассмотрены несколько ситуаций, исследование которых возможно с применением средств линейного программирования. Так как основным показателем в этих ситуациях является экономический-- стоимость, то соответствующие модели являются экономико-математическими.

Задача о раскрое материалов. На обработку поступает материал одного образца в количестве d единиц. Требуется изготовить из него к разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам а1,..., ак. Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, при этом использование i-го способа (i=1,…,n) дает bij, единиц j-го изделия (j = 1,...,k).

Требуется найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Экономико-математическая модель этой задачи может быть сформулирована следующим образом. Обозначим xi-- число единиц материалов, раскраиваемых i-м способом, и x -- число изготавливаемых комплектов изделий.

Учитывая, что общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, получим:

(1)

Условие комплектности выразится уравнениями:

(j=1,…,k)(2)

Очевидно, что

xi0 (i=1,…,n)(3)

Целью является определить такое решение Х= (x1,…,xn), удовлетворяющее ограничениям (1)-(3), при котором функция F = x принимает максимальное значение. Проиллюстрируем рассмотренную задачу следующим примером Для изготовления брусьев длиной 1,5 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 200 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Чтобы сформулировать соответствующую оптимизационную задачу линейного программирования, определим все возможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев (табл. 1).

Таблица 1

Способ распила i	Число получаемых брусьев различной длины
	1,5	3,0	5,0
1	4	-	-
2	2	1	-
3	-	2	-
4	-	-	1

 

Обозначим через xi-- число бревен, распиленных i-м способом (i = 1.2, 3, 4); х --число комплектов брусьев.

С учетом того, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, оптимизационная экономико-математическая модель примет следующий вид

х > max

при ограничениях:

x1+x2+x3+x4=200

4x1+2x2=2x

x2+2x3=x

x4=2x

xi0 (i=1,2,3,4)

Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия. Пусть предприятие может выпускать n различных видов продукции. Для выпуска этих видов продукции предприятие использует М видов материально-сырьевых ресурсов и N видов оборудования. Необходимо определить объемы производства предприятия (т.е. его производственную программу) на заданном интервале планирования [0, Т], чтобы максимизировать валовую прибыль предприятия.

Далее будем полагать, что валовая прибыль есть выручка, полученная от реализации продукции за вычетом условно-постоянных и переменных затрат. Иными словами, необходимо максимизировать целевую функцию вида:

(4)

где ai -- цена реализации продукции вида i;

bi -- переменные затраты на выпуск одной единицы продукции вида i;

Zp -- условно постоянные затраты, которые будем предполагать независимыми от вектора х = (x1,..., xn).

При этом должны быть выполнены ограничения на объемы используемых материально-сырьевых ресурсов и время использования оборудования на интервале [0,T].

Обозначим через Lj(j = l,...,M) объем запасов материально-сырьевых ресурсов вида j, а через фk (k = 1,..., N) -- время, в течение которого может быть использовано оборудование вида k. Известно потребление материально-сырьевых ресурсов вида j на выпуск одной единицы продукции вида i, которое обозначим через lij (i = 1,..., n; j = 1,...,М). Известно также tik -- время загрузки одной единицы оборудования вида k изготовления одной единицы продукции вида i (i = 1,..., n; k = 1,..., N). Через mk обозначим количество единиц оборудования вида k (k=l,...,N).

При введенных обозначениях ограничения на объем потребляемых материально-сырьевых ресурсов могут быть заданы таким образом:

(j=1,…,M)(5)

Ограничения на производственные мощности задаются следующими неравенствами

k=1,…,N(6)

Кроме того, переменные

xi0 i=1,…,n (7)

Таким образом, задача выбора производственной программы, максимизирующей прибыль, заключается в выборе такого плана выпуск х = (х1...,хn), который удовлетворял бы ограничениям (5)-(7) и максимизировал бы функцию (4).

В некоторых случаях предприятие должно поставить заранее оговоренные объемы продукции Vt другим хозяйствующим субъектам и тогда в рассматриваемой модели вместо ограничения (1.7) может быть включено ограничение вида:

xt> Vt i= 1, ...,n.

Задача о диете. Рассмотрим задачу составления душевого рациона питания минимальной стоимости, которое бы содержало определенные питательные вещества в необходимых объемах. Будем предполагать, что имеется известный перечень продуктов из n наименований (хлеб, сахар, масло, молоко, мясо и т.д.), которые мы будем обозначать буквами F1,...,Fn. Кроме того, рассматриваются такие характеристики продуктов (питательные вещества), как белки, жиры, витамины, минеральные вещества и другие. Обозначим эти компоненты буквами N1,...,Nm. Предположим, что для каждого продукта Fi известно (i = 1,...,n) количественное содержание в одной единице продукта указанных выше компонент. В этом случае можно составить таблицу, содержащую характеристику продуктов:

F1,F2,…Fj…Fn

_____________

N1a11a12…a1j…a1N

N2a21a22…a2j…a2N

Niai1ai2…aij…aiN

Nmam1am2…amj…amN

Элементы этой таблицы образуют матрицу, имеющую m строк и n столбцов. Обозначим ее через A и назовем матрицей питательности. Предположим, что мы составили рацион х = (х1,x2,...,хn) на некоторый период (например, месяц). Иными словами, мы планируем каждому человеку на месяц х, единиц (килограммов) продукта F1,x2 единиц продукта F2 и т.д. Нетрудно вычислить, какое количество витаминов, жиров, белков и прочих питательных веществ получит человек за этот период. Например, компонента N1 присутствует в этом рационе в количестве