Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Задача 20. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для показательной функции у=*ε. Известно, что: =20.8; =47.2; =218.7; .

2.2. Для  временного ряда y_t оценить коэффициент детерминации R² между переменными Y и t, полагая тренд линейным и дайте интерпретацию полученного результата. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

Решение.

1) Параметры  показательной функции могут  быть рассчитаны следующим образом: 

 

 

 

 

 

Уравнение показательной функции имеет  вид:

 

2) Оценим  коэффициент детерминации для  временного ряда y_t

 

Коэффициент детерминации определяется как квадрат  коэффициента корреляции, который можно  найти по следующей формуле:

 

 

 

 

 

Тогда коэффициент  детерминации: R² = r²_ty = (–0,349)² = 0.1218

 

Коэффициент детерминации показывает, что линейное уравнение тренда объясняет лишь 12,18% вариации прибыли компании Y в  зависимости от времени, остальные 87,82% объясняются другими факторами.

Задача 21. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для полулогарифмической функции  у=β₀+β₁lnx+ε. Известно, что: =227.2; =20.9; =46.1.

2.2. Для  временного ряда y_t построить 95%-ный доверительный интервал для индивидуального значения количества прибыли компании при t_p=13, полагая тренд линейным. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

Решение.

 

1) Коэффициенты  уравнения полулогарифмической  регрессии могут быть определены  по следующим формулам:

 

 

 

 

_{Таким образом, уравнение  полулогарифмической  регрессии будет  иметь вид:}

у = –4,5935 + 7,011 · lnx

 

2) Определим  доверительный интервал.

Сначала построим уравнение линейного тренда для Y:

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 17,6 – 1,456t

Построим  точечный прогноз для t_р = 13: Yp = 17.6 – 1.456 · 13 = –1.32

Определим доверительный интервал. Для этого  необходимо рассчитать стандартную  ошибку прогноза по формуле:

 

Проведём  промежуточные расчёты:

yi			xi
20,1	16,15	15,595	1	20
18	14,70	10,922	2	12,25
10,3	13,24	8,640	3	6,25
12,5	11,78	0,513	4	2,25
6	10,33	18,731	5	0,25
6,8	8,87	4,294	6	0,25
2,8	7,42	21,311	7	2,25
3	5,96	8,765	8	6,25
8,5	4,50	15,961	9	12,25
8	3,05	24,512	10	20,25
Сумма	-	129,24	-	62,25

 

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 8) = 2,306

Доверительный интервал прогноза для индивидуального  значения y_p:

(y_p - m_y · t_кр ; y_p + m_y · t_кр) = (–1.32 – 5.8635 · 2,306; –1.32 + 5.8635· 2,306) = (-14.84; 12.203)

Таким образом, с вероятностью 95% можно прогнозировать значение прибыли компании Y в 13-м периоде в интервале от –14.84 (т.е. убытка) до 12,203.

 

Задача 22. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Построить  эмпирическое уравнение регрессии  для функции у=β₀+β_{1+ε. Известно, что:} =29.3;  =92;    =322.6.

2.2. Для  временного ряда y_t оценить с надежностью 0.95 доверительный интервал для коэффициента β₀, полагая тренд линейным. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

1) Найдём  коэффициенты уравнения вида:  у = β₀+β₁

Для этого  используются следующие формулы:

 

 

 

 

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь  вид: у = –10,0826 + 6,7176

 

2) Рассчитаем  коэффициенты уравнения линейного  тренда.

 

 

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 17,6 – 1,456t

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_x =

Проводим  промежуточные расчёты:

ti		yi
1	16	20,1	16,15	15,595
2	9	18	14,70	10,922
3	4	10,3	13,24	8,640
4	1	12,5	11,78	0,513
5	0	6	10,33	18,731
6	1	6,8	8,87	4,294
7	4	2,8	7,42	21,311
8	9	3	5,96	8,765
9	16	8,5	4,50	15,961
10	25	8	3,05	24,512
∑ xi =		∑yi =
55	85	96	96	129,244

 

S_ост =

S_t =

 

Определим стандартную ошибку коэффициента β₀

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (1 – α; n – 2) = tкр. (0,05; 10) = 2,228

Доверительный интервал для коэффициента β₀: (β₀ – ₎

(β₀ – _{) = (17,6 – 2,7055·2,228; 17,6 + 2,7055·2,228) =}

= (11,5722; 23,6278)

Таким образом, с вероятностью 0,95 коэффициент β₀ будет находиться в пределах от 11,5722 до 23,6278.

 

Задача 23. Имеются данные за 10 лет  по прибылям Х и Y (в %) двух компаний:

год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	19.2	15.8	12.5	10.3	5.7	5.8	3.5	5.2	7.3	6.7
Y	20.1	18.0	10.3	12.5	6.0	6.8	2.8	3.0	8.5	8.0

2.1. Оценить  95%-ный доверительный интервал для среднего значения количества прибыли компании при прибыли другой компании равной 5% для линейного уравнения регрессии Y по Х и пояснить его смысл. Известно, что:.

2.2. Для  временного ряда y_t оценить значимость коэффициента регрессии β₀ с использованием t-критерия, полагая тренд линейным при уровне значимости α = 0,05. Известно, что: =96; =1225.7; =55; =385; =407,9.

 

Решение.

1) Построим  уравнение линейной регрессии  Y по Х. Его коэффициенты рассчитываются  по формулам:

 

 

 

 

Уравнение регрессии имеет вид: Y = –0,4318 + 1,09 X

Определим дисперсию остатков:

 

 

 

 

 

 

 

 

yi
20,1	20,50	0,163
18	16,80	1,448
10,3	13,20	8,400
12,5	10,80	2,892
6	5,78	0,047
6,8	5,89	0,823
2,8	3,38	0,342
3	5,24	5,010
8,5	7,53	0,944
8	6,87	1,268
Сумма	–	21,34

 

 

Среднее значение Х:

Доверительный интервал для среднего определяется следующим образом:

() = (8.684; 9.716)

 

2) Рассчитаем  коэффициенты уравнения линейного  тренда.

 

 

 

 

Уравнение тренда имеет вид: Y = 17,6 – 1,456t

Рассчитаем  стандартную ошибку коэффициента . Определим остаточное среднеквадратическое отклонение и среднеквадратическое отклонение для Х:

– среднеквадратическое отклонение остатков: S_ост =

– среднеквадратическое отклонение Х: S_x =

Проводим  промежуточные расчёты:

 

 

 

ti		yi
1	16	20,1	16,15	15,595
2	9	18	14,70	10,922
3	4	10,3	13,24	8,640
4	1	12,5	11,78	0,513
5	0	6	10,33	18,731
6	1	6,8	8,87	4,294
7	4	2,8	7,42	21,311
8	9	3	5,96	8,765
9	16	8,5	4,50	15,961
10	25	8	3,05	24,512
∑ ti =		∑yi =
55	85	96	96	129,244

 

S_ост =

S_t =

 

Определим стандартную ошибку коэффициента β₀

 

Критическое значение критерия Стьюдента: tкр. (0,05; 10) = 2,228