Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                     

Содержание

 

 

Введение……………………………………………………………………………3

Теоретическая часть

Дать определение метода наименьших квадратов, его геометрическую интерпретацию……………………………………………………………………4

Практическая часть

Вариант № 1………………………………………………………………………10

Заключение……………………………………………………………………….23

Приложение 1…………………………………………………………………….24

Приложение 2…………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей.

 Целью изучения дисциплины «Эконометрика» является формирование умений и навыков в использовании количественных данных, в моделировании поведения экономических агентов, построения эконометрических моделей, принятия решений о спецификации и идентификации моделей, выборе метода оценки параметров модели, интерпретации результатов, получения прогнозных оценок.

 Эконометрика активно используется для прогнозирования экономических процессов как в масштабах экономики в целом, так и на уровне отдельных предприятий.

Целью контрольной работы по дисциплине является систематизация полученных знаний, проверка усвоения программного материала и закрепление полученных знаний, овладение навыками практического применения  эконометрических моделей.

Актуальность работы состоит в том, что современная эконометрика есть быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Иными словами, эконометрика изучает конкретные количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Значение такого подхода в условиях современного микро- и макроэкономического развития переоценить не представляется возможным.

Задачами контрольной работы являются знакомство с экономическими характеристиками предприятия, изучение ценовой политики предприятия;  овладения   методами   прогнозирования   и   обоснования уровней, структуры и соотношения цен;  развитие практических навыков методологии разработки стратегии ценообразования предприятия.

Теоретическая часть

 

Определение метода наименьших квадратов, его геометрическая интерпретация

 

 

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

До начала XIX в. учёные не имели опредёленных правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных менее числа уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Лежандру (1805—06) и Гауссу (1794—95) принадлежит первое применение к решению указанной системы уравнений теории вероятности, исходя из начал, аналогичных с началом арифметической середины, уже издавна и, так сказать, бессознательно применяемых к выводам результатов в простейшем случае многократных измерений. Как и в случае арифметической середины, вновь изобретённый способ не даёт, конечно, истинных значений искомых, но даёт зато вероятнейшие значения. Этот способ распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Лапласа, Энке, Бесселя, Ганзена и др. и получил название метода наименьших квадратов, потому что после подстановки в начальные уравнения неизвестных величин, выведенных этим способом, в правых частях уравнений получаются если и не нули, то небольшие величины, сумма квадратов которых оказывается меньшей, чем сумма квадратов подобных же остатков, после подстановки каких бы то ни было других значений неизвестных. Помимо этого, решение уравнений по способу наименьших квадратов даёт возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, то есть даёт величины, по которым судят о степени точности выводов.

В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из распространенных приемов построения таких формул является метод наименьших квадратов. Изложим идею этого способа, ограничиваясь случаями линейной и квадратичной зависимости. Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y , например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции. Произведем обследование n видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы:

x	x 1	x 2	...	x n
y	y 1	y 2	...	y n

 

Из анализа таблицы нелегко обнаружить наличие и характер зависимости между x и y . Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки, взятые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить, что между x и y существует линейная зависимость

у = ax+b , где a и b - коэффициенты, подлежащие определению, y - теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”, можно графически найти b и a=tg a , однако это будут весьма неточные результаты. Для нахождения a , b применяют метод наименьших квадратов.

Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b – y = 0. Точки, построенные на основе опытных данных, вообще говоря, не лежат на этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x и y заданные величины x i и y i , то окажется, что левая часть уравнения равна какой-то малой величине e i = y i - y i ; а именно: для первой точки ax 1 + b - y 1 = e 1, для второй - ax 2 + b - y 2 = e 2, для последней - ax n + b - y n = e n . Величины e 1 , e 2 ,..., e n , не равные нулю, называются погрешностями. Геометрически это разность между ординатой точки на прямой и ординатой опытной точки с той же абсциссой. Погрешности зависят от выбранного положения прямой, т.е. от a и b . Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u =  была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим в выражение для u вместо e i их значения.

u = (ax 1 + b - y 1 ) 2 + (ax 2 + b - y 2 ) 2 +... + ( ax n + b - y n ) 2, или u = u( a,b ),

где x i , y i известные величины, a и b - неизвестные, подлежащие определению. Выберем a и b так, чтобы u ( a,b ) имело наименьшее значение.

Необходимые условия экстремума , .

Имеем:  
= 2(ax 1 + b - y 1 )x 1 +... +2 (ax 1 + b - y 1 ) x n , = 2(ax 1 + b - y 1 ) +... +  
+ 2 (ax 1 + b - y 1 ).

Получаем систему:

 

 

Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическую формулу `y = ax + b . Пусть теперь точки на графике располагаются вблизи некоторой параболы так, что между x и y можно предположить квадратичную зависимость: `y=ax 2 + bx + c , тогда Тогда u =  =   . Здесь u = u ( a , b , c ) - функция трех независимых переменных a , b , c . Необходимые условия экстремума , ,  в этом случае примут следующий вид:

 

 

 

Получили нормальные уравнения способа наименьших квадратов для квадратичной зависимости y = ax 2 + bx + c , коэффициенты которой находим, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Отыскание уравнения прямой по эмпирическим данным называется выравниванием по прямой, а отыскание уравнения параболы - выравниванием по параболе. В экономических расчетах могут встретиться также и другие функции. Довольно часто встречаются эмпирические формулы, выражающие обратно пропорциональную зависимость, графически изображаемую гиперболой. Тогда говорят о выравнивании по гиперболе и т.д.

Метод наименьших квадратов оказывается весьма эффективным при исследовании качества промышленной продукции в зависимости от определяющих его факторов на основе статистических данных текущего контроля качества продукции, в задачах моделирования потребительского спроса.

Геометрическая интерпретация МНК.

 

 

Рассмотрим евклидово пространство Еn . (Заметим, что у, ε, ŷ, е и регрессоры являются векторами длины n). Обозначим  £ (Х) подпространство в Еn , натянутое на регрессоры х1,…хm .

Геометрически задача МНК состоит в том, чтобы найти такой вектор ŷ из £ (Х), чтобы евклидово расстояние между у и ŷ было минимальным. Иными словами, среди всех линейных комбинаций регрессоров необходимо найти наиболее  близкую к у:

||у  ŷ|| → min

ŷ € £ (Х)

Эта задача эквивалентна задаче МНК, поскольку:

(1) Минимизация расстояния эквивалентна минимизации квадрата расстояния ||у  ŷ||2 = ∑ (уi ŷi)2

(2) Условие ŷ € £ (Х) эквивалентно тому, что существует 
вектор β € Rm, такой что   ŷ = Хβ.

В точке минимума остатки е =у–ŷ ортогональны (перпендикулярны) подпространству £ (Х), и ŷ есть проекция у на £ (Х).

Обозначим матрицу проекции на подпространство £ (Х) через Рх или просто Р. Используя это обозначение, можно записать ŷ = Ру.

В невырожденном случае

Р = Х(Х┬ Х)-1Х┬ .

Матрицу Р называют иногда «матрицей крышки», поскольку она «добавляет крышку над у».

Можно рассмотреть также подпространство £┴(Х), являющееся ортогональным дополнением £ (Х) в Еn. Обозначим Мх или просто М матрицу проекции на £┴(Х).

Остатки удовлетворяют соотношению е = Му, т. е. они являются проекцией у на £┴(Х).

В невырожденном случае М= In - Х(Х┬ Х)-1Х┬

Свойства матриц Р и М:

1) Матрицы   Р  и  М  однозначно  задаются  матрицей   X 
(даже в вырожденном случае rank(X) < m).

     2) Матрицы Р и М симметричны:

    Р┬ =Р, М┬=М.

     3) Матрицы Р и М идемпотентны:

     РР = Р2 = Р,     ММ = М2 = М .

     4) Матрицы Р и М «погашают» друг друга:

     РМ = 0.

     5)  Р+М = In.

6. rank (Р) + rank (М) = n.
7. РХ = Х, МХ=0.

Из свойств симметричных идемпотентных матриц следуют следующие два свойства:

8. rank (Р) = tr (Р) и rank (М) = tr (М) (ранг и след матриц Р и M равны между собой).
9. Все собственные числа матриц Р и М — нули либо единицы, причем единиц ровно столько, каков ранг матрицы.

Докажем свойство (8) в невырожденном случае:

tr(Р)= tr(Х(Х┬ Х)-1Х┬)= tr(Х┬ Х(Х┬ Х)-1)= tr(Im)=m= rank (Р)

и

tr(М)= tr(In  - Р)= tr(In) - tr(Р)=n – m = rank (M).

 

 

 

 

Практическое задание

 

Вариант 1

По территориям федерального округа РФ приводятся следующие 
данные: 

 

Территории региона	Валовой региональный продукт, млрд. руб.	Сумма  кредитов, предприятиям,  млн. руб.
№	Y	X
1	6,2	58,4
2	11,9	120,5
3	8,4	95,3
4	12,7	110,4
5	14,1	176,2
6	11,1	85,4
7	19,2	148,2
8	9,5	96,0
9	11,7	78,1
10	7,6	92,3

Задание:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии, используя метод наименьших квадратов.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации и оценить тесноту связи с помощью данных коэффициентов.

3. Построить корреляционное поле с теоретическим уравнением регрессии.