Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Марта 2015 в 13:26, контрольная работа
Целью контрольной работы по дисциплине является систематизация полученных знаний, проверка усвоения программного материала и закрепление полученных знаний, овладение навыками практического применения эконометрических моделей.
Актуальность работы состоит в том, что современная эконометрика есть быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям.
Введение……………………………………………………………………………3
Теоретическая часть
Дать определение метода наименьших квадратов, его геометрическую интерпретацию……………………………………………………………………4
Практическая часть
Вариант № 1………………………………………………………………………10
Заключение……………………………………………………………………….23
Список использованной литературы…………………………………………26
6. Найдите 95%-ный доверительный интервал среднего значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.
7. Найдите 95%-ный доверительный интервал для индивидуального значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.
Решение.
I. Построить линейное уравнение парной регрессии, используя метод наименьших квадратов.
Условие предполагает наличие линейной зависимости. Рассчитаем параметры парной линейной функции у = а + bх, отражающей линейную форму зависимости результата У от фактора X.
Параметр b называется коэффициентом регрессии У по Х и показывает на сколько единиц в среднем изменяется переменная (результат) У при увеличении переменной (фактора) X на одну единицу. Параметр а может не иметь экономического интерпретации, особенно, если а<0. С формальной точки зрения а - значение У при Х=0, но если фактор X не имеет и не может иметь нулевого значения, то свободный член а не имеет экономического смысла. Возможно интерпретировать знак при параметре а. Если а>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК).
b = XУ - Х*У a = У – b*Х
Х2 – (Х)2
Таблица 1.1.
Расчетная таблица.
У |
Х |
У * Х |
У2 |
Х2 | |
1 |
6,2 |
58,4 |
362,08 |
38,44 |
3410,56 |
2 |
11,9 |
120,5 |
1433,95 |
141,61 |
14520,25 |
3 |
8,4 |
95,3 |
800,52 |
70,56 |
9082,09 |
4 |
12,7 |
110,4 |
1402,08 |
161,29 |
12188,16 |
5 |
14,1 |
176,2 |
2484,42 |
198,81 |
31046,44 |
6 |
11,1 |
85,4 |
947,94 |
123,21 |
7293,16 |
7 |
19,2 |
148,2 |
2845,44 |
368,64 |
21963,24 |
8 |
9,5 |
96,0 |
912,0 |
90,25 |
9216,0 |
9 |
11,7 |
78,1 |
913,77 |
136,89 |
6099,61 |
10 |
7,6 |
92,3 |
701,48 |
57,76 |
8519,29 |
Итого |
112,4 |
1060,80 |
12803,68 |
1387,46 |
123338,8 |
Среднее значение |
11,24 |
106,08 |
1280,368 |
138,746 |
12333,88 |
Подставим полученные значения:
b = 1280,368 – 106,08*11,24 = 1280,368 – 1192,339 = 0,081
12333,88 – (106,08)2 12333,88 – 11252,966
a = 11,24 – 0,081*106,08 = 2,648
Получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:
У = 2,648 + 0,081X
В уравнении коэффициент регрессии b=0,081 означает, что при увеличении суммы кредитов предоставляемых предприятиям на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт возрастёт в среднем на 0,081 млрд. руб.
Свободный член уравнения a=2,648 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт. Параметр а>0, означает что относительное изменение валового регионального продукта происходит медленнее, чем изменение кредитов предоставляемых предприятиям.
2. Рассчитать
линейный коэффициент, парной корреляции
и коэффициент детерминации и
оценить тесноту связи с
Уравнение регрессии дополняется показателем тесноты корреляционной зависимости. Для линейной регрессии данный показатель называется коэффициентом корреляции гху и находится в пределах {-1; 1}. Чем ближе коэффициент к единице, тем теснее линейная связь. Коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных. Близость линейного коэффициента парной корреляции к нулю не означает отсутствие связи между признаками. Зависимость может быть представлена функцией другого вида (степенной, линейно-логарифмической параболы второго порядка и т.д.).
Корреляционная линейная связь между переменными называется прямой, если г>0 и b>0, т.е. увеличение одной из переменных ведет к увеличению групповой средней другой.
Если г<0 и b<0, то связь является обратной и при увеличении одной переменной ведет к уменьшению групповой средней другой.
rху = n*ΣХУ – (ΣХ) * (ΣУ)__ _ ___
√n*ΣХ2 – (ΣХ)2 * √n*ΣУ2 – (ΣУ)2
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
rху = 10*12803,68 – 112,4 * 1060,80___ _ __ =
√ 10*123338,8 – (1060,80)2 * √10*1387,46 – (112,4)2
= 128036,80 – 119233,92__ _ __ =
√1233388 – 1125296,64 * √13874,60 – 12633,76
= 8802,88 = 0,760 ≈ 0,8
11581,358
Оценку качества подбора линейной функции характеризует коэффициент детерминации R2xy, который рассчитывается как квадрат линейного коэффициента корреляции.
Для данного примера:
R2 ху = 0,7602 = 0,578 ≈ 0,6
Коэффициент детерминации показывает какая часть (доля) зависимой переменной У обусловлена вариацией объясняющей переменной X.
0≤R2 ≥1
Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R2 = 1, точки (Xi;Уi) лежат на линии регрессии и между переменными У и X существует линейная функциональная зависимость. Если R2 = 0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс.
В данном примере R2 = 0,578, следовательно, уравнение регрессии объясняет 57,8% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 42,2% дисперсии (100% - 57,8%). Коэффициент R2 имеет смысл рассматривать только при наличии свободного члена.
Таблица 1.2
Оценки тесноты корреляционной зависимости.
Значение коэффициента корреляции (rху) |
Оценка тесноты выявленной зависимости |
Значения коэффициента детерминации, % (rху) |
До 0,3 |
Слабая |
До 10 |
0,3 - 0,5 |
Умеренная |
10-25 |
0,5 - 0,7 |
Средняя |
25-50 |
0,7 - 0,9 |
Тесная |
50-80 |
0,9 и более |
Очень тесная |
80 и более |
Величина линейного коэффициента корреляции составила 0,760 а коэффициента детерминации 0,578 что говорит о тесной степени тесноты выявленной линейной корреляционной зависимости.
При получении величины коэффициентов корреляции и детерминации достаточно близких к единице можно говорить о тесноте линейной связи и высоком качестве подбора линейной функции.
На графике ставим точки с координатами (Xi;Уi) по заданным данным. Подставляя данные существующего диапазона X в полученное уравнение регрессии строим расчетную прямую.
Например:
Рассчитанное уравнение регрессии У = 2,648 + 0,081 X.
Х=30; У = 2,648 + 0,081*30 = 5,078
Х=120; У= 2,648 + 0,081*120 = 12,368
По двум точкам строим рассчитанную прямую линейной регрессии.
Рисунок 1.
Корреляционное поле регрессии.
4. Надёжность уравнений, в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости а=0,05
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. Проверить значимость уравнения регрессии - значит, установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальными данными и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной. При этом выдвигается нулевая гипотеза Но, что коэффициент регрессии равен нулю (b=0), следовательно, фактор X не оказывает влияние на результат У.
Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости оборота розничной торговли от суммы доходов населения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера-Снедекора — Fфакт. и сравним его с табличным значением -Fтабл. Табличное значения критерия - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости.
В случае, если Fфакт.>Fтабл. нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости а=0,05).
Если фактическая величина критерия меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. Нулевая гипотеза Но не отклоняется и уравнение регрессии считается статистически незначимым.
R2___
Fфакт. = 1 - R2 * (n-2)
n - количество наблюдений (в данном примере 10)
Для данного примера:
Fфакт. = 1 – 0,578 * (10-2) = 0,422 * 8 = 10,960
Сравним полученный результат с табличным значением критерия Fтабл. Значения Fтабл. представлены в таблице значений F-критерия Фишера-Снедекора (Приложение 1).
ki - число факторов в уравнении. В нашем случае ki = l
k2 - число изучаемых объектов (число наблюдений)
k2 = n – к1 - 1
Для данного примера k2 = 10-1-1 =8.
Табличное значение F-критерия F0,05;1;8 = 5,32.
Так как F факт.=10,960 > F табл. = 5,32 при 5% уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии.
5. Рассчитайте прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора (х) составит 1,031 от среднего уровня (х)
Среднее значение X = 106,08.
Прогнозное значение X = 24,08 * 1,031 = 109,368
Рассчитаем прогнозное значение результата
У = 2,648+0,081*109,368=11,507
6. Найдите 95%-ный доверительный интервал среднего значения зависимой переменной для суммы кредитов, предоставляемых предприятиям в размере 134 млрд. руб.
Кроме получения точечной оценки неизвестного параметра актуальна проблема выявления такой области, в которой параметр попадает с заданной вероятностью или с заданным уровнем доверия.
Оценим условное математическое ожидание Мх=134(У). Выборочной оценкой Мх=134(У) является групповая средняя ŷх=134 которую найдем по уравнению регрессии:
ух=134 = 2,648+0,081*134=13,502
Для построения доверительного интервала для Мх=134(У) необходимо знать его оценки. т.е. s2ху=22. Составим вспомогательную таблицу. Из таблицы 1.1 среднее значение х=106,08.
Таблица 1.3.
Расчетная таблица для
N п/п |
хi |
(хi - хср.) 2 |
ŷi =2,648+0,081хi |
е2i =( ŷi - уi) 2 |
1 |
58,4 |
2273,382 |
7,378 |
1,388 |
2 |
120,5 |
207,936 |
12,409 |
0,259 |
3 |
95,3 |
116,208 |
10,367 |
3,869 |
4 |
110,4 |
18,662 |
11,590 |
1,232 |
5 |
176,2 |
4916,814 |
16,920 |
7,952 |
6 |
85,4 |
427,662 |
9,565 |
2,356 |
7 |
148,2 |
1774,094 |
14,652 |
20,684 |
8 |
96,0 |
101,606 |
10,424 |
0,854 |
9 |
78,1 |
782,880 |
8,974 |
7,431 |
10 |
92,3 |
189,888 |
10,124 |
6,371 |
1060,80 |
10809,132 |
112,403 |
52,396 |