Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача 16. Дана таблица:

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	- 1	2	-2	3	- 3	3	-3

Здесь: - номер наблюдения, ; - значение остатка.

Требуется: 1) оценить наличие автокорреляции графически; 2) оценить наличие автокорреляции с помощью теста Дарбина- Уотсона.

 

Решение.

 

1) Построим  график, где на оси абсцисс  отметим величину e_i, а на оси ординат – величину e_i-1

 

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	- 1	2	-2	3	- 3	3	-3
ei-1	–	1	-1	2	-2	3	-3	3

 

График  будет иметь следующий вид:

 

 

По виду графика видно, что между остатками  наблюдается взаимосвязь, близкая  к линейной. Следовательно, следует  признать наличие автокорреляции.

 

2) Оценим  наличие автокорреляции с помощью  теста Дарбина–Уотсона. Необходимо  рассчитать статистику:

 

Проведем  промежуточные расчёты:

 

 

i	ei	ei-1	ei2	(ei - ei-1)2
1	1	–	1	-
2	-1	1	1	4
3	2	-1	4	9
4	-2	2	4	16
5	3	-2	9	25
6	-3	3	9	36
7	3	-3	9	36
8	-3	3	9	36
Итого	0	3	46	162

 

 Статистика  Дарбина-Уотсона: d = 162 / 46 = 3,52174

На уровне значимости 0,05 критические значения критерия Дарбина-Уотсона равны:

d_l = 0.8, d_u = 1.3; 4 – d_l = 3.2; 4 – d_u = 2.7

d > 4 - d_L, следовательно, гипотеза о независимости остатков отвергается. Присутствует отрицательная автокорреляция.

 

Задача 17. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Оценить  на уровне значимости α=0.05 значимость  линейного уравнения регрессии  Y на Х с использованием F критерия и пояснить его смысл. Известно, что:                      .

2.2.. Для  временного ряда y_t выявить на уровне значимости 0.05 наличие автокорреляции остатков с использованием критерия Дарбина-Уотсона. Известно, что: =129,2;       =141,8.

1) Оценим коэффициент детерминации  между переменными Y и X.

Коэффициент детерминации определяется как квадрат  коэффициента корреляции, который можно  найти по следующей формуле:

 

 

 

 

 

 

Тогда коэффициент  детерминации: R² = r²_ty = (0,9642)² = 0,93

Проверим  значимость коэффициента детерминации по критерию Фишера:

 

Критическое значение критерия Фишера: F_кр. (0,05; 1; 8) = 5,318

F < Fкр. (0,05; 1; 8), следовательно, коэффициент детерминации и уравнение в целом следует признать статистически незначимыми.

2) Рассчитаем значение критерия  Дарбина-Уотсона: 

d = 141,8 / 129,2 = 1,0975

На уровне значимости 0,05 критические значения критерия Дарбина-Уотсона равны:

d_l = 0.8, d_u = 1.33

Выполняется условие: d_L < d < d_U, следовательно,  гипотеза о независимости остатков не может быть отвергнута или принята

 

Задача 18. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Оценить  95%-ный доверительный интервал для индивидуального значения прибыли компании при прибыли другой компании равной 5% для линейного уравнения регрессии Y по Х и пояснить его смысл. Известно, что:    .

2.2. Для  временного ряда y_t найти коэффициент автокорреляции (для лага τ=1). Известно, что: =75,9; =821,7; =88; =1161,7; =912,7.

 

Решение.

1) Определим  уравнение линейной регрессии  Y по Х: 

 

 

 

 

 

Уравнение регрессии имеет вид: Y = –0,4318 + 1,09 X

Построим  точечный прогноз для Хр = 5: Yp = –0,4318 + 1,09 · 5 = 5,0182

Определим доверительный интервал. Для этого  необходимо рассчитать стандартную  ошибку прогноза по формуле:

 

Проведём  промежуточные расчёты:

yi			xi
20,1	20,50	0,163	19,2	94,52
18	16,80	1,448	15,8	39,97
10,3	13,20	8,400	12,5	9,13
12,5	10,80	2,892	10,3	0,68
6	5,78	0,047	5,7	14,27
6,8	5,89	0,823	5,8	13,53
2,8	3,38	0,342	3,5	35,73
3	5,24	5,010	5,2	18,30
8,5	7,53	0,944	7,3	4,74
8	6,87	1,268	6,7	7,72
Сумма	–	21,34	–	231,57

 

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 8) = 2,306

Доверительный интервал прогноза для индивидуального  значения y_p:

(y_p - m_y · t_кр ; y_p + m_y · t_кр) = (5,0182 – 1,779 · 2,306; 5,0182 + 1,779 · 2,306) = (0,918; 9,123)

Таким образом, с вероятностью 95% можно прогнозировать значение прибыли компании Y в интервале от 0,918 до 9,123.

 

2) Оценим  коэффициент автокорреляци первого  порядка. 

 

Коэффициент автокорреляции определяется также, как  и обычный коэффициент корреляции, только вычисляется корреляция между  различными уровнями временного ряда. Коэффициент автокорреляции первого  порядка рассчитывается по следующей  формуле:

 

 

 

 

 

 

Коэффициент автокорреляции первого порядка  равен 0,7292.

 

Задача 19. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для равносторонней гиперболы  у=β₀+β₁/x+ε. Известно, что: .

2.2. Для  временного ряда y_t оценить с надежностью 0.95 доверительный интервал для коэффициента регрессии β₁, полагая тренд линейным. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

Решение.

 

1) Для  равносторонней гиперболы коэффициенты  уравнения могут быть найдены  по следующим формулам:

 

 

 

 

 

Уравнение равносторонней гиперболы будет  иметь вид: Y = 19,78 – 72,46 / x

 

2) Оценим  доверительный интервал для коэффициента  регрессии β₁. Сначала определим уравнение тренда. Его коэффициенты определяются по формулам:

 

 

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 17,6 – 1,456 · t

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_x =

Проводим  промежуточные расчёты:

ti		yi
1	16	20,1	16,15	15,595
2	9	18	14,70	10,922
3	4	10,3	13,24	8,640
4	1	12,5	11,78	0,513
5	0	6	10,33	18,731
6	1	6,8	8,87	4,294
7	4	2,8	7,42	21,311
8	9	3	5,96	8,765
9	16	8,5	4,50	15,961
10	25	8	3,05	24,512
∑ ti =		∑yi =
55	85	96	96	129,244

 

S_ост =

S_t =

Стандартная ошибка коэффициента β1:

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 8) = 2,306

Доверительный интервал для коэффициента β₁: (β₁ – ₎

(β₁ – _{)= (–1,456 – 0,436·2,306; –1,456 + 0,436·2,306) =}

= (–2,4614; –0,4506)

Таким образом, с вероятностью 0,95 коэффициент β₁ будет находиться в пределах от          –2,4614 до –0,4506.