Динамические линейные модели экономики

a11x1+ a12x2+…+ a1nxn

поскольку согласно условию в x1 единицах продукта F1 согласно матрице питательности содержится a11x1 единиц компоненты N1; к этому количеству добавляется порция а12x2 вещества N1 из х2 единиц продукта F2 и т.д. Аналогично можно определить и количество всех остальных веществ Ni в составляемом рационе (х1,..., хn).

Допустим, что имеются определенные физиологические требования, касающиеся необходимого количества питательных веществ в Ni (i/ = 1,..., N) в планируемый срок. Пусть эти требования заданы вектором b = (b1...,bn), i-я компонента которого bi указывает минимально необходимое содержание компонента Ni в рационе. Это означает, что коэффициенты xi вектора х должны удовлетворять следующей системе ограничений:

a11x1+ a12x2+…+ a1nxn?b1

a21x1+ a22x2+…+ a2nxn?b2 (8)

am1x1+ am2x2+…+ amnxn?bm

Кроме того, из содержательного смысла задачи очевидно, что все переменные х1,...,хn неотрицательны и поэтому к ограничениям (8) добавляются еще неравенства

x1?0; x2?0;… xn?0; (9)

Учитывая, что в большинстве случаев ограничениям (8) и (9) удовлетворяет бесконечно много рационов, выберем тот из них, стоимость которого минимальна.

Пусть цены на продукты F1,...,Fn равны соответственно с1,…,cn

Следовательно, стоимость всего рациона х = (х1..., хn) может быть записана в виде

c1x1+ c2x2+…+ cnxn>min (10)

Окончательно формулировка задачи о диете заключается в том, чтобы среди всех векторов х = (x1,...,хn) удовлетворяющих ограничениям (8) и (9) выбрать такой, для которого целевая функция (10) принимает минимальное значение.

Транспортная задача. Имеется m пунктов S1,..., Sm производства однородного продукта (угля, цемента, нефти и т.п.), при этом объем производства в пункте Si равен ai единиц. Произведенный продукт потребляется в пунктах Q1...Qn и потребность в нем в пункте Qj составляет kj единиц (j = 1,...,n). Требуется составить план перевозок из пунктов Si (i = 1,...,m) в пункты Qj(j = 1,..., n), чтобы удовлетворить потребности в продукте bj, минимизировав транспортные расходы.

Пусть стоимость перевозок одной единицы продукта из пункта Si в пункт Qi равна cij. Будем далее предполагать, что при перевозке хij единиц продукта из Si в Qj транспортные расходы равны cijxij.

Назовем планом перевозок набор чисел хij ci = 1,..., m; j = 1,..., n, удовлетворяющий ограничениям:

xij?0, i=1,2,…,m; j=1,…,n (11)

Содержательный смысл уравнений (11) состоит в том, что из пункта Si при плане хij вывозится во все пункты Qj объем , который должен быть равен запасу ai. В пункт Qj поступает из всех пунктов Si суммарное количество продукта, которое в точности должно быть равно потребности bj.

При плане перевозок (хij) транспортные расходы составят величину

(12)

Окончательное формирование транспортной задачи таково: среди всех наборов чисел (хij), удовлетворяющих ограничениям (11), найти набор, минимизирующий (12).

 

 

2. Динамическая  модель межотраслевого баланса

Динамические модели межотраслевого баланса— частный случай динамических моделей экономики; основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей: напр., капитальных вложений и основных фондов (что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).

Единообразного метода решения этой задачи пока нет. В принципе она может решаться следующим образом (при условии, что в Д. м. МОБ, как и в статическом МОБ, связи принимаются линейными). В отличие от уравнений статического МОБ, где конечный продукт каждой отрасли представлен одним слагаемым, здесь он распадается на два — фонд накопления и фонд непроизводственного потребления.

Система уравнений в этом случае записывается так:

 
(i, j = 1, 2, ..., n),

где Mi — часть продукции i-й отрасли, идущая в фонд накопления (она не равна нулю только в т. н. фондообразующих отраслях — строительстве, машиностроении); wi — часть продукции i-й отрасли, выделяемая на непроизводственное потребление. Такие модели с разделением конечного продукта называются моделями леонтьевского типа(по имени американского экономиста В. Леонтьева).

Ту часть фонда накопления, которая передается  фондообразующей отраслью i в j-ю отрасль, обозначим Mij. Тогда общий объем капитальных вложений, направляемых в j-ю отрасль, определяется по формуле

Отсюда, зная коэффициент фондоотдачи в j-й отрасли, можно вычислить прирост ее валовой продукции. Таким образом, получаем описание цикла воспроизводства (обычно за один год) — от создания фондов до выявления возросших в результате их использования производственных возможностей.

Конечно, здесь допущено много нереалистичных упрощений (напр., новые средства производства немедленно дают продукцию, тогда как в действительности для этого требуется существенный лаг). Но модель показывает, что для управления процессом решающее значение имеет соотношение между фондом накопления и фондом потребления конечной продукции.

Отечественными экономистами были разработаны разные типы Д. м. МОБ, в том числе более сложные, но зато и более адекватно описывающие динамику экономического развития (хотя и здесь еще упрощения существенны).

Во-первых, модели с обратной рекурсией, в которых балансы производства и распределения продукции за последний год планового периода сочетаются с уравнениями потребности в капитальных вложениях за весь плановый период. На втором этапе решения такой модели показатели производства продукции и капитальных вложений распределяются по всем годам планового периода в направлении от последнего года к первому (откуда и название модели).

Во-вторых, модели поэтапного расчета объемов производства продукции и капитальных вложений для каждого года планового периода. Они представляются обычно как совокупность балансов производства продукции и капитальных вложений, потребность в которых для будущих лет устанавливается путем нормирования незавершенного строительства.

В-третьих, модели с явным учетом лага капитальных вложений, в которых показана прямая и обратная их связь во времени с показателями производства продукции. С одной стороны, объемы продукции отраслей, создающих средства производства (фондосоздающих), зависят от тенденций развития производства в будущем. С другой стороны, потребность в приросте фондов в данном году во многом зависит от их динамики в прошлом. Модели с явным учетом лага капитальных вложений точнее других отражают процессы воспроизводства, но они и сложнее по структуре. Кроме того, их трудно обеспечить необходимой информацией.

Укрупненная 18-отраслевая Д. м. МОБ практически применялась бывш. Госпланом СССР при разработке наметок основных показателей долгосрочного социального и экономического развития страны. Расчеты по этой модели отражали физический рост объемов производства и отраслевое распределение производственных ресурсов (капитальные вложения, численность занятых, структура материального производства, распределение продукции отдельных отраслей для текущего производственного потребления, производственного и непроизводственного накопления, непроизводственное потребление, внешнеторговый оборот и т. д.).

В стране, отказавшейся от централизованного директивного планирования, подобные модели могут использоваться в прогнозных и аналитических расчетах, что подтверждается опытом ученых-экономистов в США и др. странах.

2.1 Модель Неймана

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:  
 
1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;  
 
2.производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;  
 
3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;  
 
4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;  
 
5. цены товаров изменяются во времени.  
        Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале [0,Т] с точками t=0,1,……,Т рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.  
         Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через ytJ (  
j=1,…,m). Заметим, что ytJ является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и ytJ  ≥0.  
Предположим, что функционирование j-го процесса (  
j=1,…,m) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве а1j ,  а2j ,  ….  ,    аnj ,  и дает выпуск товаров в количестве  
b1j ,  b2j ,  ….  ,    bnj .   
           Введем обозначения аj = (а1j ,  а2j ,  ….  ,    аnj ), bj = (b1j ,  b2j ,  ….  ,    bnj). Пара (аj ,  
bj) характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару(аj ,  
bj)  можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности  ytJ  соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как (аj ytJ  ,  bj ytJ) . Поэтому последовательность пар 
 (а1 ,  b1) ,  (а2 ,  b2) ,  …….   ,  (аm ,  bm)   
представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами. 

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами  
         а11       а12  ….  а1m 

         а21       а22  ….  а2m    
А =  …    …   …    …

        аn1       аn2  ….  аnm        ,

 

     

          b11       b12  ….  b1m 

          b21       b22  ….  b2m    
В =     …    …   …    … 
          bn1       bn2  ….  bnm     

 

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор  называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами   :  
                  
       Говорят, что в производственном процессе    базисные процессы участвуют с интенсивностями    . Как видно из, неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной. Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов  
,                                                                                 
 
которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин   . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а   интерпретировать как вектор валового выпуска, то превращается в леонтьевскую технологию.  
       Продолжим описание модели Неймана. Затраты      в момент t не могут превышать выпуска     , соответствующего предыдущему моментуt-1 

Время	…	t-1	t	t+1	…
Затраты
Выпуск

 

 

Поэтому должны выполняться условия:  
                                                                                                где   - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.  
Обозначим через  , вектор цен товаров. Неравенство можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть:                                                                                        Прибыль базисного процесса    на отрезке [t-1,T] равна величине 
   , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как   , а выручку - как  .

Время	…	t-1	t	t+1	…
Издержки
Выручка

 

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если    , неприбыльны, если                                                                                         
         В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен"  ,  т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.  
         Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. При равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс. Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство является отражением этого факта. Поэтому, если в для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:  
 
 
то должно быть   . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью.  
Отсюда                                                                                  
         Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений:  
  
 
   
 
                                                                                         
где     и       - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Численная реализация моделей.