Контрольная работа по "Эконометрике"

Определим стандартную ошибку прогноза по формуле:

 

 

 

 

Проведём промежуточные расчёты:

 

 

 

 

 

 

 

yi			xi
110	105,93	16,598	10	400
75	84,63	92,730	20	100
100	95,28	22,299	15	225
80	73,98	36,223	25	25
60	63,33	11,111	30	0
55	52,69	5,358	35	25
40	42,04	4,150	40	100
80	52,69	746,099	35	25
60	73,98	195,482	25	25
30	42,04	144,890	40	100
40	31,39	74,151	45	225
30	42,04	144,890	40	100
Сумма	–	1130,05	–	1350

 

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228

Доверительный интервал прогноза для индивидуального  значения y_p:

(y_p - m_y · t_кр ; y_p + m_y · t_кр) = (37,762 – 11,5964·2,228; 37,762 + 11,5964·2,228) =

= (11,9252; 63,5988)

 

Таким образом, при потреблении блага в количестве 42 с вероятностью 95% можно прогнозировать значение его цены блага в интервале  от 11,9252 до 63,5988.

 

2) Найдём  коэффициент автокорреляции временного  ряда y_t

 

Коэффициент автокорреляции определяется также, как  и обычный коэффициент корреляции, только вычисляется корреляция между  различными уровнями временного ряда. Коэффициент автокорреляции второго  порядка рассчитывается по следующей  формуле:

 

 

 

 

 

Коэффициент автокорреляции первого порядка  равен 0,49618.

 

Задача 13. В следующей выборке  представлены данные по количеству (Y)  и цене (Х) блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно  в течение года:

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Х	10	20	15	25	30	35	40	35	25	40	45	40
Y	110	75	100	80	60	55	40	80	60	30	40	30

2.1. Найти  с надежностью 0.95 интервальную  оценку остаточной дисперсии  и пояснить её смысл. Известно, что:=360; =12150; =760; =55750; =19925.

2.2. Для  временного ряда y_t найти эмпирическое уравнение регрессии (тренда) полагая, что тренд описывается показательной функцией у=*ε и проинтерпретировать полученный результат. Известно, что: =48,76; =200,29; =78; =650; =302,33.

 

 

Решение.

1) Истинное  значение дисперсии _{и её выборочная оценка S² соответствуют следующему правилу:}

 

Рассчитаем  остаточную дисперсию. Необходимо сначала  определить вид уравнения регрессии. Если она линейна, тогда параметры  определяются по формулам:

 

 

 

 

 

Уравнение регрессии имеет вид: Y = 127.222 – 2.13 X

_{Рассчитаем  остаточную дисперсию  по формуле:}

S²_ост =

 

yi
110	105,93	16,598
75	84,63	92,730
100	95,28	22,299
80	73,98	36,223
60	63,33	11,111
55	52,69	5,358
40	42,04	4,150
80	52,69	746,099
60	73,98	195,482
30	42,04	144,890
40	31,39	74,151
30	42,04	144,890
Сумма	–	1130,05

 

S²_ост =

Определим квантили распределения χ2 на уровне 0,05 и 0,95 при числе степеней свободы, равном 10: χ²_0,05 = 3,94; χ²_0,95 = 18,307

Тогда доверительный  интервал для остаточной дисперсии:

σ² Є (1130,5 / 18,307; 1130,5 / 3,94) = (61,752; 286,93)

Таким образом, с вероятностью 0,95 остаточная дисперсия  будет находиться в пределах от 61,752 до 286,93.

 

2) Параметры  показательной функции могут  быть рассчитаны следующим образом: 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение показательной функции имеет  вид:

 

Задача 14. Дана таблица:

	1	2	3	4	5	6
	1	0	4	3	2	5
	- 0,2	- 0,1	0,5	0,4	0,3	- 0,9

Здесь: - номер наблюдения; - значение независимой переменной; - значение остатка.

Требуется: 1) оценить наличие гетероскедастичности графически; 2) оценить наличие гетероскедастичности с помощью теста Спирмена.

 

Решение.

 

1) Оценим  наличие гетероскедастичности графически. Построим график, где по оси  абсцисс отложим остатки, а  по оси ординат – значения  Х. 

 

 

По виду графика остатков можно сделать  вывод о линейной или логарифмической  зависимости между остатками  и значениями Х, если не брать в  расчёт выброс в нижней правой части  графика.

 

 

 

2) Проверим  наличие гетероскедастичности, используя  тест Спирмена.

Рассчитаем  ранги остатков и ранги значений Х, а затем выражение:

d_i² = (rang (x) – rang (e))²

 

 

x	e	rang (x)	rang (e)	di2
1	-0,2	2	2	0
0	-0,1	1	3	4
4	0,5	5	6	1
3	0,4	4	5	1
2	0,3	3	4	1
5	-0,9	6	1	25

 

d_i² = 0 + 4 +1 + 1 + 1 + 25 = 32

Оценка  гетероскедастичности с помощью  теста ранговой корреляции Спирмена заключается в расчёте коэффициента ранговой корреляции по формуле:

Рассчитаем  его: r_x,e = 1 – (6 · 32) / (6³ – 6) = 0,0857

 

Проверим  значимость коэффициента:

tr_x,e =

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 4) = 2,776445

|tr_x,e| < t_кр. (0,05; 4), следовательно, гипотеза о равенстве коэффициента нулю принимается. Гетероскедастичность в модели отсутствует.

 

Задача 15. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Применить  тест ранговой корреляции Спирмэна для оценки гетероскедастичности линейного уравнения регрессии Y на Х при 5% уровне значимости. Известно, что: =132.

2.2. Для  временного ряда y_t оценить значимость коэффициента регрессии β₁ с использованием t-критерия, полагая тренд линейным при уровне значимости α=0,05. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

Решение.

 

1) Оценка  гетероскедастичности с помощью  теста ранговой корреляции Спирмена  заключается в расчёте коэффициента  ранговой корреляции по формуле: 

Рассчитаем  его: r_x,e = 1 – (6 · 132) / (10³ – 10) = 0.2

 

Проверим  значимость коэффициента:

tr_x,e =

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 8) = 2,306

tr_x,e < t_кр. (0,05; 8), следовательно, гипотеза о равенстве коэффициента нулю принимается. Гетероскедастичность в модели отсутствует.

 

2) Рассчитаем  коэффициенты уравнения линейного  тренда.

 

 

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 17,6 – 1,456t

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_x =

Проводим  промежуточные расчёты:

ti		yi
1	16	20,1	16,15	15,595
2	9	18	14,70	10,922
3	4	10,3	13,24	8,640
4	1	12,5	11,78	0,513
5	0	6	10,33	18,731
6	1	6,8	8,87	4,294
7	4	2,8	7,42	21,311
8	9	3	5,96	8,765
9	16	8,5	4,50	15,961
10	25	8	3,05	24,512
∑ xi =		∑yi =
55	85	96	96	129,244

 

S_ост =

S_t =

Стандартная ошибка коэффициента β1:

 

 

t-статистика коэффициена β1:

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 8) = 2,306

|t_β1| > t_кр. (0,05; 8), следовательно, коэффициент β₁ на уровне значимости 0,05 следует признать статистически значимым.